第9章矩陣特征值和特征向量

第九章矩陣的特征值與特征向量

/*Eigen-valuesandEigen-vectorsofmatrix*/

待求解的問題：矩陣的特征值和特征向量x

0，滿足:Ax=xor(I-A)x=0Eigen-valueEigen-vector工程技術(shù)中的許多問題例如電磁振蕩、橋梁振動、機械振動等，都歸結(jié)為求矩陣的特征值和特征向量問題----代數(shù)計算中的重要課題。②特征向量:已知A的特征值，求齊次線性方程組

的非零解x,（,所以有非零解。）為A對應于的特征向量。

如何求解?特征值：已知A=(aij)nn，求A的特征多項式的根有n個零點（實或復，計重數(shù)）：即求解代數(shù)方程A的特征值從理論上講，可利用代數(shù)方程求根求出特征值，再利用線性方程組的解法，求出特征向量。

缺點：工作量大且特征向量對矩陣的依賴很高；當矩陣階數(shù)較高時，高次代數(shù)方程求根的計算穩(wěn)定性較差。另外，實際問題中的具體要求不同，有時只要求A的絕對值最大的特征值（主特征值）及相應的特征向量；有時又要求全部的特征值及特征向量。根據(jù)這兩種不同要求，求矩陣的特征值與特征向量的方法也大致分為兩類：迭代法（冪法反冪法）、變換法。關(guān)于矩陣特征值及特征向量的一些結(jié)論：

Th1.（i=1,…,n）為A的特征值，則有1.2.det(A)=Th2、AB(相似)，即存在可逆陣T，使B=T-1AT,則

1.A與B有相同的特征值。

2.設(shè)x是B的關(guān)于的特征向量,則Tx是A的關(guān)于

的特征向量。Th3、（Gershgorin’s定理,園盤定理）：A=(aij),則A的每個特征值必在下述某個園盤中：

A的每行元素確定一個圓盤，共n個。Th3表明A的任一特征值必在這n個圓盤中的某一個內(nèi)。證明：設(shè)為A的任一特征值，x0為對應特征向量，則有(I-A)x=0,設(shè)|xi|=max|xj|,顯然xi0,第i個方程：Th3的證明過程表明A的任一特征值必在其對應特征向量模最大的分量的指標所對應的圓盤中。

稱為A對應于向量x的Rayleigh商。

Def1.Ann

—實對稱陣，0xRn,Th4.Ann

—實對稱陣，其特征值依次排序為,對應特征向量組成規(guī)范正交系，即，則1.0xRn,2.3.Proof.0xRn,formsanorthogonalbasisofRn,soitispossibletowritexaswherenotallcouldbezero.Thuswehave====2.From1weknow

soweonlyneedtoprovethereexistsan

x0suchthat

Takingx=x1,weget3.Proofissimilarto2.§1冪法與反冪法（按模最大與最小特征值的求法）

冪法：求模最大的特征值—主特征值及相應特征向量的迭代法。用A的乘冪構(gòu)造迭代序列，因此稱為冪法。

條件：ARnn具有線性初等因子

A有n個線性無關(guān)的特征向量。

優(yōu)點：簡單，適合稀疏矩陣。

缺點：有時收斂速度很慢。Algorithm1.supposeAhaseigen-values(Thisimpliesisasinglerealrootofthecharacteristicpolynomial;else)，andnindependenteigen-vectors.Takeaninitialvectorstarttheiterationsystem

ConvergenceanalysisofAlgorithm1....

isaneigen-vectorofA,and

isalsoaneigen-vectorcorrespondingtoofA.ThesameisEigen-vectorEigenvalue1Th5.ARnn有n個線性無關(guān)特征向量主特征值1滿足則做迭代有Principaleigenvalue1summaryiterationsystemeigen-vectorcorrespondingto1收斂速度：主要由來確定，r越小，收斂越快。時收斂可能很慢。2.若有，說明10，

以及都不能作為近似特征向量，需要重新取初始向量再迭代。3.用冪法進行計算時，若

在計算機中會產(chǎn)生“溢出”或“機器零”的情況（超過計算機字長所能表示的精度）noteAlgorithm2(improvementofA.1).ConvergenceanalysisofA.2.Max(x)取出向量x中模最大的分量對應1的特征向量x1的規(guī)范化向量Th6.ARnn有n個線性無關(guān)特征向量主特征值1滿足則做迭代有§2平面旋轉(zhuǎn)矩陣雅可比法的基本思想:設(shè)法用一系列簡單的正角陣Rk,逐步地將A

