高數(shù)上-d3-5函數(shù)的極值與最值

1其中：介于與之間1.按的冪展開(kāi)的n階泰勒公式.2.麥克勞林公式請(qǐng)記住以下兩個(gè)公式：21.函數(shù)單調(diào)性判別2.曲線凹凸的判別定理2：3.拐點(diǎn)的定義:注：拐點(diǎn)是曲線上的點(diǎn),是一對(duì)有序的實(shí)數(shù).溫故知新在I

上單調(diào)遞增在I

上單調(diào)遞減定理1：3①求的連續(xù)區(qū)間，②求③求導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)，④用以上的點(diǎn)分割定義區(qū)間,列表判斷.4.求的單調(diào)區(qū)間(判斷單調(diào)性)的步驟:化為積商，單調(diào)性的應(yīng)用有:(1)可以確定某些方程實(shí)根的個(gè)數(shù).(2)證明不等式.求函數(shù)的連續(xù)區(qū)間；求出求的根及不存在的根；列表判斷5.求曲線的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)的步驟如下：凹凸性的應(yīng)用有:(1)證明不等式,(2)求拐點(diǎn).4說(shuō)明1:說(shuō)明2:說(shuō)明3:求函數(shù)的連續(xù)區(qū)間；求出求的根及不存在的根；列表判斷說(shuō)明4：求曲線的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)的步驟如下：5證：求拐點(diǎn)方法2:P154T15求拐點(diǎn)方法1:6例解：★曲線的彎曲方向——凹凸性;★改變彎曲方向的點(diǎn)——拐點(diǎn);凹凸性的判定.求拐點(diǎn)7二、最大值與最小值問(wèn)題一、函數(shù)的極值及其求法第五節(jié)函數(shù)的極值與最大值最小值

第三章8定義:(1)(2)極大點(diǎn)與極小點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn).問(wèn)：極值點(diǎn)是連續(xù)點(diǎn)嗎？一、函數(shù)的極值及其求法xyo.。極大值與極小值統(tǒng)稱為極值.9注意：極值與最值的區(qū)別：是對(duì)整個(gè)區(qū)間而言，絕對(duì)的、極值：最值：是對(duì)某個(gè)點(diǎn)的鄰域而言、可以不是唯一的.③極大值不一定都大于極小值.如何求極值？觀察圖形知：可導(dǎo)函數(shù)極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是零.是整體的、唯一的.是局部的、相對(duì)的、②最值可在區(qū)間端點(diǎn)處取得,而極值只能在區(qū)間的內(nèi)點(diǎn)處取得.10定理1(必要條件)(費(fèi)馬定理)取得極值注意：1)可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)駐點(diǎn)如：即：｛可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)｝｛駐點(diǎn)｝2)在點(diǎn)連續(xù)但不可導(dǎo)，也可能是極值點(diǎn).如：卻是極小值點(diǎn).也不是極值點(diǎn).3)極值點(diǎn)的可疑點(diǎn)：（在定義域內(nèi)部的）駐點(diǎn),不可導(dǎo)點(diǎn).即：｛極值點(diǎn)｝｛駐點(diǎn),不可導(dǎo)點(diǎn)｝問(wèn)：如何能快速的說(shuō)明一個(gè)函數(shù)有沒(méi)有極值？xyo11定理2

(第一充分條件，極值第一判別法)內(nèi)有導(dǎo)數(shù),(1)“左正右負(fù)”,(2)“左負(fù)右正”,(3)“左右符號(hào)相同”,左正右負(fù)極大左負(fù)右正極小左右同號(hào)無(wú)極值12說(shuō)明：1)定理中的條件若不連續(xù),即使變號(hào)，也未必是極值點(diǎn).2)該定理適用于是駐點(diǎn)或不可導(dǎo)的連續(xù)點(diǎn).xyo.。很重要，3)求極值的步驟:(1)求定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù)(2)求駐點(diǎn)以及不可導(dǎo)的點(diǎn)；(3)檢查在駐點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn)左右的符號(hào)，判斷出極值點(diǎn)；（最好列表）(4)求極值.13解：例1.求函數(shù)的極值.極大值不可導(dǎo)故極大值為：極小值為：極小值14例2.

