計(jì)算機(jī)算法基礎(chǔ)1VIP

序?qū)I(yè)基礎(chǔ)課程：數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、計(jì)算機(jī)語言操作系統(tǒng)、編譯如何編寫計(jì)算機(jī)程序：數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)+算法=程序算法：計(jì)算機(jī)軟件的“靈魂”算法是計(jì)算機(jī)科學(xué)和計(jì)算機(jī)應(yīng)用的核心2023/3/8教材：計(jì)算機(jī)算法基礎(chǔ)余祥宣等編著華中科技高校出版社參考書：算法設(shè)計(jì)與分析王曉東編著清華高校出版社計(jì)算機(jī)算法導(dǎo)引——設(shè)計(jì)與分析盧開澄編著清華高校出版社IntroductionToAlgorithm高教出版社，MITPress

學(xué)時(shí)：32+8學(xué)時(shí)2023/3/8章節(jié)支配第一章導(dǎo)引與基本數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)√其次章分治法 √第三章貪心方法 √第四章動(dòng)態(tài)規(guī)劃√第五章檢索與周游 √第六章回溯法 ⊙第七章分枝-限界 ⊙第八章NP-問題 ?

2023/3/8第一章導(dǎo)引與基本數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)1.1算法的定義及特性1.什么是算法？★算法如數(shù)字、計(jì)算一樣，是一個(gè)基本概念。★算法是解一確定類問題的隨意一種特殊的方法?！镌谟?jì)算機(jī)科學(xué)中，算法是運(yùn)用計(jì)算機(jī)解一類問題的精確、有效方法的代名詞；算法是一組有窮的規(guī)則，它規(guī)定了解決某一特定類型問題的一系列運(yùn)算。2023/3/82.算法的五個(gè)重要特性確定性、能行性、輸入、輸出、有窮性1）確定性：算法的每種運(yùn)算必須要有準(zhǔn)確的定義，不能有二義性。例：不符合確定性的運(yùn)算5/0將6或7與x相加未賦值變量參與運(yùn)算2023/3/82）能行性算法中有待實(shí)現(xiàn)的運(yùn)算都是基本的運(yùn)算，原理上每種運(yùn)算都能由人用紙和筆在“有限”的時(shí)間內(nèi)完成。例：整數(shù)的算術(shù)運(yùn)算是“能行”的實(shí)數(shù)的算術(shù)運(yùn)算是“不能行”的2023/3/83）輸入每個(gè)算法有0個(gè)或多個(gè)輸入。這些輸入是在算法起先之前給出的量，取自于特定的對象集合——定義域（或值域）4）輸出一個(gè)算法產(chǎn)生一個(gè)或多個(gè)輸出，這些輸出是同輸入有某種特定關(guān)系的量。2023/3/85）有窮性一個(gè)算法總是在執(zhí)行了有窮步的運(yùn)算之后終止。計(jì)算過程：只滿足確定性、能行性、輸入、輸出四個(gè)特性的一組規(guī)則。

