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2022-2023學(xué)年江西省宜春市普通高校對(duì)口單招高等數(shù)學(xué)一自考模擬考試(含答案)學(xué)校:________班級(jí):________姓名:________考號(hào):________

一、單選題(20題)1.

2.A.A.

B.e

C.e2

D.1

3.在下列函數(shù)中,在指定區(qū)間為有界的是()。

A.f(x)=22z∈(一∞,0)

B.f(x)=lnxz∈(0,1)

C.

D.f(x)=x2x∈(0,+∞)

4.

()A.x2

B.2x2

C.xD.2x

5.微分方程y"-y=ex的一個(gè)特解應(yīng)具有的形式為(下列各式中α、b為常數(shù))。A.aex

B.axex

C.aex+bx

D.axex+bx

6.

7.A.exln2

B.e2xln2

C.ex+ln2

D.e2x+ln2

8.

9.由曲線,直線y=x,x=2所圍面積為

A.

B.

C.

D.

10.設(shè)().A.A.必定收斂B.必定發(fā)散C.收斂性與a有關(guān)D.上述三個(gè)結(jié)論都不正確11.A.0B.2C.2f(-1)D.2f(1)

12.

13.

14.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)可導(dǎo)f(x)>0,則在(0,1)內(nèi)f(x)().

A.單調(diào)增加B.單調(diào)減少C.為常量D.既非單調(diào),也非常量

15.

16.A.A.4πB.3πC.2πD.π17.下列關(guān)系式正確的是()A.A.

B.

C.

D.

18.設(shè)f(0)=0,且存在,則等于().A.A.f'(x)B.f'(0)C.f(0)D.f(x)

19.設(shè)f(x)=sin2x,則f(0)=()

A.-2B.-1C.0D.2

20.已知作用在簡(jiǎn)支梁上的力F與力偶矩M=Fl,不計(jì)桿件自重和接觸處摩擦,則以下關(guān)于固定鉸鏈支座A的約束反力表述正確的是()。

A.圖(a)與圖(b)相同B.圖(b)與圖(c)相同C.三者都相同D.三者都不相同二、填空題(20題)21.冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為______.22.

23.

24.

25.

26.方程y'-ex-y=0的通解為_____.

27.設(shè)f(x,y)=x+(y-1)arcsinx,則f'x(x,1)=__________。

28.

29.

30.設(shè)f(x,y)=sin(xy2),則df(x,y)=______.

31.

32.通解為C1e-x+C2e-2x的二階常系數(shù)線性齊次微分方程是____.

33.設(shè)z=x2y+siny,=________。

34.

35.36.二元函數(shù)z=x2+3xy+y2+2x,則=________。

37.

38.39.微分方程y"=y的通解為______.40.設(shè)y=3x,則y"=_________。三、計(jì)算題(20題)41.

42.設(shè)拋物線Y=1-x2與x軸的交點(diǎn)為A、B,在拋物線與x軸所圍成的平面區(qū)域內(nèi),以線段AB為下底作內(nèi)接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示).設(shè)梯形上底CD長(zhǎng)為2x,面積為

S(x).

(1)寫出S(x)的表達(dá)式;

(2)求S(x)的最大值.

43.求函數(shù)f(x)=x3-3x+1的單調(diào)區(qū)間和極值.

44.

45.求函數(shù)一的單調(diào)區(qū)間、極值及其曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn).46.證明:47.研究級(jí)數(shù)的收斂性(即何時(shí)絕對(duì)收斂,何時(shí)條件收斂,何時(shí)發(fā)散,其中常數(shù)a>0.

48.已知某商品市場(chǎng)需求規(guī)律為Q=100e-0.25p,當(dāng)p=10時(shí),若價(jià)格上漲1%,需求量增(減)百分之幾?

49.50.設(shè)平面薄板所占Oxy平面上的區(qū)域D為1≤x2+y2≤4,x≥0,y≥0,其面密度

u(x,y)=2+y2,求該薄板的質(zhì)量m.51.求微分方程的通解.52.求曲線在點(diǎn)(1,3)處的切線方程.53.求函數(shù)y=x-lnx的單調(diào)區(qū)間,并求該曲線在點(diǎn)(1,1)處的切線l的方程.54.

55.將f(x)=e-2X展開為x的冪級(jí)數(shù).56.當(dāng)x一0時(shí)f(x)與sin2x是等價(jià)無窮小量,則

57.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解.

58.

59.60.四、解答題(10題)61.

62.

63.

64.

65.(本題滿分10分)

66.

67.

確定a,b使得f(x)在x=0可導(dǎo)。

68.

69.70.的面積A。五、高等數(shù)學(xué)(0題)71.已知同上題若產(chǎn)品以每件500元出售,問:要使利潤(rùn)最大,應(yīng)生產(chǎn)多少件?

