與圓有關(guān)的最值問題優(yōu)秀教案

與圓有關(guān)的最值問題——生涯規(guī)劃在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的滲透吳興國高中數(shù)學(xué)【教材分析】圓的教學(xué)在平面解析幾何乃至整個數(shù)學(xué)中都占有重要的地位，而直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用又比較廣泛，其中的最值問題在生活實際中更為廣泛應(yīng)用。與圓有關(guān)的最值問題，又為圓錐曲線中的最值問題的學(xué)習(xí)奠定了根底，為線性規(guī)劃的復(fù)習(xí)加深穩(wěn)固。其思想方法也為以后解決高考重點問題直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題提供思想、方法上的鋪墊，近年高考試題也?？肌？季V考情：1、掌握確定圓的幾何要素，掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程2、判斷點、直線、圓間的位置關(guān)系3、初步了解代數(shù)法處理幾何問題的思想命題方向：考查角度：〔1〕求圓的方程；〔2〕與圓有關(guān)的軌跡問題；〔3〕與圓有關(guān)的最值問題核心素養(yǎng)：素養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象邏輯推理數(shù)學(xué)建模直觀想象數(shù)學(xué)運算數(shù)據(jù)分析達(dá)成?全國卷5年3考，命題指數(shù)：★★★★☆20xx年全國III卷，北京卷，天津卷均有考題【學(xué)情分析】學(xué)生在高一時已經(jīng)學(xué)習(xí)了有關(guān)直線與圓的知識，掌握了判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法；高二時還學(xué)習(xí)了線性規(guī)劃問題中的三種典型最值模型；還學(xué)習(xí)了有關(guān)圓錐曲線的知識，能夠解決一些基此題型，并且掌握了解析幾何的一些常用的數(shù)學(xué)思想方法，比方數(shù)形結(jié)合的思想；高三初期，還學(xué)習(xí)了極坐標(biāo)與參數(shù)方程。但是因間斷學(xué)習(xí)和間隔時間比較長，所以有些知識有些淡忘且不能融會貫穿。所以這節(jié)課主要是通過典型題目起到復(fù)習(xí)根本知識總結(jié)規(guī)律的作用?！緷B透生涯內(nèi)容】數(shù)學(xué)來源于生活，學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)要用于指導(dǎo)生活。我們高生要指導(dǎo)自己的善思，嚴(yán)謹(jǐn)，多變、分析與綜合的思維活動。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，解題的思想方法指導(dǎo)生活，了解選擇大學(xué)專業(yè)的方法和與數(shù)學(xué)密切相關(guān)的專業(yè)。更好規(guī)劃生涯【教學(xué)目標(biāo)】通過本課的學(xué)習(xí)，理解與圓有關(guān)的三種最值問題的轉(zhuǎn)化方法；培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合、

劃歸轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想；體會它與生涯規(guī)劃的關(guān)系?！窘虒W(xué)重難點】重點：三種模型求解方法、轉(zhuǎn)化方法。難點：題型升華、解題時的轉(zhuǎn)化思想，蘊(yùn)含的生涯規(guī)劃內(nèi)容的挖掘?！臼谡n年級】高三年級【教學(xué)策略】講練結(jié)合【教學(xué)準(zhǔn)備】教師準(zhǔn)備：組織本課題例習(xí)題的篩選或編制，挖掘教學(xué)內(nèi)容或解題方法蘊(yùn)含的生涯規(guī)劃內(nèi)容；課件〔含教學(xué)案〕的制作。學(xué)生準(zhǔn)備：直線與圓、線性規(guī)劃、極坐標(biāo)與參數(shù)方程的知識準(zhǔn)備。【教學(xué)過程】【知識梳理】圓：X2+y2+Qx+￡y+尸=0的圓心半徑,圓(x—a"+(y-b)2二/2的圓心半徑圓的參數(shù)方程為： 圓。