（新教材）新素養(yǎng)人教A版高中數(shù)學必修第二冊學案6．1平面向量的概念

6．1平面向量的概念考點學習目標核心素養(yǎng)平面向量的相關概念了解平面向量的實際背景，理解平面向量的相關概念數(shù)學抽象平面向量的幾何表示掌握向量的表示方法，理解向量的模的概念數(shù)學抽象相等向量與共線向量理解兩個向量相等的含義以及共線向量的概念數(shù)學抽象、邏輯推理問題導學預習教材P2－P4的內容，思考以下問題：1．向量是如何定義的？向量與數(shù)量有什么區(qū)別？2．怎樣表示向量？向量的相關概念有哪些？3．兩個向量(向量的模)能否比較大??？4．如何判斷相等向量或共線向量？向量eq\o(AB,\s\up6(→))與向量eq\o(BA,\s\up6(→))是相等向量嗎？1．向量的概念及表示(1)概念：既有大小又有方向的量．(2)有向線段①定義：具有方向的線段．②三個要素：起點、方向、長度．③表示：在有向線段的終點處畫上箭頭表示它的方向．以A為起點、B為終點的有向線段記作eq\o(AB,\s\up6(→))．④長度：線段AB的長度也叫做有向線段eq\o(AB,\s\up6(→))的長度，記作|eq\o(AB,\s\up6(→))|.(3)向量的表示■名師點撥(1)判斷一個量是否為向量，就要看它是否具備大小和方向兩個因素．(2)用有向線段表示向量時，要注意eq\o(AB,\s\up6(→))的方向是由點A指向點B，點A是向量的起點，點B是向量的終點．2．向量的有關概念(1)向量的模(長度)：向量eq\o(AB,\s\up6(→))的大小，稱為向量eq\o(AB,\s\up6(→))的長度(或稱模)，記作|eq\o(AB,\s\up6(→))|．(2)零向量：長度為0的向量，記作0.(3)單位向量：長度等于1個單位長度的向量．3．兩個向量間的關系(1)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共線向量．若a，b是平行向量，記作a∥b.規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對任意向量a，都有0∥a．(2)相等向量：長度相等且方向相同的向量，若a，b是相等向量，記作a＝b.■名師點撥(1)平行向量也稱為共線向量，兩個概念沒有區(qū)別．(2)共線向量所在直線可以平行，與平面幾何中的共線不同．(3)平行向量可以共線，與平面幾何中的直線平行不同．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)兩個向量，長度大的向量較大．()(2)如果兩個向量共線，那么其方向相同．()(3)向量的模是一個正實數(shù)．()(4)向量就是有向線段．()(5)向量eq\o(AB,\s\up6(→))與向量eq\o(BA,\s\up6(→))是相等向量．()(6)兩個向量平行時，表示向量的有向線段所在的直線一定平行．()(7)零向量是最小的向量．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×(6)×(7)×已知向量a如圖所示，下列說法不正確的是()A．也可以用eq\o(MN,\s\up6(→))表示 B．方向是由M指向NC．起點是M D．終點是M答案：D已知點O固定，且|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝2，則A點構成的圖形是()A．一個點 B．一條直線C．一個圓 D．不能確定答案：C如圖，四邊形ABCD和ABDE都是平行四邊形，則與eq\o(ED,\s\up6(→))相等的向量有________．答案：eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))向量的相關概念給出下列命題：①若eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，則A，B，C，D四點是平行四邊形的四個頂點；②在?ABCD中，一定有eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))；③若a＝b，b＝c，則a＝c.其中所有正確命題的序號為________．【解析】eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，A，B，C，D四點可能在同一條直線上，故①不正確；在?ABCD中，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|，eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(DC,\s\up6(→))平行且方向相同，故eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，故②正確；a＝b，則|a|＝|b|，且a與b的方向相同；b＝c，則|b|＝|c|，且b與c的方向相同，則a與c長度相等且方向相同，故a＝c，故③正確．【答案】②③eq\a\vs4\al()(1)判斷一個量是否為向量的兩個關鍵條件①有大??；②有方向．兩個條件缺一不可．(2)理解零向量和單位向量應注意的問題①零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等；②單位向量不一定相等，易忽略向量的方向．1．下列說法中正確的是()A．數(shù)量可以比較大小，向量也可以比較大小B．方向不同的向量不能比較大小，但同向的向量可以比較大小C．向量的大小與方向有關D．向量的?？梢员容^大小解析：選D.不管向量的方向如何，它們都不能比較大小，故A，B不正確；向量的大小即為向量的模，指的是有向線段的長度，與方向無關，故C不正確；向量的模是一個數(shù)量，可以比較大?。蔇正確．2．下列說法正確的是()A．向量eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))就是eq\o(AB,\s\up6(→))所在的直線平行于eq\o(CD,\s\up6(→))所在的直線B．長度相等的向量叫做相等向量C．零向量與任一向量平行D．共線向量是在一條直線上的向量解析：選C.向量eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))包含eq\o(AB,\s\up6(→))所在的直線與eq\o(CD,\s\up6(→))所在的直線平行和重合兩種情況，故A錯；相等向量不僅要求長度相等，還要求方向相同，故B錯；C顯然正確；共線向量可以是在一條直線上的向量，也可以是所在直線互相平行的向量，故D錯．