算法和計(jì)算過程的區(qū)分：計(jì)算過程：操作系統(tǒng)(不終止的運(yùn)行過程)算法是“可以終止的計(jì)算過程”算法的時(shí)效性：只能把在相當(dāng)有窮步內(nèi)終止的算法投入到計(jì)算機(jī)上運(yùn)行2023/3/84.我們的主要任務(wù)算法學(xué)習(xí)將涉及5個(gè)方面的內(nèi)容：1）設(shè)計(jì)算法：創(chuàng)建性的活動(dòng)2）表示算法：思想的表示形式，SPARKS語言3）確認(rèn)算法：證明算法對全部可能的合法輸入都能得出正確的答案。算法證明：證明算法的正確性，與語言無關(guān)程序證明：證明程序的正確性4）分析算法：對算法的時(shí)、空特性做定量分析，以了解算法的好壞5）測試程序：調(diào)試：“調(diào)試只能指出有錯(cuò)誤，而不能指出它們不存在錯(cuò)誤”作時(shí)空分布圖：驗(yàn)證分析結(jié)論，優(yōu)化算法設(shè)計(jì)本課程集中于學(xué)習(xí)算法的設(shè)計(jì)與分析。通過學(xué)習(xí)，駕馭計(jì)算機(jī)算法設(shè)計(jì)和分析基本策略與方法，為設(shè)計(jì)更困難、更有效的算法奠定基礎(chǔ)2023/3/85.課程關(guān)系數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)程序設(shè)計(jì)語言：結(jié)構(gòu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)非數(shù)值計(jì)算領(lǐng)域的基本學(xué)問2023/3/81.2分析算法1.分析算法的目的在于：通過對算法的分析，在把算法變成程序?qū)嶋H運(yùn)行前，就知道為完成一項(xiàng)任務(wù)所設(shè)計(jì)的算法的好壞，從而運(yùn)行好的算法，改進(jìn)差的算法，避開無益的人力和物力奢侈。算法分析是計(jì)算機(jī)領(lǐng)域的“古老”而“前沿”的課題。

2023/3/82.重要的假設(shè)和約定1）計(jì)算機(jī)模型的假設(shè)計(jì)算機(jī)形式理論模型：Turing機(jī)模型通用計(jì)算機(jī)模型：依次計(jì)算機(jī)有足夠的“內(nèi)存”能在固定的時(shí)間內(nèi)存取數(shù)據(jù)單元

2023/3/82）計(jì)算的約定算法的執(zhí)行時(shí)間=∑fi*ti其中，fi是算法中用到的某種運(yùn)算i的次數(shù)——稱為該運(yùn)算的“頻率計(jì)數(shù)”ti是該運(yùn)算執(zhí)行一次所用的時(shí)間——與程序語言和硬件有關(guān)

確定：運(yùn)用何種運(yùn)算及其執(zhí)行時(shí)間。從運(yùn)算的“時(shí)間特性”上將運(yùn)算的分類：時(shí)間囿界于常數(shù)的運(yùn)算：·基本算術(shù)運(yùn)算，如整數(shù)、浮點(diǎn)數(shù)的加、減、乘、除·字符運(yùn)算、賦值運(yùn)算、過程調(diào)用等特點(diǎn)：盡管每種運(yùn)算的執(zhí)行時(shí)間不同，但一般只花一個(gè)固定量的時(shí)間（單位時(shí)間）就可完成。2023/3/82）計(jì)算的約定（續(xù)）其他運(yùn)算：

·字符串操作：與字符串中字符的數(shù)量成正比

·記錄操作：與記錄的屬性數(shù)、屬性類型等有關(guān)特點(diǎn)：運(yùn)算時(shí)間無定量。如何分析非時(shí)間囿界于常數(shù)的運(yùn)算：分解成若干時(shí)間囿界于常數(shù)的運(yùn)算。