的極坐標(biāo)方程p=2cos0,圓心。半徑為點(x,y)到直線Ax+By+C=0的距離d= ，斜率k= =0o 【例1】實數(shù)X、y滿足方程X2+V2—4X+1=0.求：(1)上的最大值和最小值； (2)x2+y2的最大值和最小值.(3)y-x的最小值；x+1解(1)〔法一：幾何法1〕如圖，方程X2+V2-4X+1=0表示以點(2,0)為圓心，以、/3為半徑的圓.設(shè)y=k,即kx-y+k=0x+1則圓心(2,0)到直線kx-y+k=0的距離為半徑時直線與圓相切，斜率取得最大、最小值.由12k逑=?3解得k2=1,TOC\o"1-5"\h\zqk2+1 2,k=旦或k=-走.即f-[=當(dāng)上]=-立2 2 Ix+1) 2Ix+1) 2max min〔法二：幾何法2〕也可由平面幾何知識，k=tanNPAC=-^-?-,k=—tanNP'AC=— ),max 2min 2〔法三：代數(shù)法〕圓的參數(shù)方程為：Jx=2+6cos0(0為參數(shù)),y=V3sin0

于是。一=ko-'吵。一=k,BPsin0-cos0=Wkx+1 3+V3cos0sin(0一3)=二次其中tan①=k*2+1,.,|sin(0-9)l<1,，9k1<1,解得一立<k<叵，即］上［=當(dāng)上］=-3kk+Ti 2 2 Ix+1) 2Ix+1) 2max min【生涯規(guī)劃的啟示】三種解法——表達(dá)不方法解答同一問題。對我們選擇上大學(xué)的途徑有何啟示？多種渠道上大學(xué)，選擇自己的快捷途徑〔文考、藝術(shù)、體育、留學(xué)、自主招生等〕。生活中辦事也如此?！咎嵘?.1】實數(shù)X、>滿足方程X2+尸一4X+1=0,求2的取值范圍x-2解：設(shè)k=竺2,圓心［2,0)到直線kx-y-2k-2=0的距離d= 2 =&nk=±立，TOC\o"1-5"\h\zx-2 ' <1+k2 3k<-豈或k>m，即y+2的取值范圍是(-*-且］U［且,+8)3 3x-2 3 3【提升】實數(shù)X、>滿足方程X2+尸一4x+1=0,求2x+3y+2的取值范圍x-2【解答】k=2x+3y+2=2+生+6=2+3x匕2,故k<2-、；3或k>2+<3x—2 x—2 x—2即2x+3y+2的取值范圍是(-8,2-遮］U［2+V3,+8)x-2【提升1.3］求函數(shù)y=sin。-2的值域cosa+3解：y=讓二可看成是點M(cosa,sina)與點P(-3,2)連線的斜率，cosa+1點M是圓x2+y2=1上的動點。問題轉(zhuǎn)化成過點P的直線與圓有公共點時，直線的斜率的取值范圍。圓心［0,0)到直線kx-y+3k+2=0的距離d=13k+21=1nk=-3±'"+k2 4結(jié)合圖形有土豆<k<三3，即-3--<y<-3+<34 4 4 4【生涯規(guī)劃的啟示】三個提升問題在縱向和橫向變式，但還是圓中最值的斜率模型。由此你認(rèn)為對我們的生涯規(guī)劃有何啟示？

思考問題，不但要從縱深發(fā)散，還要從橫向思考，全方位思考問題，才不會出漏洞，才更加嚴(yán)密，更加合理。在選擇大學(xué)專業(yè)時，是不是要根據(jù)自己的思維情況，選擇適合自己的專業(yè)學(xué)習(xí)呢？如有嚴(yán)密的邏輯思維能力，分類討論問題做得好，考慮學(xué)法律、編程等專業(yè)；排列組合學(xué)得好,考慮管理類專業(yè)等。就大學(xué)專業(yè)而言，很多專業(yè)都與數(shù)學(xué)有關(guān)，比方經(jīng)濟(jì)學(xué)、統(tǒng)計學(xué)、運籌學(xué)等專業(yè)，剝掉外衣，就是學(xué)數(shù)學(xué)。【例1】(2)〔幾何法〕爐+產(chǎn)是圓上點與原點的距離的平方，故連接OC,與圓交于5點，并延長交圓于C',則a2+y2)max=QC'|2=(2+/)2=7+4小，。2+尸)1nm=|OB|2=(2一,)2=7—4班.〔代數(shù)法〕x2+y2=(2+v13cos0)2+3sin20=7+4<3cos0,(x2+y2) =7+4<3;(x2+y2)=7一4<3max min在解答問題時，需要選擇快捷的方法，很多時候，更重要的是需要將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化?？醋兪健咎嵘慷c4T,O),B(1,0)和圓C:(x—3)2+(y—4)2=4上的動點P,求S=1PA|2+|PB|2的最大值和最小值，并求相應(yīng)的P點坐標(biāo)【解析】(幾何法)設(shè)P(x, y)，|PA|2 +|PB |2= (x+1)2+ y2+(x-1)2+ y2 =2(x2+ y2 +1)值。