高中數(shù)學(xué)蘇教版第一章立體幾何初步點(diǎn)線面之間的位置關(guān)系（省一等獎(jiǎng)）

1.２.４平面與平面的位置關(guān)系（一）教學(xué)目標(biāo)1.了解兩個(gè)平面的位置關(guān)系；掌握兩個(gè)平面平行的判定方法以及面與面平行的性質(zhì)定理，并靈活運(yùn)用面面平行的判定、性質(zhì)定理。2.應(yīng)用類比方法理解并掌握兩個(gè)平行平面的公垂線、公垂線段、距離的定義，會(huì)求兩個(gè)平行平面間的距離．3.通過(guò)線線、線面、面面平行的轉(zhuǎn)化，進(jìn)一步理解等價(jià)轉(zhuǎn)化思想在解決立體幾何問(wèn)題中的運(yùn)用，并提高空間想象能力．教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)課的重點(diǎn)是面與面平行的判定、性質(zhì)的理解及應(yīng)用．難點(diǎn)是線線平行、線面平行、面面平行的靈活轉(zhuǎn)化．教學(xué)過(guò)程新課引入觀察教室中的四周墻壁，這四個(gè)平面兩兩之間是什么關(guān)系？利用手中的兩本書作為兩個(gè)平面，擺一擺，兩個(gè)平面具有哪幾種位置關(guān)系？工人師傅將水平儀在桌面上交叉放置兩次，如果水平儀的氣泡兩次都在中央，就能判斷桌面是水平的（即桌面與地面平行），你知道其中的奧秘嗎？數(shù)學(xué)建構(gòu)1、學(xué)習(xí)指引研究三維空間中物體的位置關(guān)系是立體幾何重要內(nèi)容之一，以上問(wèn)題涉及到兩個(gè)平面之間的位置關(guān)系，你能夠通過(guò)類比及轉(zhuǎn)化，進(jìn)一步研究?jī)蓚€(gè)平面之間的位置關(guān)系嗎？在前面我們已經(jīng)通過(guò)直線與直線、直線與平面的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)，可判斷它們的位置關(guān)系，類比思考兩個(gè)平面之間的位置關(guān)系有哪幾種？如何判斷兩個(gè)平面平行？思考：（1）、平面內(nèi)有一條直線與平面平行，則，對(duì)嗎？（2）、平面內(nèi)有兩條直線與平面平行，則，對(duì)嗎？（3）、平面內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與平面平行，則，對(duì)嗎？（4）、平面內(nèi)任意一條直線與平面平行，則，對(duì)嗎？（5）、平面內(nèi)有兩條相交直線分別與平面平行，則，對(duì)嗎？探究：判斷兩個(gè)平面平行的方法，還有哪些呢？如果兩個(gè)平面平行，那么（1）、一個(gè)平面內(nèi)的直線是否平行于另一個(gè)平面？（2）、分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線是否平行？回顧一下前面學(xué)習(xí)過(guò)的線線之間、線面之間距離的概念，思考兩個(gè)平面在什么樣的位置關(guān)系下，才會(huì)定義兩平面之間的距離？學(xué)過(guò)本節(jié)后，你能否整理下在立幾中有關(guān)“距離”的知識(shí)，并進(jìn)行聯(lián)系類比2、知識(shí)梳理（1）、兩個(gè)平面互相平行的定義如果兩個(gè)平面沒(méi)有，我們就說(shuō)這兩個(gè)平面互相平行.如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們相交于經(jīng)過(guò)這個(gè)點(diǎn)的，我們說(shuō)兩平面相交（2）、兩個(gè)平面的位置關(guān)系位置關(guān)系兩平面平行兩平面相交公共點(diǎn)沒(méi)有公共點(diǎn)有一條公共直線符號(hào)表示aa圖形表示（3）、兩個(gè)平面平行的判定定理如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行.符號(hào)語(yǔ)言：AaAab簡(jiǎn)記為：線面平行面面平行（4）、兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理如果兩個(gè)平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線符號(hào)語(yǔ)言：圖形語(yǔ)言：證明：因?yàn)?