向量的表示在如圖所示的坐標紙上(每個小方格的邊長為1)，用直尺和圓規(guī)畫出下列向量：(1)eq\o(OA,\s\up6(→))，使|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝4eq\r(2)，點A在點O北偏東45°方向上；(2)eq\o(AB,\s\up6(→))，使|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝4，點B在點A正東方向上；(3)eq\o(BC,\s\up6(→))，使|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝6，點C在點B北偏東30°方向上．【解】(1)由于點A在點O北偏東45°方向上，所以在坐標紙上點A距點O的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)相等．又|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝4eq\r(2)，小方格的邊長為1，所以點A距點O的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)都為4，于是點A的位置可以確定，畫出向量eq\o(OA,\s\up6(→))，如圖所示．(2)由于點B在點A正東方向上，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝4，所以在坐標紙上點B距點A的橫向小方格數(shù)為4，縱向小方格數(shù)為0，于是點B的位置可以確定，畫出向量eq\o(AB,\s\up6(→))，如圖所示．(3)由于點C在點B北偏東30°方向上，且|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝6，依據(jù)勾股定理可得，在坐標紙上點C距點B的橫向小方格數(shù)為3，縱向小方格數(shù)為3eq\r(3)≈5.2，于是點C的位置可以確定，畫出向量eq\o(BC,\s\up6(→))，如圖所示．eq\a\vs4\al()用有向線段表示向量的步驟已知飛機從A地按北偏東30°的方向飛行2000km到達B地，再從B地按南偏東30°的方向飛行2000km到達C地，再從C地按西南方向飛行1000eq\r(2)km到達D地．(1)作出向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))；(2)問D地在A地的什么方向？D地距A地多遠？解：(1)由題意，作出向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))，如圖所示．(2)依題意知，三角形ABC為正三角形，所以AC＝2000km.又因為∠ACD＝45°，CD＝1000eq\r(2)，所以△ACD為等腰直角三角形，即AD＝1000eq\r(2)km，∠CAD＝45°，所以D地在A地的東南方向，距A地1000eq\r(2)km.共線向量與相等向量如圖所示，O是正六邊形ABCDEF的中心，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，在每兩點所確定的向量中．(1)與a的長度相等、方向相反的向量有哪些？(2)與a共線的向量有哪些？【解】(1)與a的長度相等、方向相反的向量有eq\o(OD,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(AO,\s\up6(→))，eq\o(FE,\s\up6(→)).(2)與a共線的向量有eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))，eq\o(FE,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(DO,\s\up6(→))，eq\o(AO,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→)).1．[變條件、變問法]本例中若eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，其他條件不變，試分別寫出與a，b，c相等的向量．解：與a相等的向量有eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(DO,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))；與b相等的向量有eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(EO,\s\up6(→))，eq\o(FA,\s\up6(→))；與c相等的向量有eq\o(FO,\s\up6(→))，eq\o(ED,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→)).2．[變問法]本例條件不變，與eq\o(AD,\s\up6(→))共線的向量有哪些？解：與eq\o(AD,\s\up6(→))共線的向量有eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))，eq\o(FE,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(DO,\s\up6(→))，eq\o(AO,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(OA,\s\up6(→)).eq\a\vs4\al()共線向量與相等向量的判斷(1)如果兩個向量所在的直線平行或重合，那么這兩個向量是共線向量．(2)共線向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共線向量．(3)非零向量的共線具有傳遞性，即向量a，b，c為非零向量，若a∥b，b∥c，則可推出a∥c.[注意]對于共線向量所在直線的位置關系的判斷，要注意直線平行或重合兩種情況．1．已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))與向量eq\o(BC,\s\up6(→))共線，下列關于向量eq\o(AC,\s\up6(→))的說法中，正確的為()A．向量eq\o(AC,\s\up6(→))與向量eq\o(AB,\s\up6(→))一定同向B．向量eq\o(AC,\s\up6(→))，向量eq\o(AB,\s\up6(→))，向量eq\o(BC,\s\up6(→))一定共線C．向量eq\o(AC,\s\up6(→))與向量eq\o(BC,\s\up6(→))一定相等D．以上說法都不正確解析：選B.根據(jù)共線向量的定義，可知eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))這三個向量一定為共線向量，故選B.2．