上式中x2+y2相當(dāng)于在(x—3)2+(y-4)2=4上的點到原點O的距離的平方。值。4當(dāng)O(0,0),P(x,y),C(3,4)共線時，即y=個x時，x2+y2取最S=2(|OC-2|2+1)=20minS=2(1OC+2|2+1)=1009x9x=一5或12y=—521x= 528y=—54y=—x3 得(x-3)2+(y-4)2=4??.S的最大值是100,這時點P的坐標(biāo)是(21，28)OS的最小值是20,這時點P的坐標(biāo)是］|,(〕〔代數(shù)法〕設(shè)P(x,y)，S=|PA|2+|PB|2=(x+1)2+y2+(x-1)2+y2=2(x2+y2+1)

???點Rx,y)在圓上,/.%2+)2=6x+8y-21...S=2(6元+8y-21+l)=4(3元+4y-10)“A：+；C°S：' (0為參數(shù))[y=4+2sm。，/.5=4[3(3+2cos0)+4(4+2sin0)-10]=4(6cos0+8sin0+15)TOC\o"1-5"\h\z一一八 一j, 3 . 兀=40sm(。+(p)+60,其中tan(p=—(0<(p<一)???一1<sin(0+9)<1,...20<S<100由tan9=4可求得cos9=5,sin9=5兀 兀當(dāng)S二100時，sin(0+9)—1，0+9=一,0——一9，2 2.八 4八.3「.sin0—cos9—5,cos0—sin9—5621 828二.x=3+2cos0—3+———,y—4+2sin0—4+———0 5 5 0 5 53九八 3九當(dāng)S=2。時，sin(0+①)=-1,0+中=—,0=——中2> 2>.八 4 八^ 3八 8=4+2sin0=4-—12sin0=—cos9=—八 8=4+2sin0=4-—1269「.x=3+2cos0=3-=—,yo 5 5。S的最大值是100,這時點P的坐標(biāo)是(2，28)°S的最小值是20,這時點P的坐標(biāo)是〔|,152〕。【提升】點P為函數(shù)f(x)=ex的圖象上任意一點，點Q為圓(x—e2-1)2+y2=4上任意一點〔e為自然對數(shù)的底數(shù)〕，則線段PQ的長度的最小值為【解析】圓心。(e2+1,0)，先求IPCI的最小值，設(shè)P(t,et),ff(x)=ex，故以P點為切點的切線方程為l:y-et=et(x-))et當(dāng)PC±l時， ?et=-1ne21+1=e2+1t-(e2+1)「.t=1，此時P(1,e)函數(shù)圖象上任意一點P到圓心C的距離大于等于點C到切點的距離\；e4+e2。所以IPQI的最小值是eve2+1-2。【生涯規(guī)劃啟示】這兩個提升問題有點難度，但是將問題轉(zhuǎn)化，也不難哈。你覺得它給我們

帶來的啟示是啥?在生活中，處理問題要善于將較復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單明了的問題。比方在報考大學(xué)專業(yè)時，都難選，其實有兩個問題解決了就簡單了?！?〕找到高考分?jǐn)?shù)的適合區(qū)；〔2〕問問自己的心向哪里？【例1】(3)〔幾何法〕設(shè)y—x=6,則y=x+6,僅當(dāng)直線y=x+6與圓切于第四象限時，截距6取最小值，由點到直線的距離公式，|2—0+臼 j- 「6,6, =、口,即b=一2±^6,故3-x焉=-2-'瓜〔代數(shù)法〕y-x=<3sin0一J3cos0一2=<6sin(0一；)一2「.(y—x)=一2+<6,(y—x)=-2一<6max min【提升】關(guān)于x的方程x+b=3—q4=2有解，則b的取值范圍是.【解析】方程X+b=3—\,；'『X2有解，等價于直線尸X+b與曲線>=3—\/4X=X2有公共點。由y—3—44Xx—x2,得(x-2)2+(y—3)2=4(1WyW3).當(dāng)直線y=x+b與圓相切時，|2—3當(dāng)直線y=x+b與圓相切時，|2—3+b|??b=1±2q2.由圖可知b=1—2也?.b的取值范圍是[1—2靠，3]【生涯規(guī)劃啟示】提升問題看似與例題無關(guān)，但轉(zhuǎn)化后，借用圓的最值問題的求解方法得解。由此，對你的高習(xí)生涯中，尋找學(xué)習(xí)方法有何啟示？A問題看起來與B問題無關(guān)，善于轉(zhuǎn)化，其實就是一樣的。