如：tstring=Length（String）*tchar2023/3/83）工作數(shù)據(jù)集的選擇編制能夠反映算法在最好、平均、最壞狀況下工作的數(shù)據(jù)配置。然后運(yùn)用這些數(shù)據(jù)配置運(yùn)行算法，以了解算法的性能。編制測試數(shù)據(jù)是程序測試與算法分析中的關(guān)鍵技術(shù)之一?！ぷ鳛樗惴ǚ治龅臄?shù)據(jù)集：反映算法的典型特征·作為程序正確性及性能測試的數(shù)據(jù)集：測試程序的對錯(cuò)，反映對性能指標(biāo)產(chǎn)生影響的方面,如邊界值2023/3/83.如何進(jìn)行算法分析？對算法進(jìn)行全面分析，可分兩個(gè)階段進(jìn)行：事前分析：求算法的一個(gè)時(shí)間/空間限界函數(shù)，即通過對算法的“理論”分析，得出關(guān)于算法時(shí)間和空間特性的特征函數(shù)（Ο、Ω）——與計(jì)算機(jī)物理軟硬件沒有干脆關(guān)系。事后測試：將算法編制成程序后實(shí)際放到計(jì)算機(jī)上運(yùn)行，收集其執(zhí)行時(shí)間和空間占用等統(tǒng)計(jì)資料，進(jìn)行分析推斷——干脆與物理實(shí)現(xiàn)有關(guān)。2023/3/81）事前分析目的：試圖得出關(guān)于算法特性的一種形式描述，以“理論上”衡量算法的“好壞”。如何給出反映算法特性的描述？統(tǒng)計(jì)算法中各種運(yùn)算的執(zhí)行狀況，包括：引用了哪些運(yùn)算每種運(yùn)算被執(zhí)行的次數(shù)該種運(yùn)算執(zhí)行一次所花費(fèi)的時(shí)間等。算法的執(zhí)行時(shí)間=∑fi*ti2023/3/8頻率計(jì)數(shù)

頻率計(jì)數(shù)：算法中語句或運(yùn)算的執(zhí)行次數(shù)。

例：

x←x+yfori←1tondofori←1tondox←x+yforj←1tondorepeatx←x+yrepeatrepeat(a)(b)(c)

分析：

(a)：x←x+y執(zhí)行了1次

(b)：x←x+y執(zhí)行了n次

(c)：x←x+y執(zhí)行了n2次2023/3/8一條語句在整個(gè)程序運(yùn)行時(shí)實(shí)際執(zhí)行時(shí)間=頻率計(jì)數(shù)*每執(zhí)行一次該語句所需的時(shí)間在事前分析中，只限于確定與所運(yùn)用的機(jī)器及其他環(huán)境因素?zé)o關(guān)的頻率計(jì)數(shù)，依此建立一種理論上分析模型。2023/3/8數(shù)量級——衡量頻率計(jì)數(shù)的“大小”的一種測度語句的數(shù)量級：語句的執(zhí)行頻率例：1，n，n2算法的數(shù)量級：算法所包含的全部語句的執(zhí)行頻率之和。數(shù)量級反映了算法困難度的最本質(zhì)的特征。例：假如求解同一個(gè)問題的三個(gè)算法分別具有n，n2，n3數(shù)量級。若n=10，則可能的執(zhí)行時(shí)間將分別是10，100，1000個(gè)單位時(shí)間——與環(huán)境因素?zé)o關(guān)。2023/3/8頻率計(jì)數(shù)的函數(shù)表示就計(jì)算時(shí)間而言，事前分析階段求得算法在頻率計(jì)數(shù)上的函數(shù)表示——與規(guī)模n有關(guān)的函數(shù)形式，記為：g(n)★不同的算法，g(n)的具體形式是不同的，如logn，nlogn，n2等★g(n)的一般形式：關(guān)于n的簡潔函數(shù)式“實(shí)際”能夠得到的：1)函數(shù)式的最高次項(xiàng)2)最高次項(xiàng)與函數(shù)整體的關(guān)系?？臻g特性分析（與時(shí)間特性的分析類似，略）2023/3/82）事后測試目的：運(yùn)行程序，統(tǒng)計(jì)執(zhí)行實(shí)際耗費(fèi)的精確的時(shí)間與空間，與事前分析的結(jié)論進(jìn)行比較，驗(yàn)證從前的分析結(jié)論——包括正確性、執(zhí)行性能等，比較、優(yōu)化所設(shè)計(jì)的算法。分析手段：作時(shí)、空性能分布圖2023/3/84.計(jì)算時(shí)間的漸近表示記：算法的實(shí)際計(jì)算時(shí)間為f(n)，計(jì)算時(shí)間的限界函數(shù)為g(n)其中，n是輸入或輸出規(guī)模的某種測度。f(n)表示算法的“實(shí)際”執(zhí)行時(shí)間—與機(jī)器及語言有關(guān)。g(n)是事前分析的結(jié)果——一個(gè)形式簡潔的函數(shù)，如nm，logn，2n，n!等。是與頻率計(jì)數(shù)有關(guān)、而與機(jī)器及語言無關(guān)的函數(shù)。