所以a與b沒(méi)有公共點(diǎn)因而交線a、b也沒(méi)有公共點(diǎn)，又因?yàn)閍、b都在平面內(nèi),所以a∥b.簡(jiǎn)記為：面面平行線線平行（5）、面面距離與兩個(gè)平行平面的直線,叫做這兩個(gè)平行平面的公垂線.它夾在這兩個(gè)平行平面間的線段,叫做這兩個(gè)平行平面的.由兩個(gè)平行平面的公垂線都相等,我們把公垂線的長(zhǎng)度叫做兩個(gè)平行平面間的數(shù)學(xué)應(yīng)用類型一面面平行的判定例1如果在兩個(gè)平面內(nèi)，各有兩組相交直線對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)平面平行（要求同學(xué)畫出圖形、寫出已知、求證）b，Aab，Aaba，A，‘‘，求證：?分析：對(duì)于兩個(gè)平面平行的判斷，目前只有兩個(gè)方法。一是面面平行的定義；二是面面平行的判定定理。前者要說(shuō)明兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)，但這不易做到。選擇后者，即要證明平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于平面，運(yùn)用線面平行的判定定理，很容易得出這個(gè)結(jié)論。證明：同理，又所以，點(diǎn)評(píng)：本命題可以看作面面平行判定定理的推論；在今后判斷面面平行時(shí)，此命題可以直接使用。思考：垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行．已知：．求證：總結(jié)有了以上命題，同學(xué)們可以總結(jié)一下證明兩平面平行的方法：（1）利用定義證明；（2）面面平行的判定定理：（3）在兩個(gè)平面內(nèi)，各有兩組相交直線對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)平面平行（4）垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行。用符號(hào)表示是：a⊥α，a⊥β則α∥β。（5）平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行。類型二面面平行的性質(zhì)l例2．求證：如果一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，那么它也垂直于另一個(gè)平面.l已知：求證：?分析要證，只要證明垂直與平面內(nèi)的任意一條直線或某兩條相交直線.證明：設(shè)在平面內(nèi)任取一條直線因?yàn)辄c(diǎn)不在平面內(nèi)，所以點(diǎn)與直線可確定平面設(shè)由于直線是平面內(nèi)的任意一條直線，所以點(diǎn)評(píng)本題是面面平行性質(zhì)定理的一個(gè)運(yùn)用，正是如此，我們才有兩個(gè)平行平面公垂線的概念，進(jìn)而定義兩平行平面之間的距離。當(dāng)然，本命題也可看作面面平行的一個(gè)性質(zhì)?？偨Y(jié)：事實(shí)上，兩個(gè)平面平行的性質(zhì)有五條：（1）兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任一直線必平行于另一個(gè)平面，這個(gè)定理可簡(jiǎn)記為：“面面平行，則線面平行”。用符號(hào)表示是：α∥β，aα，則a∥β。（2）如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行，這個(gè)定理可簡(jiǎn)記為：“面面平行，則線線平行”。用符號(hào)表示是：α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，則a∥b。（3）一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)平面,它也垂直于另一個(gè)平面。這個(gè)定理可用于證線面垂直。用符號(hào)表示是：α∥β，a⊥α，則a⊥β。（4）夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段相等（5）過(guò)平面外一點(diǎn)只有一個(gè)平面與已知平面平行題型梳理類型三面面平行判定及性質(zhì)的綜合運(yùn)用例3P是△ABC所在平面外一點(diǎn)，A′、B′、C′分別是△PBC、△PCA、△PAB的重心。