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菱形性質(zhì)練習(xí)題一.選擇題1.如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,菱形MNPO的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)是(3,4),則頂點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別是() A.M(5,0),N(8,4) B.M(4,0),N(8,4) C.M(5,0),N(7,4) D.M(4,0),N(7,4)2.菱形的周長(zhǎng)為4,一個(gè)內(nèi)角為60°,則較短的對(duì)角線長(zhǎng)為() A.2 B. C.1 D.3.菱形的周長(zhǎng)為8cm,高為1cm,則該菱形兩鄰角度數(shù)比為() A.3:1 B.4:1 C.5:1 D.6:14.如圖,菱形ABCD中,AB=15,∠ADC=120°,則B、D兩點(diǎn)之間的距離為() A.15 B. C.7.5 D.二.填空題(共15小題)5.已知菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為2cm,3cm,則它的面積是cm2.6.如圖,菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,且AC=8,BD=6,過(guò)點(diǎn)O作OH丄AB,垂足為H,則點(diǎn)0到邊AB的距離OH=.7.如圖,菱形ABCD的邊長(zhǎng)是2cm,E是AB的中點(diǎn),且DE丄AB,則菱形ABCD的面積為cm2.8.如圖,在菱形ABCD中,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,AB=13,AC=10,過(guò)點(diǎn)D作DE∥AC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,則△BDE的周長(zhǎng)為.9.如圖,已知菱形ABCD的一個(gè)內(nèi)角∠BAD=80°,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E在AB上且BE=BO,則∠BEO=度.10.如圖,一活動(dòng)菱形衣架中,菱形的邊長(zhǎng)均為16cm,若墻上釘子間的距離AB=BC=16cm,則∠1=度.三.解答題11.如圖所示,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,DE∥AC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.求證:DE=BE.12.如圖,在菱形ABCD中,∠A=60°,AB=4,O為對(duì)角線BD的中點(diǎn),過(guò)O點(diǎn)作OE⊥AB,垂足為E.(1)求∠ABD的度數(shù);(2)求線段BE的長(zhǎng).13.如圖,四邊形ABCD是菱形,BE⊥AD、BF⊥CD,垂足分別為E、F.(1)求證:BE=BF;(2)當(dāng)菱形ABCD的對(duì)角線AC=8,BD=6時(shí),求BE的長(zhǎng).14.如圖,在菱形ABCD中,P是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與A、B重合),連接DP交對(duì)角線AC于E連接BE.(1)證明:∠APD=∠CBE;(2)若∠DAB=60°,試問(wèn)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),△ADP的面積等于菱形ABCD面積的,為什么?
答案一.1.如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,菱形MNPO的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)是(3,4),則頂點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別是() A.M(5,0),N(8,4) B.M(4,0),N(8,4) C.M(5,0),N(7,4) D.M(4,0),N(7,4)考點(diǎn):菱形的性質(zhì);坐標(biāo)與圖形性質(zhì)。專(zhuān)題:數(shù)形結(jié)合。分析:此題可過(guò)P作PE⊥OM,根據(jù)勾股定理求出OP的長(zhǎng)度,則M、N兩點(diǎn)坐標(biāo)便不難求出.解答:解:過(guò)P作PE⊥OM,∵頂點(diǎn)P的坐標(biāo)是(3,4),∴OE=3,PE=4,∴OP==5,∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(5,0),∵5+3=8,∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為(8,4).故選A.點(diǎn)評(píng):此題考查了菱形的性質(zhì),根據(jù)菱形的性質(zhì)和點(diǎn)P的坐標(biāo),作出輔助線是解決本題的突破口.2.菱形的周長(zhǎng)為4,一個(gè)內(nèi)角為60°,則較短的對(duì)角線長(zhǎng)為() A.2 B. C.1 D.考點(diǎn):菱形的性質(zhì);等邊三角形的判定。分析:根據(jù)菱形的性質(zhì),求出菱形的邊長(zhǎng),由菱形的兩邊和較短的對(duì)角線組成的三角形是等邊三角形,進(jìn)而求出較短的對(duì)角線長(zhǎng).解答:解:如圖,∵四邊形ABCD為菱形,且周長(zhǎng)為4,∴AB=BC=CD=DA=1,又∵∠B=60°,∴△ABC是等邊三角形,所以AC=AB=BC=1.故選C.點(diǎn)評(píng):本題既考查了菱形的性質(zhì),又考查了等邊三角形的判定,是菱形性質(zhì)應(yīng)用中一道比較典型的題目.3.