教學(xué)案例 銳角三角函數(shù)教案

23.1銳角的三角函數(shù)一、教學(xué)目標(biāo)1、經(jīng)歷探索直角三角形中某銳角確定后其對(duì)邊與鄰邊的比值也隨之確定的過(guò)程，理解正切的意義.2、能夠用tanA表示直角三角形中兩邊的比，表示生活中物體的傾斜程度、坡度等，并能夠用正切進(jìn)行簡(jiǎn)單計(jì)算.3、體驗(yàn)數(shù)形之間的聯(lián)系，進(jìn)一步學(xué)習(xí)利用數(shù)形結(jié)合的思想分析問(wèn)題和解決問(wèn)題，提高解決實(shí)際問(wèn)題的能力，從而理解三角函數(shù)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系.二、重點(diǎn)、難點(diǎn)1、重點(diǎn)：理解銳角三角函數(shù)正切的意義，用正切表示傾斜程度、坡度，密切數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系.2、難點(diǎn)：從現(xiàn)實(shí)情景中理解正切的意義.三、教學(xué)方法引導(dǎo)——探索法.四、教學(xué)準(zhǔn)備PPT教學(xué)軟件、幾何畫(huà)板軟件.五、教材分析直角三角形的邊角關(guān)系是現(xiàn)實(shí)世界中廣泛應(yīng)用的關(guān)系之一，在解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題時(shí)，如測(cè)量、建筑、工程技術(shù)和物理學(xué)時(shí)，往往遇到距離、高度、角度的計(jì)算問(wèn)題，一般來(lái)說(shuō)，這些問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系往往歸結(jié)到直角三角形中來(lái)解決，利用銳角三角函數(shù)解決問(wèn)題至關(guān)重要.本節(jié)從汽車(chē)的爬坡能力談起，引入了第一個(gè)銳角三角函數(shù)——正切，因?yàn)橄啾戎?，正切是生活中用的最多的三角函?shù)概念，如刻畫(huà)物體的傾斜程度、山的坡度、堤壩的坡度等都往往用正切，而正弦、余弦的概念是類(lèi)比正切得到的，所以本節(jié)從現(xiàn)實(shí)情景出發(fā)讓學(xué)生在經(jīng)歷探索直角三角形邊角關(guān)系的過(guò)程中，理解三角函數(shù)的意義，并能夠舉例說(shuō)明，進(jìn)而根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行計(jì)算.六、教學(xué)過(guò)程1、情景引入（1）生活中大家經(jīng)常聽(tīng)到“某個(gè)山坡比較陡”“坡度大”“坡角比較大”這些話，怎樣描述坡面的坡度（傾斜程度）呢？（2）在直角三角形中，知道一邊和一個(gè)銳角，你能求出其他的邊和角嗎？通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，相信大家一定能夠解決這些問(wèn)題.這節(jié)課我們先從坡面傾斜程度談起.2、講授新課（1）如圖1，有兩個(gè)直角三角形，直角邊AB和DF表示水平面，斜邊AC和EF分別表示兩個(gè)不同的坡面，坡面AC和EF那個(gè)更陡？你是怎樣判斷的？生：坡面EF比坡面AC更陡.師：為什么呢？生：①?gòu)膱D1很容易看出∠CAB<∠EFD，所以坡面EF比坡面AC更陡.②因?yàn)锳B=DF，所以只要比較BC和DE的長(zhǎng)度即可知道哪個(gè)坡面更陡，BC<DE，所以坡面EF比坡面AC更陡.圖1圖2圖3類(lèi)似地，如圖2，坡面AC和EF哪個(gè)更陡？你是怎樣判斷的？分析：因?yàn)楦叨菳C和DE的長(zhǎng)度相等，只要比較AB和DF的長(zhǎng)度即可，因?yàn)镈F<AB，所以坡面EF更陡.我們?cè)賮?lái)看一個(gè)問(wèn)題：如圖3，坡面AC和EF哪個(gè)更陡？你是怎樣判斷的？分析：我們觀察圖3直接判斷坡面的傾斜程度即哪個(gè)更陡，就比較困難了，能不能從問(wèn)題1和2中得到什么啟示呢？