如圖，四邊形ABCD和BCED都是平行四邊形，在每兩點所確定的向量中：(1)寫出與eq\o(BC,\s\up6(→))相等的向量；(2)寫出與eq\o(BC,\s\up6(→))共線的向量．解：(1)因為四邊形ABCD和BCED都是平行四邊形，所以BC∥AD∥DE，BC＝AD＝DE，所以eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DE,\s\up6(→)).故與eq\o(BC,\s\up6(→))相等的向量為eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(DE,\s\up6(→)).(2)與eq\o(BC,\s\up6(→))共線的向量共有7個，分別是eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(DE,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(ED,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(EA,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→)).1.如圖，在?ABCD中，點E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，圖中與eq\o(AE,\s\up6(→))平行的向量的個數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4解析：選C.圖中與eq\o(AE,\s\up6(→))平行的向量為eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(FD,\s\up6(→))，eq\o(FC,\s\up6(→))共3個．2．下列結論中正確的是()①若a∥b且|a|＝|b|，則a＝b；②若a＝b，則a∥b且|a|＝|b|；③若a與b方向相同且|a|＝|b|，則a＝b；④若a≠b，則a與b方向相反且|a|≠|b|.A．①③ B．②③C．③④ D．②④解析：選B.兩個向量相等需同向等長，反之也成立，故①錯誤，a，b可能反向；②③正確；④兩向量不相等，可能是不同向或者長度不相等或者不同向且長度不相等．3．已知O是正方形ABCD對角線的交點，在以O，A，B，C，D這5點中任意一點為起點，另一點為終點的所有向量中，寫出：(1)與eq\o(BC,\s\up6(→))相等的向量；(2)與eq\o(OB,\s\up6(→))長度相等的向量；(3)與eq\o(DA,\s\up6(→))共線的向量．解：畫出圖形，如圖所示．(1)易知BC∥AD，BC＝AD，所以與eq\o(BC,\s\up6(→))相等的向量為eq\o(AD,\s\up6(→)).(2)由O是正方形ABCD對角線的交點知OB＝OD＝OA＝OC，所以與eq\o(OB,\s\up6(→))長度相等的向量為eq\o(BO,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(CO,\s\up6(→))，eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(AO,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))，eq\o(DO,\s\up6(→)).(3)與eq\o(DA,\s\up6(→))共線的向量為eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→)).[A基礎達標]1．下列命題中，正確命題的個數(shù)是()①單位向量都共線；②長度相等的向量都相等；③共線的單位向量必相等；④與非零向量a共線的單位向量是eq\f(a,|a|).A．3 B．2C．1 D．0解析：選D.根據(jù)單位向量的定義，可知①②③明顯是錯誤的；對于④，與非零向量a共線的單位向量是eq\f(a,|a|)或－eq\f(a,|a|)，故④也是錯誤的．2．下列說法正確的是()A．若a與b平行，b與c平行，則a與c一定平行B．終點相同的兩個向量不共線C．若|a|>|b|，則a>bD．單位向量的長度為1解析：選D.A中，因為零向量與任意向量平行，若b＝0，則a與c不一定平行．B中，兩向量終點相同，若夾角是0°或180°，則共線．C中，向量是既有大小，又有方向的量，不可以比較大?。?．如圖，在正六邊形ABCDEF中，點O為其中心，則下列判斷錯誤的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→)) B.eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(DE,\s\up6(→))C．|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(BE,\s\up6(→))| D.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(FC,\s\up6(→))解析：選D.由題圖可知，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(FC,\s\up6(→))|，但eq\o(AD,\s\up6(→))、eq\o(FC,\s\up6(→))的方向不同，故eq\o(AD,\s\up6(→))≠eq\o(FC,\s\up6(→))，故選D.4．設O是△ABC的外心，則eq\o(AO,\s\up6(→))，eq\o(BO,\s\up6(→))，eq\o(CO,\s\up6(→))是()A．相等向量 B．模相等的向量C．平行向量 D．起點相同的向量解析：選B.因為三角形的外心是三角形外接圓的圓心，所以點O到三個頂點A，B，C的距離相等，所以eq\o(AO,\s\up6(→))，eq\o(BO,\s\up6(→))，eq\o(CO,\s\up6(→))是模相等的向量．5．若a是任一非零向量，b是單位向量，下列各式：①|a|>|b|；②a∥b；③|a|>0；④|b|＝±1；⑤eq\f(a,|a|)＝b，其中正確的有()A．①④⑤ B．③C．①②③⑤ D．②③⑤解析：選B.①|a|>|b|不正確，a是任一非零向量，模長是任意的，故不正確；②不一定有a∥b，故不正確；③向量的模長是非負數(shù)，而向量a是非零向量，故|a|>0正確；④|b|＝1，故④不正確；⑤eq\f(a,|a|)是與a同向的單位向量，不一定與b同向，故不正確．6．如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，O為其中心，則|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝________．