菱形的周長(zhǎng)為8cm,高為1cm,則該菱形兩鄰角度數(shù)比為() A.3:1 B.4:1 C.5:1 D.6:1考點(diǎn):菱形的性質(zhì);含30度角的直角三角形。分析:根據(jù)已知可求得菱形的邊長(zhǎng),再根據(jù)三角函數(shù)可求得其一個(gè)內(nèi)角從而得到另一個(gè)內(nèi)角即可得到該菱形兩鄰角度數(shù)比.解答:解:如圖所示,根據(jù)已知可得到菱形的邊長(zhǎng)為2cm,從而可得到高所對(duì)的角為30°,相鄰的角為150°,則該菱形兩鄰角度數(shù)比為5:1.故選C.點(diǎn)評(píng):此題主要考查的知識(shí)點(diǎn):(1)直角三角形中,30°銳角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的逆定理;(2)菱形的兩個(gè)鄰角互補(bǔ).4.如圖,菱形ABCD中,AB=15,∠ADC=120°,則B、D兩點(diǎn)之間的距離為() A.15 B. C.7.5 D.考點(diǎn):菱形的性質(zhì)。分析:先求出∠A等于60°,連接BD得到△ABD是等邊三角形,所以BD等于菱形邊長(zhǎng).解答:解:連接BD,∵∠ADC=120°,∴∠A=180°﹣120°=60°,∵AB=AD,∴△ABD是等邊三角形,∴BD=AB=15.故選A.點(diǎn)評(píng):本題考查有一個(gè)角是60°的菱形,有一條對(duì)角線等于菱形的邊長(zhǎng).二.填空題5.已知菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為2cm,3cm,則它的面積是3cm2.考點(diǎn):菱形的性質(zhì)。分析:由知菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為2cm,3cm,根據(jù)菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半,即可求得答案.解答:解:∵菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為2cm,3cm,∴它的面積是:×2×3=3(cm2).故答案為:3.點(diǎn)評(píng):此題考查了菱形的性質(zhì).注意菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半.6.如圖,菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,且AC=8,BD=6,過(guò)點(diǎn)O作OH丄AB,垂足為H,則點(diǎn)0到邊AB的距離OH=.考點(diǎn):菱形的性質(zhì);點(diǎn)到直線的距離;勾股定理。分析:因?yàn)榱庑蔚膶?duì)角線互相垂直平分,菱形的四邊相等,根據(jù)面積相等,可求出OH的長(zhǎng).解答:解:∵AC=8,BD=6,∴BO=3,AO=4,∴AB=5.AO?BO=AB?OH,OH=.故答案為:.點(diǎn)評(píng):本題考查菱形的基本性質(zhì),菱形的對(duì)角線互相垂直平分,菱形的四邊相等,根據(jù)面積相等,可求出AB邊上的高OH.7.如圖,菱形ABCD的邊長(zhǎng)是2cm,E是AB的中點(diǎn),且DE丄AB,則菱形ABCD的面積為2cm2.考點(diǎn):菱形的性質(zhì);勾股定理。分析:因?yàn)镈E丄AB,E是AB的中點(diǎn),所以AE=1cm,根據(jù)勾股定理可求出BD的長(zhǎng),菱形的面積=底邊×高,從而可求出解.解答:解:∵E是AB的中點(diǎn),∴AE=1cm,∵DE丄AB,∴DE==cm.∴菱形的面積為:2×=2cm2.故答案為:2.點(diǎn)評(píng):本題考查菱形的性質(zhì),四邊都相等,菱形面積的計(jì)算公式以及勾股定理的運(yùn)用等.8.如圖,在菱形ABCD中,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,AB=13,AC=10,過(guò)點(diǎn)D作DE∥AC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,則△BDE的周長(zhǎng)為60.考點(diǎn):菱形的性質(zhì);勾股定理。專(zhuān)題:數(shù)形結(jié)合。分析:因?yàn)榱庑蔚膶?duì)角線互相垂直及互相平分就可以在Rt△AOB中利用勾股定理求出OB,然后利用平行四邊形的判定及性質(zhì)就可以求出△BDE的周長(zhǎng).解答:解:∵四邊形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD=13,AC⊥BD,OB=OD,OA=OC=5,∴OB==12,BD=2OB=24,∵AD∥CE,AC∥DE,∴四邊形ACED是平行四邊形,∴CE=AD=BC=13,DE=AC=10,∴△BDE的周長(zhǎng)是:BD+BC+CE+DE=24+10+26=60.故答案為:60.點(diǎn)評(píng):本題主要利考查用菱形的對(duì)角線互相垂直平分及勾股定理來(lái)解決,關(guān)鍵是根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AC⊥BD,從而利用勾股定理求出BD的長(zhǎng)度,難度一般.9.如圖,已知菱形ABCD的一個(gè)內(nèi)角∠BAD=80°,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E在AB上且BE=BO,則∠BEO=65度.考點(diǎn):菱形的性質(zhì)。專(zhuān)題:計(jì)算題。分析:因?yàn)锳B=AD,∠BAD=80°,可求∠ABD=50°;又BE=BO,所以∠BEO=∠BOE,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解.解答:解:∵ABCD是菱形,∴AB=AD.∴∠ABD=∠ADB.∵∠BAD=80°,∴∠ABD=×(180°﹣80°)=50°.又∵BE=BO,∴∠BEO=∠BOE=×(180°﹣50°)=65°.故答案為:65.