六、解答題(0題)72.

參考答案

1.C

2.C本題考查的知識(shí)點(diǎn)為重要極限公式.

3.A∵0<2x<1x∈(一∞,0)∴f(x)=2x在區(qū)間(一∞,0)內(nèi)為有界函數(shù)。

4.A

5.B方程y"-y=0的特征方程是r2-1=0,特征根為r1=1,r2=-1。

方程y"-y=ex中自由項(xiàng)f1(x)=ex,α=1是特征單根,故應(yīng)設(shè)定y*=αxex,因此選B。

6.D

7.B本題考查了一階線性齊次方程的知識(shí)點(diǎn)。

因f'(x)=f(x)·2,即y'=2y,此為常系數(shù)一階線性齊次方程,其特征根為r=2,所以其通解為y=Ce2x,又當(dāng)x=0時(shí),f(0)=ln2,所以C=In2,故f(x)=e2xln2.

注:方程y'=2y求解時(shí)也可用變量分離.

8.C

9.B

10.D

11.C本題考查了定積分的性質(zhì)的知識(shí)點(diǎn)。

12.A解析:

13.A

14.A本題考查的知識(shí)點(diǎn)為利用導(dǎo)數(shù)符號(hào)判定函數(shù)的單調(diào)性.

由于f(x)在(0,1)內(nèi)有f(x)>0,可知f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)增加,故應(yīng)選A.

15.C解析:

16.A

17.C

18.B本題考查的知識(shí)點(diǎn)為導(dǎo)數(shù)的定義.

由于存在,因此

可知應(yīng)選B.

19.D由f(c)=sin2x可得f"(x)=cos2x(2x)"=2cos2x,f"(0)=2cos0=2,故選D。

20.D21.0本題考查的知識(shí)點(diǎn)為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑.

所給冪級(jí)數(shù)為不缺項(xiàng)情形

因此收斂半徑為0.22.

23.

24.

解析:

25.12x12x解析:26.ey=ex+Cy'-ex-y=0,可改寫為eydy=exdx,兩邊積分得ey=ex+C.

27.1

28.0

29.

30.y2cos(xy2)dx+2xycos(xy2)dydf(x,y)=cos(xy2)d(xy2)=cos(xy2)(y2dx+2xydy)=y2cos(xy2)dx+2xycos(xy2)dy也可先求出,而得出df(x,y).31.0.

本題考查的知識(shí)點(diǎn)為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑.

所給冪級(jí)數(shù)為不缺項(xiàng)情形

因此收斂半徑為0.

32.33.由于z=x2y+siny,可知。

34.

35.36.因?yàn)閦=x2+3xy+y2+2x,

37.(-35)(-3,5)解析:

38.39.y'=C1e-x+C2ex

;本題考查的知識(shí)點(diǎn)為二階常系數(shù)線性齊次微分方程的求解.

將方程變形,化為y"-y=0,

特征方程為r2-1=0;

特征根為r1=-1,r2=1.

因此方程的通解為y=C1e-x+C2ex.40.3e3x

41.

42.

43.函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

注意

44.

45.

列表:

說明

46.

47.

48.需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p

∴當(dāng)P=10時(shí)價(jià)格上漲1%需求量減少2.5%需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p,

∴當(dāng)P=10時(shí),價(jià)格上漲1%需求量減少2.5%

49.50.由二重積分物理意義知

51.52.曲線方程為,點(diǎn)(1,3)在曲線上.

因此所求曲線方程為或?qū)憺?x+y-5=0.

如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)存在,則表明曲線y=f(x)在點(diǎn)

(x0,fx0))處存在切線,且切線的斜率為f′(x0).切線方程為

53.

54.由一階線性微分方程通解公式有

55.56.由等價(jià)無窮小量的定義可知

57.解:原方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為y"-4y'+4y=0,

58.

59.

60.

61.

62.

63.

64.

65.本題考查的知識(shí)點(diǎn)為計(jì)算二重積分,選擇積分次序.

積分區(qū)域D如圖1—3所示.

D可以表示為

【解題指導(dǎo)】

如果將二重積分化為先對(duì)x后對(duì)y的積分,將變得復(fù)雜,因此考生應(yīng)該學(xué)會(huì)選擇合適的積分次序.

66.

67.

①f(0)=1;f-=(0)=1;+(0)=a+b;∵可導(dǎo)一定連續(xù)∴a+b=1②

∵可導(dǎo)f-"(x)=f+"(x)∴b=-4∴a=5①f(0)=1;f-=(0)=1;+(0)=a+b;∵可導(dǎo)一定連續(xù)∴a+b=1②∵可導(dǎo)f-"(x)=f+"(x)∴b=-4∴a=

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