屆高考數(shù)學(xué)大一輪總復(fù)習(xí)大題規(guī)范練函數(shù)與導(dǎo)數(shù)文北師大版-精

高大規(guī)練)

函與數(shù)41．(2015·重慶卷已函數(shù)()＝ax＋x(∈在＝處取得極值。3(1)確定a的值；(2)若(＝fx)e，討論gx的調(diào)性。解(1)對(duì)fx求導(dǎo)得f′()＝＋，44因?yàn)?在x＝處取得極值，所以′33

＝，16416a81即3·－＝0，解得＝。93321(2)由(1)得()＝＋31故′()＝＋215＝＋x＋2

e

1＝x(x＋1)(＋4)e。2令′()＝0，解得＝，＝－或＝－。當(dāng)－4，′()<0，故g()為減函數(shù)；當(dāng)－4<<－，′(，故(為增函數(shù)；當(dāng)－1<<0時(shí)，′()<0故()為減函數(shù)；當(dāng)>0時(shí)，′()>0故(x)為函數(shù)。綜上知gx在－∞，－4)和－1,0)內(nèi)為減函數(shù)(，1)和，＋∞)為增函數(shù)。2．(2015·北京卷設(shè)數(shù)f)＝－klnx，>02(1)求(的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)證明：若fx)存在零點(diǎn)，則()在區(qū)(，e)上僅有一個(gè)零點(diǎn)。x解(1)由fx＝－lnx(>0)得2kx－f′(＝－＝。x由′()＝0解＝。f(與f′()區(qū)間，＋∞)的情況如下：x

(0，k

k

(k，＋∞)1

f′()f()

－0＋k－2所以)的單調(diào)遞減區(qū)間(，)單調(diào)遞增區(qū)間(k＋∞)f(x)xk處k1－ln取得極小值f()＝。2k1－(2)證明：由(1)知，()在區(qū)間0，＋上最小值為fk＝。2k－因?yàn)?存在零點(diǎn)，所以≤0從≥e2當(dāng)＝，()在區(qū)間1，e)上單調(diào)遞減，且f(e)＝0，所以＝e是fx)在區(qū)間1，e]上唯一零點(diǎn)。1e－k當(dāng)>e時(shí)，(x在區(qū)間0，e)上單調(diào)遞減，且(1)>0，(e)＝<0，22所以(在區(qū)間1，e]上僅一個(gè)零點(diǎn)。綜上可知，若f(x)存在零點(diǎn)，則()區(qū)間，e]僅有一個(gè)零點(diǎn)。3．已知函數(shù)fx)＝ax＋－lnx。(1)若＝，函數(shù)(的單調(diào)區(qū)間；(2)若(1)＝2，且在定義域內(nèi)(x)≥＋恒立，求實(shí)數(shù)b取值范圍。解(1)當(dāng)a0時(shí)，(＝x－lnx，函數(shù)定義域?yàn)?0，＋。f′(lnx，由－＝，得＝。當(dāng)∈(0,1)時(shí)，′(，(x在0,1)上增數(shù)；當(dāng)∈，＋∞)，x，()在(1，＋上是減函數(shù)。所以函數(shù)fx的單調(diào)增區(qū)間是0,1)，調(diào)減區(qū)(1，＋∞)(2)由(1)＝2，得a＋＝，＝，∴f(x＝x＋－lnx，由()≥bx＋x，得x＋－xx≥＋x，1ln又∵x>0，∴≤1－恒立。x1lnlnx令()＝－－，得g′()＝，xx∴(在(0,1]上單調(diào)遞減，在[1，＋∞)上調(diào)增，∴()＝g(1)＝0，∴實(shí)數(shù)b的值范圍是(－∞，0]。14．已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函()＝x＋2g()＝3lnx＋，中>0，設(shè)兩2曲線y＝)，＝()公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線相同。2

1212(1)用表b；(2)求證：()g(x)(>0)。解(1)設(shè)曲線y＝(x)與y＝(xx>0)在公共點(diǎn)x，)處的切相同，3∵′()＝＋a，′()＝，x∴依題意得′x，即

＋＝ln＋，3x2＝，3由＋＝，x＝或x＝a(舍去)，15則＝a＋a－aln＝a22

－lna。(2)證明：設(shè)Fx)＝()－(x)1＝x＋ax－alnx－(，23－x＋3a則′()＝＋2－＝(>0)，xx由′()＝0得＝或x＝－3(舍去。當(dāng)變時(shí)′()x的變化情況如下表：xF′()Fx)

(0，)－

a0極小值

(，＋∞)＋結(jié)合(1)可知函數(shù)x在0，＋上的最小值F()＝()－()＝0。故當(dāng)>0，有()x)≥0，即當(dāng)>0，()≥()。－5．(2015·福建卷已函數(shù)()＝lnx－。2(1)求函數(shù)fx的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)證明：當(dāng)x>1時(shí)f()<－；(3)確定實(shí)數(shù)k的所有可能取值得存在>1當(dāng)∈)時(shí)有f()>－1)。1－＋x＋解(1)′(＝－x＋＝，∈，＋。xx3

由′()>0得，1＋5解得0<<。215故()的單調(diào)遞增區(qū)間2(2)證明：令Fx)＝()－－∈(0，＋∞)，1－x則有′()＝。x當(dāng)∈，＋∞)，x，所以(在[，＋∞)上單調(diào)遞減，故當(dāng)>1，()<(1)0，即當(dāng)x>1時(shí)，()<－。(3)由(2)知，當(dāng)k＝時(shí)不存在x>1滿(mǎn)題意。當(dāng)>1時(shí)，于>1，有fx)<－1<k(x－，f()<(－1)，從而不存在x>1滿(mǎn)題意。當(dāng)<1時(shí)，()f(x)＝k(x－，∈，＋∞)1－＋1k＋則有′()＝－＋－k＝。x由′()＝0得－＋(1－k)x＋＝。1－－