求證：平面A′B′C′∥平面ABC；?分析：證明兩面面平行，一般情況轉(zhuǎn)化通過(guò)線面平行或者線線平行來(lái)證。證明：取AB、BC的中點(diǎn)M、N，則∴A′C′∥MNA′C′∥平面ABC。同理A′B′∥面ABC，又A′B′A′C=A′∴面A′B′C′∥面ABC.點(diǎn)評(píng)本題的證明方法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想，即證面面平行，可通過(guò)線線平行或者線面平行進(jìn)行。變式：在例3的條件下，求S△A′B′C′∶S△ABC的值。?分析該問(wèn)題是上面例3問(wèn)題進(jìn)一步的追問(wèn)，在上面產(chǎn)生了△A′B′C′，自然想到兩個(gè)三角形的面積之比。而此類問(wèn)題，一般會(huì)聯(lián)想三角形的相似。解答：所以，所以，，即同理，與相似，所以有小結(jié)：本題組既考察了面面平行的判斷，又同時(shí)考察了面面平行性質(zhì)的運(yùn)用。在解決問(wèn)題的過(guò)程中，我們看到立幾問(wèn)題的解決常常轉(zhuǎn)化到同一個(gè)平面上來(lái)解決，即從三維空間向二維空間轉(zhuǎn)化，這充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)中的“化歸思想”。總結(jié)反思知識(shí)要點(diǎn)空間兩平面的位置關(guān)系（相交、平行）兩個(gè)平行平面的判定定理（線面平行面面平行）兩個(gè)平行平面的性質(zhì)定理（面面平行線線平行）兩個(gè)平行平面的公垂線的概念，公垂線段的概念以及兩個(gè)平行平面間的距離思想方法用類比的思想去認(rèn)識(shí)面面的位置關(guān)系（根據(jù)兩個(gè)對(duì)象公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)）注意運(yùn)用線線、線面、面面之間的平行關(guān)系相互轉(zhuǎn)化，可以給我們明確解題方向。反證法是立幾證明中的常用方法，怎樣將反證法用得“妙”、用得“巧”，還需要在實(shí)踐中不斷感悟。注意立體幾何問(wèn)題向平面幾何問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，即立幾問(wèn)題平面化規(guī)律技法面面平行的判定方法，教材中注重介紹了“面面平行的判定定理”，事實(shí)上，要證明兩平面平行選擇角度有多種，常用方法五種（見(jiàn)上）。面面平行的性質(zhì)運(yùn)用，教材中注重介紹了“面面平行的性質(zhì)定理”，事實(shí)上，兩平面平行可得出常用五條性質(zhì)（見(jiàn)上）。說(shuō)明：以上規(guī)律方法，給我們解題提供多種思路，只有在解決問(wèn)題實(shí)踐中，常反思、勤總結(jié)，才能做到游刃有余、事半功倍。細(xì)節(jié)注意在運(yùn)用面面平行的判定和性質(zhì)定理時(shí)，要注意推理證明的嚴(yán)謹(jǐn)性，譬如運(yùn)用判定定理證明面面平行，應(yīng)該有以下條件：，如果在證明書寫過(guò)程中，忽略了這個(gè)條件，其推理過(guò)程很不嚴(yán)謹(jǐn)。以上細(xì)節(jié)看似無(wú)關(guān)緊要，實(shí)則非常關(guān)鍵。無(wú)論解題還是證明，一定要注意對(duì)文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化和相互翻譯，使三者之間相輔相成、相得益彰。課后作業(yè)：1．下列命題中正確的是．①平行于同一直線的兩平面平行；②平行于同一平面的兩平面平行；③垂直于同一直線的兩平面平行；④與同一直線成等角的兩平面平行．2.若，則a與b的位置關(guān)系為3.下列命題中正確的是．①經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行；②過(guò)平面外一點(diǎn)且平行于這個(gè)平面的所有直線，都在過(guò)該點(diǎn)且平行于這個(gè)平面的一個(gè)平面內(nèi)；③平面內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到平面的距離相等，則與平行或相交；④夾在兩平行平面之間的