以下給出算法執(zhí)行時(shí)間：上界（О）、下界（Ω）、“平均”（）的定義。2023/3/81）上界函數(shù)定義1假如存在兩個(gè)正常數(shù)c和n0，對于全部的n≥n0，有|f(n)|≤c|g(n)|則記作f(n)=Ο(g(n))含義：假如算法用n值不變的同一類數(shù)據(jù)在某臺(tái)機(jī)器上運(yùn)行時(shí)，所用的時(shí)間總是小于|g(n)|的一個(gè)常數(shù)倍。所以g(n)是計(jì)算時(shí)間f(n)的一個(gè)上界函數(shù)。f(n)的數(shù)量級就是g(n)。試圖求出最小的g(n)，使得f(n)=Ο(g(n))。2023/3/8多項(xiàng)式定理定理1若A(n)=amnm+…+a1n+a0是一個(gè)m次多項(xiàng)式，則有A(n)=Ο(nm)即：變量n的固定階數(shù)為m的任一多項(xiàng)式，與此多項(xiàng)式的最高階

nm同階。證明：取n0=1,當(dāng)n≥n0時(shí)，有|A(n)|≤|am|nm+…+|a1|n+|a0|≤(|am|+|am-1|/n+…+|a0|/nm)nm

＝(|am|+|am-1|+…+|a0|)nm

令c=|am|+|am-1|+…+|a0|則，定理得證。2023/3/8計(jì)算時(shí)間的數(shù)量級的大小對算法的有效性有確定性的影響例：假設(shè)解決同一個(gè)問題的兩個(gè)算法，它們都有n個(gè)輸入,計(jì)算時(shí)間的數(shù)量級分別是n2和nlogn。則，n=1024：分別須要1048576和10240次運(yùn)算。n=2048：分別須要4194304和22528次運(yùn)算。分析：★同等規(guī)模下的計(jì)算量比較：★規(guī)模增大狀況下的比較：在n加倍的狀況下，一個(gè)Ο(n2)的算法計(jì)算時(shí)間增長4倍，而一個(gè)Ο(nlogn)算法則只用兩倍多一點(diǎn)的時(shí)間即可完成。2023/3/8多項(xiàng)式時(shí)間算法和指數(shù)時(shí)間算法多項(xiàng)式時(shí)間算法：可用多項(xiàng)式（函數(shù)）對其計(jì)算時(shí)間限界的算法。常見的多項(xiàng)式限界函數(shù)有：Ο(1)<Ο(logn)<Ο(n)<Ο(nlogn)<Ο(n2)<Ο(n3)指數(shù)時(shí)間算法：計(jì)算時(shí)間用指數(shù)函數(shù)限界的算法常見的指數(shù)時(shí)間限界函數(shù)：Ο(2n)<Ο(n！)<Ο(nn)說明：當(dāng)n取值較大時(shí)，指數(shù)時(shí)間算法和多項(xiàng)式時(shí)間算法在計(jì)算時(shí)間上特別懸殊。2023/3/8典型的計(jì)算時(shí)間函數(shù)曲線2023/3/8一般相識(shí)當(dāng)數(shù)據(jù)集的規(guī)模很大時(shí)，要在現(xiàn)有的計(jì)算機(jī)系統(tǒng)上運(yùn)行具有比Ο(nlogn)困難度還高的算法是比較困難的。指數(shù)時(shí)間算法只有在n取值特別小時(shí)才好用。要想在依次處理機(jī)上擴(kuò)大所處理問題的規(guī)模，有效的途徑是降低算法的計(jì)算困難度，而不是（僅僅依靠）提高計(jì)算機(jī)的速度。2023/3/8計(jì)算時(shí)間函數(shù)值比較32023/3/8定義1.2假如存在兩個(gè)正常數(shù)c和n0，對于全部的n≥n0，有|f(n)|≥c|g(n)|則記作f(n)=Ω(g(n))含義：假如算法用n值不變的同一類數(shù)據(jù)在某臺(tái)機(jī)器上運(yùn)行時(shí)，所用的時(shí)間總是不小于|g(n)|的一個(gè)常數(shù)倍。所以g(n)是計(jì)算時(shí)間f(n)的一個(gè)下界函數(shù)。試圖求出“最大”的g(n)，使得f(n)=Ω(g(n))。2）下界函數(shù)2023/3/8定義1.3假如存在正常數(shù)c1，c2和n0，對于全部的n≥n0，有c1|g(n)|≤|f(n)|≤c2|g(n)|則記作含義：算法在最好和最壞狀況下的計(jì)算時(shí)間就一個(gè)常數(shù)因子范圍內(nèi)而言是相同的?？煽醋鳎杭扔衒(n)=Ω(g(n))，又有f(n)=Ο(g(n))3）“平均狀況”限界函數(shù)2023/3/84）限界函數(shù)的性質(zhì)1）若且，則。即О具有傳遞性。（同）2）當(dāng)且僅當(dāng)3）若，則。即，定義了一個(gè)等價(jià)關(guān)系（等價(jià)類）證明：從定義動(dòng)身。證明過程略。2023/3/85.常用的整數(shù)求和公式在算法分析中，在統(tǒng)計(jì)語句的頻率時(shí)，求和公式的一般形式為：如：2023/3/81.3關(guān)于SPARKS語言本書為描述算法選用的一種計(jì)算機(jī)語言類PASCAL語言結(jié)構(gòu)化設(shè)計(jì)2023/3/81.基本語法成分1）數(shù)據(jù)類型整型integer