生：在圖1中，坡面的水平寬度AB和DF是相等的，而垂直高度不一樣長(zhǎng)；在圖2中，坡面的高度BC和DE是相等的，而水平寬帶不一樣長(zhǎng)，由此可以想到坡面的垂直高度和水平寬度的比值越大，坡面就應(yīng)該越陡.師：很好.在問(wèn)題3中的哪個(gè)斜面更陡，應(yīng)該從斜面的垂直高度和水平高度的比的大小來(lái)判斷，請(qǐng)同學(xué)們計(jì)算一下，哪個(gè)坡面更陡？===0.2，===0.375∵0.2<0.375，∴坡面EF更陡.（4）課件展示：如圖4(1),在銳角A的一邊任取一點(diǎn)B，自點(diǎn)B向另一邊作垂線，垂足為C，得到Rt?ABC,再測(cè)出BC、AC的長(zhǎng)并計(jì)算的值.如圖4（2），在AB上拖動(dòng)點(diǎn)B，我們發(fā)現(xiàn)BC和AC的長(zhǎng)度發(fā)生了變化，但是的比值沒(méi)有發(fā)生變化，請(qǐng)同學(xué)們用所學(xué)過(guò)的知識(shí)解釋這一現(xiàn)象.（1）（2）圖4圖5圖6生：在拖動(dòng)點(diǎn)B的過(guò)程中，可以得到無(wú)數(shù)個(gè)直角三角形，它們都是相似的，在這些直角三角形中，銳角A的對(duì)邊和鄰邊的比值是相等的，因?yàn)閷?duì)應(yīng)邊成比例.師：那么我們?cè)谡f(shuō)明圖4這一坡面的傾斜程度時(shí)，即可以通過(guò)測(cè)量BC、AC的長(zhǎng)算出來(lái)表示，也可以通過(guò)測(cè)量GH、AH的長(zhǎng)算出來(lái)表示.由于直角三角形中的銳角A確定以后，它的對(duì)邊和鄰邊的比叫做∠A的正切（tangent)，記作tanA，即tanA===.注：1.tanA是一個(gè)完整的符號(hào)，tanA不表示“tan”乘以“∠A”.2.它表示∠A的正切，記號(hào)里習(xí)慣省去角的符號(hào)“∠”.3.tanA沒(méi)有單位，它表示一個(gè)比值，銳角A的對(duì)邊和鄰邊的比.4.初中階段僅研究直接三角形中，∠A是銳角的正切；將來(lái)遇到銳角的正切問(wèn)題，也必須放在直角三角形中去研究.師：∠B的正切如何呢？它的數(shù)學(xué)意義如何？生：∠B的正切記作tanB，表示∠B的對(duì)邊和鄰邊的比值，即tanB===.師：那么，現(xiàn)在我們?cè)倩氐奖竟?jié)開(kāi)始的問(wèn)題中來(lái)，如何來(lái)描述坡面的坡度呢？生：可以用正切來(lái)描述.師：對(duì).我們可以用正切來(lái)描述坡面的坡度，坡面的鉛直高度和水平長(zhǎng)度的比叫做坡面的坡度（或坡比），記作.如圖6，即=（經(jīng)常寫(xiě)成:的形式）.坡面與水平面的夾角叫做坡角(或稱(chēng)傾斜角),記作α，于是有==tanα.顯然坡度（=tanA)越大，坡角α越大，坡越陡.如:有一山坡在水平方向上每前進(jìn)100m就升高60m，那么山坡的坡度（即坡角α的正切tanα）就是=tanα=60/100=0.6.在實(shí)際生活中,我們常常也用傾斜角來(lái)描述斜坡面陡的程度,如一個(gè)梯子靠在墻上陡的程度、電線桿傾斜的程度等等,但是對(duì)于公路坡面陡的程度,就不能直接測(cè)到公路路面的傾斜角,只有用坡比,也就是傾斜角的正切值.以后我們?cè)跍y(cè)量山高、大樓的高度等也都要用正切的知識(shí).例題講解例如圖7,在?ABC中,∠C=

,BC=3cm,AC=3cm,求tanA和tanB.圖7圖8解：tanA==;tanB==.引申：如果在圖8中拖動(dòng)點(diǎn)B，從而改變BC和AC的長(zhǎng)度，讓學(xué)生計(jì)算出此時(shí)的tanA和tanB，進(jìn)一步加深對(duì)正切的定義的理解.隨堂練習(xí)(1)在Rt?ABC中，∠C=，BC=12cm，AB=20cm，求tanA和tanB的值.分析:要求tanA和tanB的值，先要根據(jù)溝谷定理求出AC的長(zhǎng)度.解：∵在Rt?ABC中，∠C=∴AC===16cm，∴tanA===；tanB===.(2)課本98頁(yè)練習(xí)第1、2題.小節(jié)本節(jié)課從坡面的傾斜程度談起，經(jīng)歷了探索直角三角形中的邊角