山西省忻州市長征街聯合學校2023年高三數學文聯考試題含解析

山西省忻州市長征街聯合學校2023年高三數學文聯考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.某幾何體的三視圖如圖所示，則其體積為A．4 B．8 C．12 D．24參考答案：A由三視圖可知：該幾何體為四棱錐,由體積公式易得故選A．

2.如圖所示的函數的部分圖象，其中A、B兩點之間的距離為5，那么f（﹣1）=（）A．﹣1 B．2 C．﹣2 D．2參考答案：D【考點】正弦函數的圖象．【分析】根據題意，求出函數的半周期，計算ω的值，再求出φ的值，寫出f（x）的解析式，計算出f（﹣1）的值．【解答】解：根據題意，A，B兩點之間的距離為5，A，B兩點的縱坐標的差為4，所以函數的半周期為T==3，解得T=6；則ω==，函數解析式為f（x）=2sin（x+φ）；由f（0）=1，得2sinφ=1，∴sinφ=；又≤φ≤π，∴φ=；則f（x）=2sin（x+）．∴f（﹣1）=2sin（﹣+）=2sin=2．故選：D．3.已知點是雙曲線右支上一點，、分別是雙曲線的左、右焦點，為△的內心，若成立，則雙曲線的離心率是

A．

B．

C．

D．參考答案：C略4.將函數的圖象向左平移個單位長度,再將圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),得到函數的圖象,若對任意的均有成立,則m的最小值為（

）A. B. C. D.參考答案：D【分析】直接應用正弦函數的平移變換和伸縮變換的規(guī)律性質，求出函數的解析式，對任意的均有，說明函數在時，取得最大值，得出的表達式，結合已知選出正確答案.【詳解】因為函數的圖象向左平移個單位長度,所以得到函數，再將圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),得到函數的圖象,所以，對任意的均有成立，所以在時，取得最大值，所以有而，所以的最小值為.【點睛】本題考查了正弦型函數的圖象變換規(guī)律、函數圖象的性質，考查了函數最大值的概念，正確求出變換后的函數解析式是解題的關鍵.5.函數f（x）=sinωx+cosωx+1的最小正周期為π，當x∈[m，n]時，f（x）至少有12個零點，則n﹣m的最小值為（）A．12π B． C．6π D．參考答案：D【考點】三角函數的周期性及其求法．【分析】由兩角和的正弦函數化簡f（x），由周期公式求出ω的值，由正弦函數的性質求出f（x）的根，由條件和正弦函數的周期性求出n﹣m的最小值．【解答】解：由題意得，f（x）=sinωx+cosωx+1=，因為函數f（x）的最小正周期為π，所以，解得ω=2，則，由得，，則或（k∈Z），解得x=kπ﹣，或x=kπ﹣，所以一個周期內相鄰的零點之間的間隔為，因為當x∈[m，n]時，f（x）至少有12個零點，所以n﹣m的最小值為=，故選D．6.函數（）的圖象與軸正半軸交點的橫坐標構成一個公差為的等差數列，若要得到函數的圖象，只要將的圖象（

）個單位A．向右平移

B．向左平移C．向右平移

D．向左平移參考答案：A7.已知映射,其中，對應法則若對實數，在集合A中不存在原象，則k的取值范圍是

(

）A．

B．

C．

D．

參考答案：B8.已知集合M＝，N＝，則（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：D9.函數在的圖像大致為(

)參考答案：A10.把函數的圖象向左平移m個單位,所得圖象關于y軸對稱,則m的最小值為

A.

B.

C.

D.參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知平面向量滿足，且與的夾角為120°，，則的取值范圍是

▲

．參考答案：12.對某商店一個月內每天的顧客人數進行了統(tǒng)計，得到樣本的莖葉圖（如圖所示），則改樣本的中位數、眾數、極差分別是

（

）A．46，45，56

B．46，45，53C．47，45，56

D．45，47，531.參考答案：A.