化為近似對角陣(非對角元近似化為0)。即選擇Rk,令A的全部特征值問題的關(guān)鍵：如何構(gòu)造正交陣Rk？

平面旋轉(zhuǎn)變換雅可比算法:設(shè)Ak-1(k1,A0

=A)未對角化，即非對角元中有較大的元素，設(shè)非對角元中按模最大的元素是引入平面旋轉(zhuǎn)矩陣利用Rk(p,q)對Ak-1作旋轉(zhuǎn)變換，使中的非對角元應滿足常將限制在對Jacobi算法有幾點說明：1.構(gòu)造旋轉(zhuǎn)矩陣時只需計算sin,cos,為了防止舍入誤差擴大，sin,cos按下面公式計算：否則，2.由于Ak是對稱陣，因此只要計算上三角（或下三角）元素即可，既節(jié)省計算量，有能保證Ak嚴格對稱。3.的計算過程如下：4.Ak中經(jīng)旋轉(zhuǎn)變換化為零的元素，可能在Ak+1中又成為非零元素，因此不能期望通過有限次旋轉(zhuǎn)變換將原矩陣A對角化，但可證證明Jacobi法的收斂性由前面推論知5.實際計算時，當k充分大或者當時迭代終止，A的全部近似特征值6.特征向量的計算：設(shè)經(jīng)過m次旋轉(zhuǎn)變換迭代結(jié)束，則說明Pm的第j列就是j的標準正交特征向量的近似值。實際計算時，并不是保留到最后才形成Pm，而是逐步形成的。令

每一步的計算公式為7.對經(jīng)典Jacobi法的改進-----避免每次在非對角元中選主元素花費太多時間：循環(huán)雅可比法和雅可比過關(guān)法。雅可比過關(guān)法：1.設(shè)閾值T0(一般取為)，在A的非對角元中按行（或列）掃描（只需掃描上（或下）三角元素），即按如下順序與閾值T0作比較：若|aij|<T0,則過關(guān)；否則，作一次旋轉(zhuǎn)變換使aij=0。2.設(shè)閾值T1=T0/n,重復上述過程，直到滿足精度要求為止。按行掃描按列掃描循環(huán)雅可比法：不選主元素，直接將非對角元素按列（或行）的次序掃描并依次化為0。由于前面已化為0的元素在后面又可能成為非零元素，因此要反復多次掃描，直到達到精度要求為止。缺點：對一些已經(jīng)足夠小的元素也要作化零處理。雅可比過關(guān)法+循環(huán)雅可比法：在前幾次循環(huán)中使用雅可比過關(guān)法，經(jīng)幾次循環(huán)后，矩陣非對角元素的絕對值的大小已相差不大，這時再使用幾次循環(huán)雅可比法，效果更好。例：用雅可比方法計算下面實對稱陣的特征值解：(1)A0=A,選非對角元中的主元素a12=-1,因為a11=a22,取(1)選非對角元中的主元素a13=0.707107(3)選非對角元中的主元素a23=-0.627963(5)選非對角元中的主元素a13=0.169525(4)選非對角元中的主元素a12=-0.276837A的近似特征值為13.414209,20.585986,31.999800A的準確特征值為§3Householder法求一般實矩陣的全部特征值Def方陣B若滿足：當i>j+1時，bij=0,則稱B為上Hessenberg陣(或準上三角陣)，即i=j+1i>j+1理論基礎(chǔ)：A是n階實矩陣，存在正交陣P，s.t.是1階或2階方陣。若Aii是1階的，則它是A的一個實特征值；若Aii是2階的，則它的兩個特征值是A的一對共軛復特征值。定理說明：用正交陣相似變換可將一般實矩陣約化為上Hessenberg陣，將實對稱陣約化為對稱三對角陣。正交相似變換不改變特征值和特征向量，因此求原矩陣的特征值問題就轉(zhuǎn)化為求上Hessenberg陣或?qū)ΨQ三對角陣的特征值問題。問題的關(guān)鍵：如何將一般實矩陣正交約化為上Hessenberg陣，將實對稱陣約化為對稱三對角陣？初等反射陣Def初等反射陣性質(zhì):對稱、正交、對合初等反射陣的幾何意義Swv=x+yyx-yv’=x-yv’是v關(guān)于平面S的鏡面反射。初等反射陣將Rn中任意向量關(guān)于以w為法向量且過原點的超平面做鏡面反射。初等反射陣的作用：對向量作變換Proposition證明：令Corollary

結(jié)論推論說明：通過初等反射陣即可將任何非零向量約化成只有一個非0元素的向量。

注意：計算

時可能上溢或下溢，為防止溢出，將x

規(guī)范化，用正交相似變換(初等反射陣)約化矩陣為Hessenberg陣(n-1)×(n-1)維令重復這一過程直到

結(jié)論設(shè)x是c的對應于的特征向量，則有

說明Px是A

對應于的特征向量。A的特征值和特征向量若A是實對稱陣，則C也是實對稱陣(CT=PTATP=PTAP=C),故C為對稱三對角陣，即關(guān)于實對稱陣§4QR方法是一種變換方法，計算一般中小型矩陣全部特征值的最有效方法之一。主要用于計算：1.上Hessenberg陣的全部特征值;2.對稱三對角矩陣的全部特征值。對于一般矩陣或?qū)ΨQ陣，先用Ho