實(shí)型float

布爾型boolean

字符型char2）變量聲明類型說明符變量；integeri,j;booleanb;charc3）數(shù)組隨意整數(shù)下標(biāo)integerA(1:5,7:20)integerB(5,7:20)2023/3/84）賦值運(yùn)算

（變量）←（表達(dá)式）

x←2+x;5）邏輯運(yùn)算：andornot6）關(guān)系運(yùn)算：＜≤＝≠≥＞2023/3/87）限制結(jié)構(gòu)：依次:（略）分支:·ifconditionthenS1elseS2endif·case:cond1:S1;:cond2:S2;…:condn:Sn:else:Sn+1endcase循環(huán):

·whileconddoSrepeat

·loopSuntilcondrepeat

·forvble←starttofinishbyincrementdoSrepeat2023/3/88)函數(shù)的定義與調(diào)用

過程定義

procedureNAME((參數(shù)表))

（說明部分）

SendNAME

過程的調(diào)用：CALL過程名函數(shù)定義類型名procedureNAME((參數(shù)表))

（說明部分）

Sreturn(表達(dá)式)endNAME

函數(shù)的引用：x←function（參數(shù)）；2023/3/89)變量的分類a）依據(jù)數(shù)據(jù)類型分類整型、實(shí)型、字符型等b）依據(jù)作用域分類：全程變量、局部變量、形式參數(shù)c）依據(jù)是否帶入、帶出數(shù)據(jù)值/結(jié)果分類：in型變量out型變量inout型變量