比方：學(xué)習(xí)好數(shù)學(xué)的方法與學(xué)習(xí)語文的方法，很大程度上講是不一樣的，其實可以將其學(xué)習(xí)語文分析課文的方法〔明線、暗線，作者寓意分析等〕轉(zhuǎn)移到今天的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上來，今天的這節(jié)課，你會有很大收獲。復(fù)制成功者的思維和行為二復(fù)制成功者的結(jié)果。【例2】〔20xx全國II改〕在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建冗立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為p=4cos0，設(shè)點A的極坐標(biāo)為(2,y)，點B在曲線C上，求AOAB面積的最大值【解析】C的直角坐標(biāo)方程為(X-2)2+y2=4.設(shè)點B的極坐標(biāo)為(p,a)(p>0).BB由題設(shè)知IOA1=2,p=4cosa,于是NOAB面積BS=21OAI-pB-sin/AOB=4cosaIsin(a—g)I=2Isin(2a—?)—gIW2+下.當(dāng)a=—A時，S取得最大值2+<3.所以AOAB面積的最大值為2+<3.｛尤=tcosa.一. .,〔t為參數(shù)，tH0〕y=tsina,其中0Wa<兀，在以。為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C:p=2sin6,2C:p=2v13cos6.假設(shè)C與C相交于點A,C與C相交于點B,求IABI的最大值3 1 2 1 3【解析】曲線C的極坐標(biāo)方程為6=a(pwR,pw0),其中0<a<K.1因此A得到極坐標(biāo)為(2sina,a),B的極坐標(biāo)為(2<3cosa,a).所以|AB|=2sina—2褥cosa=4sin(a—：3),5兀當(dāng)a=?時，AB|取得最大值，最大值為4.【小結(jié)】把有關(guān)式子進(jìn)行轉(zhuǎn)化或利用所給式子的幾何意義解題,充分表達(dá)了數(shù)形結(jié)合以及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,其中以下幾類轉(zhuǎn)化為常見,要注意熟記:(1)形如m=-的最值問題，斜率模型；x－a(2)形如t=ax+by的最值問題，截距模型；(3)形如m=(x—a)2+(y—b)2的最值問題，距離模型解題思路：〔1〕幾何法：數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系求解。〔2〕代數(shù)法：引入變量構(gòu)建函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解?！旧囊?guī)劃啟示】數(shù)學(xué)來源于生活，學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)要用于指導(dǎo)生活。我們高生要指導(dǎo)自己的善思，嚴(yán)謹(jǐn)，多變、分析與綜合的思維活動。通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)了解以下專業(yè)與數(shù)學(xué)密切相關(guān)。更好規(guī)劃生涯。數(shù)學(xué)與信息、經(jīng)管

國際經(jīng)濟(jì)與貿(mào)易網(wǎng)絡(luò)工程數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)財政學(xué)經(jīng)濟(jì)管理類心理學(xué)信息科學(xué)計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)金融學(xué)財務(wù)管理會計學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程銀行與國際金融經(jīng)濟(jì)學(xué)類管理科學(xué)投資學(xué)農(nóng)林經(jīng)濟(jì)管理工商管理場營銷工業(yè)工程電子信息金融工程應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)農(nóng)產(chǎn)品加工及儲藏工程法學(xué)。