解析：因為正方形的對角線長為2eq\r(2)，所以|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝eq\r(2).答案：eq\r(2)7．如果在一個邊長為5的正△ABC中，一個向量所對應的有向線段為eq\o(AD,\s\up6(→))(其中D在邊BC上運動)，則向量eq\o(AD,\s\up6(→))長度的最小值為________．解析：根據(jù)題意，在正△ABC中，有向線段AD的長度最小時，AD應與邊BC垂直，有向線段AD長度的最小值為正△ABC的高，為eq\f(5\r(3),2).答案：eq\f(5\r(3),2)8．已知A，B，C是不共線的三點，向量m與向量eq\o(AB,\s\up6(→))是平行向量，與eq\o(BC,\s\up6(→))是共線向量，則m＝________．解析：因為A，B，C不共線，所以eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))不共線．又m與eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))都共線，所以m＝0.答案：09.在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊AD，BC的中點，如圖．(1)在每兩點所確定的向量中，寫出與向量eq\o(FC,\s\up6(→))共線的向量；(2)求證：eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(FD,\s\up6(→)).解：(1)由共線向量滿足的條件得與向量eq\o(FC,\s\up6(→))共線的向量有：eq\o(CF,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(BF,\s\up6(→))，eq\o(FB,\s\up6(→))，eq\o(ED,\s\up6(→))，eq\o(DE,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(EA,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→)).(2)證明：在?ABCD中，AD綊BC.又E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點，所以ED綊BF，所以四邊形BFDE是平行四邊形，所以BE綊FD，所以eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(FD,\s\up6(→)).10．已知在四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))，求eq\o(AD,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))分別滿足什么條件時，四邊形ABCD滿足下列情況．(1)四邊形ABCD是等腰梯形；(2)四邊形ABCD是平行四邊形．解：(1)|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|，且eq\o(AD,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))不平行．因為eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))，所以四邊形ABCD為梯形或平行四邊形．若四邊形ABCD為等腰梯形，則|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|，同時兩向量不平行．(2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))(或eq\o(AD,\s\up6(→))∥eq\o(BC,\s\up6(→)))．若eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，即四邊形的一組對邊平行且相等，此時四邊形ABCD為平行四邊形．[B能力提升]11．在菱形ABCD中，∠DAB＝120°，則以下說法錯誤的是()A．與eq\o(AB,\s\up6(→))相等的向量只有一個(不含eq\o(AB,\s\up6(→)))B．與eq\o(AB,\s\up6(→))的模相等的向量有9個(不含eq\o(AB,\s\up6(→)))C．eq\o(BD,\s\up6(→))的模恰為eq\o(DA,\s\up6(→))模的eq\r(3)倍D．eq\o(CB,\s\up6(→))與eq\o(DA,\s\up6(→))不共線解析：選D.兩向量相等要求長度(模)相等，方向相同．兩向量共線只要求方向相同或相反．D中eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))所在直線平行，向量方向相同，故共線．12.如圖，等腰梯形ABCD中，對角線AC與BD交于點P，點E，F(xiàn)分別在腰AD，BC上，EF過點P，且EF∥AB，則()A.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→)) B.eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))C.eq\o(PE,\s\up6(→))＝eq\o(PF,\s\up6(→)) D.eq\o(EP,\s\up6(→))＝eq\o(PF,\s\up6(→))解析：選D.由平面幾何知識知，eq\o(AD,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))方向不同，故eq\o(AD,\s\up6(→))≠eq\o(BC,\s\up6(→))；eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(BD,\s\up6(→))方向不同，故eq\o(AC,\s\up6(→))≠eq\o(BD,\s\up6(→))；eq\o(PE,\s\up6(→))與eq\o(PF,\s\up6(→))的模相等而方向相反，故eq\o(PE,\s\up6(→))≠eq\o(PF,\s\up6(→))；eq\o(EP,\s\up6(→))與eq\o(PF,\s\up6(→))的模相等且方向相同，所以eq\o(EP,\s\up6(→))＝eq\o(PF,\s\up6(→)).13．如圖，在△ABC中，∠ACB的平分線CD交AB于點D.若eq\o(AC,\s\up6(→))的模為2，eq\o(BC,\s\up6(→))的模為3，eq\