邊界效應(yīng)：變更了參變量或全程變量的值函數(shù)：通過函數(shù)值返回輸出結(jié)果，沒有邊界效應(yīng)純過程：沒有函數(shù)值返回，只通過邊界效應(yīng)帶出輸出結(jié)果2023/3/810)特殊語句a）exit退出當(dāng)前一層的循環(huán)b）return退出過程return(表達(dá)式):函數(shù)返回結(jié)果c）goto無條件轉(zhuǎn)向語句gotolabel11)遞歸a）干脆遞歸：過程中包含對自身的調(diào)用b）間接遞歸：間接調(diào)用自身12)輸入輸出read、print13）注釋//注釋//2023/3/81.4基本數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)1.棧和隊(duì)列線性表：n個(gè)元素的有序表?xiàng)：完?duì)列：特殊的線性表利用動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)——鏈表實(shí)現(xiàn)?；蜿?duì)列利用靜態(tài)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)——數(shù)組實(shí)現(xiàn)?；蜿?duì)列基于以上兩種表示形式的棧和隊(duì)列上的基本運(yùn)算2023/3/82.樹定義1.4樹（tree）是一個(gè)或多個(gè)結(jié)點(diǎn)的有限集合，它使得：有一個(gè)指定為根（root）的結(jié)點(diǎn)剩余結(jié)點(diǎn)被劃分成m≥0個(gè)不相交的集合：

T1，…，Tm

這些集合的每一個(gè)又都是一棵樹，并稱T1，…，Tm為根的子樹。2023/3/8關(guān)于樹的重要概念結(jié)點(diǎn)的度（degree）：一個(gè)結(jié)點(diǎn)的子樹數(shù)樹的度：樹中結(jié)點(diǎn)度的最大值結(jié)點(diǎn)的級（level）（又叫層）：設(shè)根是1級，若某結(jié)點(diǎn)在p級，則它的兒子在p+1級樹的高度（或深度）：樹中結(jié)點(diǎn)的最大級數(shù)葉子（終端結(jié)點(diǎn)）：度為0的結(jié)點(diǎn)內(nèi)結(jié)點(diǎn)（非終端結(jié)點(diǎn)）：度不為0的結(jié)點(diǎn)森林：m≥0個(gè)不相交樹的集合。2023/3/83二元樹定義1.5二元樹（binarytree）是結(jié)點(diǎn)的有限集合，它或者為空，或者由一個(gè)根和兩棵稱為左子樹和右子樹的不相交二元樹所組成。二元樹與度為2的樹的區(qū)分二元樹性質(zhì)：引理1.1一棵二元樹第i級的最大結(jié)點(diǎn)數(shù)是2i-1。深度為k的二元樹的最大結(jié)點(diǎn)數(shù)為2k-1,k>0。2023/3/82023/3/8特殊形態(tài)的二元樹①滿二元樹：深度為k且有2k-1個(gè)結(jié)點(diǎn)的二元樹

2023/3/8②完全二元樹：一棵有n個(gè)結(jié)點(diǎn)深度為k的二元樹，當(dāng)它的結(jié)點(diǎn)相當(dāng)于深度為k的滿二元樹中編號為1到

n的結(jié)點(diǎn)時(shí)，稱該二元樹是完全的。完全二元樹的葉子結(jié)點(diǎn)至多出現(xiàn)在相鄰的兩級上。完全二元樹的結(jié)點(diǎn)可以緊湊地存放在一個(gè)一維數(shù)組中（性質(zhì)見引理1.2）。2023/3/8③堆：堆是一棵完全二元樹，它的每個(gè)結(jié)點(diǎn)的值至少和該結(jié)點(diǎn)的兒子們（假如存在的話）的值一樣大（max-堆）（或小，min-堆）。④二分檢索樹：二分檢索樹Ｔ是一棵二元樹，它或者為空，或者每個(gè)結(jié)點(diǎn)含有一個(gè)可以比較大小的數(shù)據(jù)元素，且有：·Ｔ的左子樹的全部元素比根結(jié)點(diǎn)中的元素小；·Ｔ的右子樹的全部元素比根結(jié)點(diǎn)中的元素大；·Ｔ的左子樹和右子樹也是二分檢索樹。