數(shù)理與科學(xué)、技術(shù)測控技術(shù)與儀器飛行器動力工程材料科學(xué)與工程自動化工業(yè)設(shè)計城鄉(xiāng)規(guī)劃材料學(xué)類數(shù)理經(jīng)濟(jì)交通工程生物醫(yī)學(xué)工程物理學(xué)海洋工程類電子信息科學(xué)與技術(shù)紡織類地理科學(xué)集成電路設(shè)計車輛工程建筑學(xué)通信工程專業(yè)機(jī)械工程系生物技術(shù)生物科學(xué)生物工程裝甲車輛工程飛行器設(shè)計與工程儀器科學(xué)與技術(shù)信息工程化學(xué)工程與工藝生命科學(xué)材料化學(xué)土木工程專業(yè)理科試驗班交通運輸〔智能運輸〕自然地理學(xué)應(yīng)用物理機(jī)械設(shè)計制造及其自動化土木工程等等【練習(xí)】1、兩點/(—1,0),6(0,2),點尸是圓(X—1)2+y=1上任意一點，則△以6面積的最大值與最小值分別是()答案BA.2, -事) B.1(4+V5),^(4-^5) Cg解析如圖，圓心(1,0)到直線AB：2x—y+2=0的距離為d=有5, 一，一,八一4故圓上的點P到直線AB的距離的最大值是忑+1又|AB1=-..；5, 故^PAB面積的最大值和最小值分別是2+#，2一字.2、〔重慶〕圓q：Q-2?+G-3＞二1，圓C2:Q-3)+(y-4?二9,M,N分別是圓qq上的動點，p為1軸上的動點，則pM|+PN的最小值為〔 〕A.5<2A.5<2-4 B.v17-1C.6-2” D.<17【解析】如圖：圓C關(guān)于1軸的對稱圓的圓心A(2,-3),半徑為1,圓C1 2的圓心〔3,4〕，半徑為3,IPMI+IPNI的最小值為圓A與圓C的圓心2距離減去兩圓的半徑和，即\；(3-2)2+(4+3)2-1-3=5\n-4,選A3、(20xx全國卷III)直線1+y+2=0分別與1軸，y軸交于A,B兩點，

點P在圓(x-2)2+W=2上，則AABP面積的取值范圍是A．[2,6]B.[4,8]C.[<2,3V2]D.[2A．[2,6]【解析】圓心(2,0)到直線的距離d=12+0+2I―2<2,<2所以點P到直線的距離d￡葭2,3、9].根據(jù)直線的方程可知A,B兩點的坐標(biāo)分別為1A(-2,0),B(0,-2),所以IABI=2<2,1所以AABP的面積S=-IABId=u2d.2 1 1因為de[<2,3<2],所以Sg[2,6],即AABP面積的取值范圍是[2,6].應(yīng)選A.14、(20xx北京)在平面直角坐標(biāo)系中，記d為點P(cos仇sin6)到直線x-my-2=0的距離，當(dāng)6,m變化時，d的最大值為A．1B.2C.3D.4Icos6-mA．1B.2C.3D.4Icos6-msin6-2IImsin6-cos6+2I【解析】由題意可得d= : — I%'m2+1(；msin6- 〔cos6)+2Imn2+1 mn2+1mn2+1I\：m2+1sin(0-p)+21v'm2+1m1〔其中cos①二；一,sin①二.一〕，?-1<sin(6-p)<1,Jm2+1 mn2+1.12—mn2+11 2+v'm2+1 2+mn2+1 2?? --—^^d^^— —~-,— ———1+— —-,v'm2+1ym2+1.??當(dāng)m=0時，d取得最大值3,應(yīng)選C.5、P為直線y=x+1上任一點，Q為圓C：(x-3)2+y2=1上任一點，則|PQ|的最小值為解：如圖1,圓心C到直線y=x+1的距離d=2V2，圓半徑r=1,故|PQ\>|PC|-r=2Q-16、A(0,1),B(2,3),Q為圓C(x-3)2+y2=1上任一點，則S 的最小值為 ^△QAB 【分析】此題要求S1鋤的最大值，因為線段AB為定長，由三角形面積公式可知，只需求“Q到l的最小值〃，因此問題轉(zhuǎn)化為“圓上一動點到直線的最小距離〃，AB1解：如圖2,設(shè)h為Q至Ul的距離，則34=-AB\-h—gh=J2(2J2-1)=4-J2Q AB 2QAB2QQ4圖1 圖27、由直線y二x+1上一點向圓C：(x—3)2+w=l引切線，則切線長的最小值為【分析】一般地，當(dāng)直線和圓相切時，應(yīng)連接圓心和切點，構(gòu)造直銷三角形進(jìn)行求解.因為PA2=PC2—r2,故即求PC的最小值，解：如圖3,PA2=PC2-r2=PC2-1，：PC=2j2,，PA=用min min8、P為直線y=x+1上一動點，過P作圓C：(x-3"+y2=1的切線PA,PB,A、B為切點，則當(dāng)PC=時，/APB最大.【分析】ZAPB=ZAPC,故即求角ZAPC的最大值，利用其正弦值即可轉(zhuǎn)化為求PC的最小值，1解：如圖4,：NCPB=ZCPA,sin/APC= ，：PC=272,，PC=272時，^APC最PCmin大，即/