2022年高考藝術(shù)生專用數(shù)學(xué)講義-第37講直線與圓的綜合問題（教師版）

第37講直線與圓的綜合問題

1.(2021?全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))求過點(diǎn)42,-1),圓心在直線y=-2x上，且與直線x+y-l=O相切的圓的

方程.

【答案】(x-l)2+(y+2)2=2.

【詳解】

設(shè)圓心坐標(biāo)為(a，b),半徑為r,

h=-2aa=1

由題意得：＜(2-a)2+(-l-h)2=r2,解得.h=-2

/=V2

近

故所求圓的方程為(X-1)2+()，+2)2=2.

2.(2021?江蘇高二專題練習(xí))己知圓C的圓心在直線x-2y=0上，且與，軸相切于點(diǎn)(0,1).

(I)求圓C的方程；

(II)若圓C與直線/：x-y+%=0交于A,8兩點(diǎn)，，求小的值.從下列兩個(gè)條件中任選

一個(gè)補(bǔ)充在上面問題中并作答：條件①：NACB=120。；條件②：|A8|=2g.注：如果選擇多個(gè)條件分別

作答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【答案】(I)(x-2)2+(y-l)2=4；(II)答案見解析.

【詳解】

(I)設(shè)圓心坐標(biāo)為C(a,b),半徑為r.

由圓C的圓心在直線x-2y=O匕知：a=2b.

又?.?圓C與丁軸相切于點(diǎn)(0,1),

.*./?=1,a-2,則/"=|a-q=2.

.?.圓C的圓心坐標(biāo)為(2,1),則圓C的方程為(x—2y+(y—I)、"

(II)如果選擇條件①：ZACB=120°,而|C4|=|C8|=2,

二圓心C到直線/的距離d=l則d==1,解得機(jī)=a-1或-亞-I.

Vi+i

如果選擇條件②：|人叫=26,mj|C4|=|C^=2,

則公看=

二圓心C到直線/的距離d=l解得機(jī)=a-1或-亞-I.

3.(2021?陜西新城?)已知圓。經(jīng)過A(2,0),8(8,0)兩點(diǎn)，且與V軸的正半軸相切.

(1)求圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線，：x-y+3=0與圓。交于M,N,求|MN|.

【答案】(1)(x-5)2+(y-4)2=25；(2)2后

【詳解】

⑴設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(x-4+(>-4=/

???根據(jù)圓。經(jīng)過4(2,0),庾8,0)兩點(diǎn)，且與y軸的正半軸相切.

(2—a)?+(0-6)2=r2a=5

(8-d)2+(0-fe)2=r2,解得：-b=4,

|tz|=r,b>0r=5

二圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(x-5)2+(y-4)2=25.

|5-4+3|

⑵圓心C(5,4)到直線/:x—y+3=0的距離為d==2頁.

VT+T

所W\MN\=2J以-儲(chǔ)=2,25-8=247.

4.(2021?全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))求直線/：3x-y-6=O被圓C:x2+y2—2x—4y=0截得的弦A8的長(zhǎng).

【答案】回

【詳解】

解：將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，可得(x-?+(y-2-=5,

所以圓心坐標(biāo)為C(l,2),半徑為r=6,

所以利用點(diǎn)到直線的距離可以求得弦心距為自［二0=巫，

V102

所以根據(jù)幾何法得弦長(zhǎng)為2^|=回.

所以弦AB的長(zhǎng)為布

5.(2021?江蘇廣陵?揚(yáng)州中學(xué)高二月考)已知圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)。和點(diǎn)(4,0),且圓心在x軸上.

(1)求圓C的方程；

(2)已知直線/：3x+4y-ll=0與圓C相交于AB兩點(diǎn)，求所得弦長(zhǎng)|AB|的值.

2

【答案】(1)(X-2)+/=4;(2)26

【詳解】

(1)由題意可得，圓心為(2,0),半徑為2.則圓的方程為(x-2y+V=4；

(2)圓心(2,0)到/的距離為d,d=忸二Ul=l,\AB\=2-Jr2-d2=2^.

6.(2021?平羅中學(xué)高二月考(文))己知直線/：百x+y-8=O,圓C：x2+y2=4.

(1)討論直線/與圓C的位置關(guān)系；

(2)若P是圓C上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)尸到直線/距離的最小值.

【答案】(1)相離；(2)2.

【詳解】

(1)由題意，圓C的圓心為(0,0),半徑為r=2,而圓心到直線/的距離&=示;法1=4,

：.d>r,即直線/與圓C位置關(guān)系為相離.

(2)由(1)知：要使圓C上一點(diǎn)P到直線/距離的最小，則P在圓心和直線/之間，且在P到直線/的垂

線段上，

/.點(diǎn)P到直線I距離的最小值為d-r=2.

7.(2021?全國(guó)高二單元測(cè)試)(1)求圓6：/+/=10的切線方程，使得它經(jīng)過點(diǎn)M(2,44)

(2)圓C2：(x+l)2+(y-2)2=2的切線在x、V軸上截距相等，求切線方程

【答案】(1)2x+#y-10=0；(2)y=(2士"卜或y=-x-l或y=-x+3.