注：二分檢索樹要求樹中全部結(jié)點(diǎn)的元素值互異2023/3/83.圖圖Ｇ由稱之為結(jié)點(diǎn)Ｖ和邊Ｅ的兩個(gè)集合組成，記為

G=（V，E）其中，Ｖ是一個(gè)有限非空的結(jié)點(diǎn)集合；Ｅ是結(jié)點(diǎn)對偶的集合，Ｅ的每一對偶表示Ｇ的一條邊。2023/3/8有關(guān)圖的的重要概念無向圖：邊表示為（ｉ，ｊ）有向圖：邊表示為〈ｉ，ｊ〉成本：帶有成本的圖稱為網(wǎng)絡(luò)（帶權(quán)圖）鄰接結(jié)點(diǎn)的度（出度／入度）路徑：由結(jié)點(diǎn)vp到vq的一條路（path）是結(jié)點(diǎn)

vp，

vi1，

vi2，

…，

vim，

vq的一個(gè)序列，它使得

(vp，

vi1)

，(vi1

，vi2)

，

…，(

vim，

vq)

是E（G）的邊。路的長度：組成路的邊數(shù)。2023/3/8簡潔路徑：除了第一和最終一個(gè)結(jié)點(diǎn)可以相同以外，其它全部結(jié)點(diǎn)都不同。環(huán)：第一個(gè)和最終一個(gè)結(jié)點(diǎn)相同的簡潔路。連通圖：在無向圖中，假如每對結(jié)點(diǎn)之間都存在一條路徑，則稱該圖是連通的。子圖：是由G的結(jié)點(diǎn)集V的子集（記為VB）和邊集E中連接VB中結(jié)點(diǎn)的邊的子集所組成的圖。連通分圖：一個(gè)圖的最大連通子圖。有向圖的強(qiáng)連通性：在有向圖中，假如對于每一對結(jié)點(diǎn)i和j，既存在一條從i到j(luò)的路，又存在一條從j到i的路，則稱該有向圖是強(qiáng)連通的。2023/3/8圖的表示方法鄰接矩陣鄰接表2023/3/81.5遞歸和消去遞歸1.遞歸遞歸是一種強(qiáng)有力的設(shè)計(jì)方法遞歸的效率問題2023/3/8例1.3斐波那契(Fibonacci)序列：

F0=F1=1Fi=Fi-1+Fi-2

（i>1)算法1.7求斐波那契數(shù)

procedureF(n)//返回第n個(gè)斐波那契數(shù)//integernifn<=1thenreturn(1)elsereturn(F(n-1)+F(n-2))endifendF算法效率：對F(n-1)、F(n-2)存在大量的重復(fù)計(jì)算改進(jìn)：保存中間結(jié)果2023/3/8例1.4歐幾里得算法已知兩個(gè)非負(fù)整數(shù)a和b，且a＞b≥0，求這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。輾轉(zhuǎn)相除法：若b=0，則a和b的最大公因數(shù)等于a；若b＞0，則a和b的最大公因數(shù)等于b和用b除a的余數(shù)的最大公因數(shù)。算法1.8求最大公因數(shù)