根據莖葉圖可知樣本中共有30個數據，中位數為46，出現次數最多的是45，最大數與最小數的差為68-12=56.故選A.13.在等比數列中，各項都是正數，且成等差數列，則公比=_____________.參考答案：略14.已知正三棱錐ABC,點P,A,B,C都在半徑為的球面上,若PA,PB,PC兩兩互相垂直,則球心到截面ABC的距離為________.參考答案：略15.已知正數a、b均不大于4，則a2－4b為非負數的概率為

。參考答案：由題意知：，我們把a、b看做直角坐標系的橫坐標和縱坐標，畫出其可行域為邊長為4的正方形，表示的可行域與正方形重合的面積為：，所以a2－4b為非負數的概率為。16.設平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，則|3a＋b|＝________.參考答案：17.已知的展開式中，二項式系數和為，各項系數和為，則

.參考答案：答案：2三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分14分）已知函數.(1)求的單調區(qū)間；(2)若對，，都有，求的取值范圍。參考答案：解：(1)，令得…………….3分當時，在和上遞增，在上遞減；當時，在和上遞減，在上遞增…8分(2)當時，；所以不可能對，都有；當時有（1）知在上的最大值為，所以對，都有即，故對，都有時，的取值范圍為?！?14分19.如圖，是的直徑，,為上的點，是的角平分線，過點作交的延長線于,垂足為點.（Ⅰ）求證：是的切線;（Ⅱ）求證：.參考答案：20.（本小題滿分16分）設,函數.（1）若，求曲線在處的切線方程；（2）若有零點,求實數a的取值范圍；（3）若有兩個相異零點,求證:.參考答案：在區(qū)間上,.

（1）當時，，

則切線方程為，即…………………4分（2）①若,有唯一零點.

…………………6分

②若,則,是區(qū)間上的增函數,

,,,函數在區(qū)間有唯一零點.……8分

③若,令得:.在區(qū)間上,,函數是增函數;在區(qū)間上,,函數是減函數;

故在區(qū)間上,的極大值為.由即,解得:.故所求實數a的取值范圍是.

………………10分

(3)設, 原不等式

令,則,于是.

設函數,求導得:故函數是上的增函數,

，即不等式成立,故所證不等式成立.

…………16分21.已知定義域為R的函數是奇函數．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若對任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范圍．參考答案：考點：指數函數單調性的應用；奇函數．專題：壓軸題．分析：（Ⅰ）利用奇函數定義，在f（﹣x）=﹣f（x）中的運用特殊值求a，b的值；（Ⅱ）首先確定函數f（x）的單調性，然后結合奇函數的性質把不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0轉化為關于t的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知識求出k的取值范圍．解答：解：（Ⅰ）因為f（x）是奇函數，所以f（0）=0，即又由f（1）=﹣f（﹣1）知．所以a=2，b=1．經檢驗a=2，b=1時，是奇函數．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，易知f（x）在（﹣∞，+∞）上為減函數．又因為f（x）是奇函數，所以f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0等價于f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2），因為f（x）為減函數，由上式可得：t2﹣2t＞k﹣2t2．即對一切t∈R有：3t2﹣2t﹣k＞0，從而判別式．所以k的取值范圍是k＜﹣．點評：本題主要考查函數奇偶性與單調性的綜合應用；同時考查一元二次不等式恒成立問題的解決策略．22.已知函數（I）求函數的最大值；（II）若，求的取值范圍.（III）證明：……+（n）

參考答案：解證：（Ⅰ），

……1分當時，；當時，；當時，；所以函數在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減；…3分故．……………………4分（Ⅱ）解法一：，

…5分當時，因為時，所以時，；……………6分當時，令，．當時，，單調遞減，且，故在內存在唯一的零點，使得對于有，也即．所以，當時；……………8分當時，時，所以，當時．

…………………9分綜上，知的取值范圍是．

…………………10分解法二：，