求函數(shù)的極值.解:1)2)令得3)列表判別是極大點(diǎn)，其極大值為是極小點(diǎn)，其極小值為無(wú)導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)15定理3(極值第二判別法)二階導(dǎo)數(shù),且證：同理可證(2).由第一判別法知：注意：1.第二充分條件適用于:駐點(diǎn)應(yīng)用第一判別法判別.16例3.

求函數(shù)解:1)2)令得3)計(jì)算是極大點(diǎn)，其極大值為是極小點(diǎn)，其極小值為17例4.

求函數(shù)解:1)求定義域及導(dǎo)數(shù)2)求駐點(diǎn)令得駐點(diǎn)3)判別故需用第一判別法判別.18試問(wèn)為何值時(shí),極值？解:

由題意應(yīng)有又取得極大值為例5.并求此極值.它是極大值還是極小值？練習(xí)：提示：P163T319觀察：端點(diǎn)的函數(shù)值；駐點(diǎn)的函數(shù)值；不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值.來(lái)自于二、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值的求法★(2)20例1.

求函數(shù)解:1)求導(dǎo)數(shù)2)求極值可疑點(diǎn)不可導(dǎo)點(diǎn)3)計(jì)算是最大點(diǎn)，其最大值為是最小點(diǎn)，其最小值為21例2.

求函數(shù)解:

顯然且故函數(shù)在取最小值0;取最大值20.不可導(dǎo)點(diǎn)為說(shuō)明:與最值點(diǎn)相同,因此也由于令可通過(guò)求最值點(diǎn).思考：22結(jié)論：思考：23★特別:

當(dāng)大(小)值就是最大(小)值.常用于解決實(shí)際問(wèn)題

求

如果在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)且只有一個(gè)極值點(diǎn),則這個(gè)極xyoabxyabo

對(duì)應(yīng)用問(wèn)題,有時(shí)可根據(jù)實(shí)際意義判別求出的可疑點(diǎn)是否為最大值點(diǎn)或最小值點(diǎn).24例1.

某房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租,當(dāng)租金定為每月180元時(shí),公寓會(huì)全部租出去.當(dāng)租金每月增加10元時(shí),就有一套公寓租不出去,而租出去的房子每月需花費(fèi)20元的整修維護(hù)費(fèi).試問(wèn)房租定為多少可獲得最大收入？解：設(shè)房租為每月每月總收入為租出去的房子有（唯一駐點(diǎn)）故每月每套租金為350元時(shí)收入最高.最大收入為三、應(yīng)用舉例25實(shí)際問(wèn)題求最值的步驟:(1)建立目標(biāo)函數(shù);(2)求最值;注：對(duì)于實(shí)際問(wèn)題，大(小)值一定存在，那么可以不必討論是否為極值,就可斷定該點(diǎn)就是若在一定區(qū)間內(nèi)有唯一駐點(diǎn),且知最而且一定在定義區(qū)間內(nèi)部取得，最大(小)值點(diǎn).26例2.解：如圖,27例3.求數(shù)列的最大項(xiàng).證:求導(dǎo)得列表判別:因此在處也取最大值.又因內(nèi)只有唯一的極大點(diǎn)P183T1428內(nèi)容小結(jié)1.連續(xù)函數(shù)的極值(1)極值可疑點(diǎn):使導(dǎo)數(shù)為0或不存在的點(diǎn)x.(2)第一充分條件(3)第二充分條件292.連續(xù)函數(shù)的最值★(2)★特別:

當(dāng)大(小)值就是最大(小)值.常用于解決實(shí)際問(wèn)題

求

如果在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)且只有一個(gè)極值點(diǎn),則這