【詳解】

(1)因?yàn)辄c(diǎn)/(2,滿足圓的方程，

所以M(2，G)在圓弓：/+/=10上，

則直線QM的斜率心”=當(dāng)，

2V6

根據(jù)圓的切線的性質(zhì)可得所求直線的斜率A1TF

所以經(jīng)過M的直線方程為y=-半(》-2)+指,

整理可得：2x+V6y-10=0；

(2)由題意可得，

當(dāng)截距全為0時(shí)，即直線過原點(diǎn)，可設(shè)直線方程為'=丘,

則圓心(—1,2)到直線的距離=

即公一4"2=0,解得：k=2士限，

此時(shí)宜線方程為)，=(2土⑹X,

當(dāng)截距相等且不為0時(shí)，可設(shè)直線方程為y=-x+。,

則圓心(-1,2)到直線的距離d=嶗=&,

即”月=2,解得:人=一1或6=3,

此時(shí)切線方程為y=-x-l或y=-x+3,

綜上可得切線方程為：y=(2土指卜或y=-x-l或y=-x+3.

8.(2021?浙江奉化?高二期末)已知直線/過點(diǎn)〃(-3,3),圓C:x2+y2+4y+w=O(weR).

(I)求圓C的圓心坐標(biāo)及直線/截圓C弦長(zhǎng)最長(zhǎng)時(shí)直線/的方程；

(II)若過點(diǎn)M直線與圓C恒有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù))的取值范圍.

【答案】(I)(0,-2),5x+3y+6=O；(II)m《一30.

【詳解】

(I)圓C方程標(biāo)準(zhǔn)化為:x2+(y+2)2=4-m

二圓心C的坐標(biāo)為(0,-2)

直線1截圓C弦長(zhǎng)最長(zhǎng)，即1過圓心,

y-(-2)3~(-2)

故此時(shí)1的方程為:

x-0-(-3-0)

整理得：5x+3y+6=0：

(II)若過點(diǎn)M的直線與圓C恒有公共點(diǎn),

則點(diǎn)M在圓上或圓內(nèi)，

二(-3)2+32+4x3+m<0,

得m4-30.

9.(2021?全國(guó)高二期中)己知點(diǎn)(2,-3)在圓。：x2+y2-8x+6y+/n=0±.

(I)求該圓的圓心坐標(biāo)及半徑長(zhǎng)；

4

(II)過點(diǎn)〃(一1,1),斜率為的直線/與圓C相交于A8兩點(diǎn)，求弦AB的長(zhǎng).

io

【答案】(I)圓心C(4,—3),半徑r=2；(II)弦長(zhǎng)

【詳解】

(I)由題可知：2?+(-3)2-8x2+6x(—3)+，”=On〃z=21

所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-4)2+()，+3)2=4

所以圓心C(4,—3),半徑廠=2

(II)直線/的方程為y-l=(-g}x+l),即4x+3y+l=()

則圓心C到直線/的距離為d="=8

所以弦長(zhǎng)I=2-2=y

10.(2021?浙江高二單元測(cè)試)直線匕-y+6=0被圓V+y2=25截得的弦長(zhǎng)為8,求A的值.

【答案】k=乖)或k=-6.

【詳解】

由題可知弦心距為752-42=3，

代入點(diǎn)到直線的距離公式：4=尼半萼=3

J1+公

平方解方程得：k=+或k=-6

11.(2021?新疆昌吉?)已知圓C:x2+y2+2x-4y+l=0.

(1)求圓心C的坐標(biāo)和半徑的值；

(2)若直線/：x+y=2與圓C相交于4B兩點(diǎn)，求|A團(tuán).

【答案】(1)圓心C(—1,2),半徑為2：(2)|AB|=V14.

【詳解】

(1)C:x2+y2+2x-4y+\=0,得(x+l)?+(y-2)?=4,

所以圓心C(-l,2),半徑為2;

(2)圓心C到直線/：x+y=2距離為d=11+^-2|=，2,

V22

IABT=2/2—年產(chǎn)=m.

12.(2021?福建三明一中)已知圓M經(jīng)過A(-2,3),B(-l,6),C(6,7)三點(diǎn).

(1)求圓加的方程；

(2)求*軸被圓M截得的弦長(zhǎng).

【答案】(1)x2+r-6x-6y-7=0；(2)8

【詳解】

(1)設(shè)圓”的方程為/+?2+6+@+/7=0.

4+9-2O+3E+尸=0,

因?yàn)閳AM經(jīng)過A（—2,3）B（-l,6）C（6,7）.l+36-￡?+6E+F=0,

36+49+6O+7E+F=0,

解得。=-6,E=-6,F=-7,則圓M的方程為f+y2_6x-6y-7=0.

（2）由（1）可得圓M的圓心“（3,3）,半徑r=5.

因?yàn)閳A的的圓心M（3,3）,所以圓"到x軸的距離8=從,|=3,

因?yàn)閳AM的半徑r=5,所以x軸被圓M截得的弦長(zhǎng)為2介-4=2x=8.

13.（2021?貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)）已知點(diǎn)A（4,2）和8（0,2）

（1）求直線A8的斜率和A8的中點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（2）若圓C經(jīng)過48兩點(diǎn)，且圓心在直線2x-y=3上，求圓C的方程.

【答案】⑴斜率為1,坐標(biāo)為（2,0）（2）

【詳解】

（1）由已知可得=^^=1

AB的中點(diǎn)〃的坐標(biāo)為⑵0）.

（2）設(shè)圓心C為（。力），半徑為r

???圓心在直線2x—y=3上，：.2a-b=3,則點(diǎn)C為（。,2a-3）

由題意可得|AC|=|8C|

J（a-4+（2a-3-2）2=-0）2+（2叱3+2）

解得“

.1V74

二，