procedureGCD(a,b)//約定a>b//ifb=0thenreturn(a)elsereturn(GCD(b,amodb))endifendGDC

例：GCD(22,8)=GCD(8,6)=GCD(6,2)=GCD(2,0)=2;2023/3/8例1.5用遞歸策略設(shè)計(jì)的檢索算法已知元素x和元素表A（1：n），推斷x是否等于A中某元素的值。算法1.9在A（1：n）中檢索xprocedureSEARCH(i)//假如在A（1：n）//中有一元素A（k）=x，則將其第一次出現(xiàn)的下標(biāo)k返回，否則返回0//globaln,x,A(1:n)case:i>n:return(0):A(i)=x;return(i):else:return(SEARCH(i+1))endcaseendSEARCH2023/3/82.消去遞歸干脆遞歸的消去規(guī)則：基本思路：將遞歸調(diào)用的地方用等價(jià)的非遞歸代碼來代替，并對return語句做適當(dāng)處理。13條規(guī)則：處理干脆遞歸調(diào)用和return語句，將之轉(zhuǎn)換成等價(jià)的迭代代碼。初始化⑴在過程的起先部分，插入說明為棧的代碼并將其初始化為空。在一般狀況下，這個(gè)棧用來存放參數(shù)、局部變量和函數(shù)的值、每次遞歸調(diào)用的返回地址。⑵將標(biāo)號L1附于第一條可執(zhí)行語句。然后對于每一處遞歸調(diào)用都用一組執(zhí)行下列規(guī)則的指令來代替。2023/3/8處理遞歸調(diào)用語句⑶將全部參數(shù)和局部變量的值存入棧。棧頂指針可作為一個(gè)全程變量來看待。⑷建立第i個(gè)新標(biāo)號Li，并將i存入棧。這個(gè)標(biāo)號的i值將用來計(jì)算返回地址。此標(biāo)號放在規(guī)則⑺所描述的程序段中。⑸計(jì)算這次調(diào)用的各實(shí)在參數(shù)（可能是表達(dá)式）的值，并把這些值賦給相應(yīng)的形式參數(shù)。⑹插入一條無條件轉(zhuǎn)向語句轉(zhuǎn)向過程的起先部分：gotoL12023/3/8對退出一層遞歸調(diào)用后的處理⑺假如這過程是函數(shù)，則對遞歸過程中含有此次函數(shù)調(diào)用的那條語句做如下處理：將該語句的此次函數(shù)調(diào)用部分用從棧頂取回該函數(shù)值的代碼來代替，其余部分的代碼按原描述方式照抄，并將⑷中建立的標(biāo)號附于這條語句上。假如此過程不是函數(shù)，則將⑷中建立的標(biāo)號附于⑹所產(chǎn)生的轉(zhuǎn)移語句后面的那條語句。以上步驟消去過程中的遞歸調(diào)用。下面對過程中出現(xiàn)return語句進(jìn)行處理。（純過程結(jié)束處的end可看成是一條沒有值與之聯(lián)系的return語句）2023/3/8對每個(gè)有return語句的地方，執(zhí)行下述規(guī)則：⑻假如棧為空，則執(zhí)行正常返回。⑼否則，將全部輸出參數(shù)（帶有返回值的出口參數(shù)，out/inout型）的當(dāng)前值賦給棧頂上的那些對應(yīng)的變量。⑽假如棧中有返回地址標(biāo)號的下標(biāo)，就插入一條此下標(biāo)從棧中退出的代碼，并把這個(gè)下標(biāo)賦給一個(gè)未運(yùn)用的變量。⑾從棧中退出全部局部變量和參數(shù)的值并吧它們賦給對應(yīng)的變量。⑿假如這個(gè)過程是函數(shù)，則插入以下指令，這些指令用來計(jì)算緊接在return后面的表達(dá)式并將結(jié)果值存入棧頂。⒀用返回地址標(biāo)號的下標(biāo)實(shí)現(xiàn)對該標(biāo)號的轉(zhuǎn)向。2023/3/8例1.6遞歸調(diào)用示例求數(shù)組元素中的最大值算法1.10求取數(shù)組元素的最大值（遞歸算法）

procedureMAX1(i)//查找數(shù)組A中最大值元素，并返回該元素的最大下標(biāo)。//globalintegern,A(1:n),j,kintegeriifi<nthenj←MAX1(i+1)//遞歸調(diào)用//ifA(i)>A(j)thenk←ielsek←jendifelsek←nendif

return(k)//遞歸調(diào)用的返回//endMAX12023/3/8消去上例中的遞歸算法1.11運(yùn)用上述的規(guī)則消去例1.10中的遞歸代碼procedureMAX2(i)localintegerj,k;globalintegern,A(1:n)integerIi