點(diǎn)評(píng):此題考查了菱形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理.屬基礎(chǔ)題.10.如圖,一活動(dòng)菱形衣架中,菱形的邊長(zhǎng)均為16cm,若墻上釘子間的距離AB=BC=16cm,則∠1=120度.考點(diǎn):菱形的性質(zhì)。專(zhuān)題:應(yīng)用題。分析:由題意可得AB與菱形的兩鄰邊組成等邊三角形,從而不難求得∠1的度數(shù).解答:解:由題意可得AB與菱形的兩鄰邊組成等邊三角形,則∠1=120°.故答案為120.點(diǎn)評(píng):此題主要考查菱形的性質(zhì)和等邊三角形的判定.三.解答題11.如圖所示,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,DE∥AC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.求證:DE=BE.考點(diǎn):菱形的性質(zhì)。專(zhuān)題:證明題。分析:由四邊形ABCD是菱形,∠ABC=60°,易得BD⊥AC,∠DBC=30°,又由DE∥AC,即可證得DE⊥BD,由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,即可證得DE=BE.解答:證明:法一:如右圖,連接BD,∵四邊形ABCD是菱形,∠ABC=60°,∴BD⊥AC,∠DBC=30°,∵DE∥AC,∴DE⊥BD,即∠BDE=90°,∴DE=BE.法二:∵四邊形ABCD是菱形,∠ABC=60°,∴AD∥BC,AC=AD,∵AC∥DE,∴四邊形ACED是菱形,∴DE=CE=AC=AD,又四邊形ABCD是菱形,∴AD=AB=BC=CD,∴BC=EC=DE,即C為BE中點(diǎn),∴DE=BC=BE.點(diǎn)評(píng):此題考查了菱形的性質(zhì),直角三角形的性質(zhì)等知識(shí).此題難度不大,注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.12.如圖,在菱形ABCD中,∠A=60°,AB=4,O為對(duì)角線BD的中點(diǎn),過(guò)O點(diǎn)作OE⊥AB,垂足為E.(1)求∠ABD的度數(shù);(2)求線段BE的長(zhǎng).考點(diǎn):菱形的性質(zhì)。分析:(1)根據(jù)菱形的四條邊都相等,又∠A=60°,得到△ABD是等邊三角形,∠ABD是60°;(2)先求出OB的長(zhǎng)和∠BOE的度數(shù),再根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半即可求出.解答:解:(1)在菱形ABCD中,AB=AD,∠A=60°,∴△ABD為等邊三角形,∴∠ABD=60°;(4分)(2)由(1)可知BD=AB=4,又∵O為BD的中點(diǎn),∴OB=2(6分),又∵OE⊥AB,及∠ABD=60°,∴∠BOE=30°,∴BE=1.(8分)點(diǎn)評(píng):本題利用等邊三角形的判定和直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求解,需要熟練掌握.13.如圖,四邊形ABCD是菱形,BE⊥AD、BF⊥CD,垂足分別為E、F.(1)求證:BE=BF;(2)當(dāng)菱形ABCD的對(duì)角線AC=8,BD=6時(shí),求BE的長(zhǎng).考點(diǎn):菱形的性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì)。分析:(1)根據(jù)菱形的鄰邊相等,對(duì)角相等,證明△ABE與△CBF全等,再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可證明;(2)先根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直平分,求出菱形的邊長(zhǎng),再根據(jù)菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半和底邊乘以高兩種求法即可求出.解答:(1)證明:∵四邊形ABCD是菱形,∴AB=CB,∠A=∠C,∵BE⊥AD、BF⊥CD,∴∠AEB=∠CFB=90°,在△ABE和△CBF中,∴△ABE≌△CBF(AAS),∴BE=BF.(2)解:如圖,∵對(duì)角線AC=8,BD=6,∴對(duì)角線的一半分別為4、3,∴菱形的邊長(zhǎng)為=5,菱形的面積=5BE=×8×6,解得BE=.點(diǎn)評(píng):本題主要考查菱形的性質(zhì)和三角形全等的證明,同時(shí)還考查了菱形面積的兩種求法.14.如圖,在菱形ABCD中,P是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與A、B重合),連接DP交對(duì)角線AC于E連接BE.(1)證明:∠APD=∠CBE;(2)若∠DAB=60°,試問(wèn)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),△ADP的面積等于菱形ABCD面積的,為什么?考點(diǎn):菱形的性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì);等邊三角形的性質(zhì)。專(zhuān)題:證明題;動(dòng)點(diǎn)型。分析:(1)可先證△BCE≌△DCE得到∠EBC=∠EDC,再根據(jù)AB∥DC即可得到結(jié)論.(2)當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到AB邊的中點(diǎn)時(shí),S△ADP=S菱形ABCD,證明S△ADP=×AB?DP=S菱形ABCD即可.解答:(1)證明:∵四邊形ABCD是菱形∴BC=CD,AC平分∠BCD(2分)∵CE=CE∴△BCE≌△DCE(4分)∴∠EBC=∠EDC又∵AB∥DC∴∠APD=∠CDP(5分)∴∠EBC=
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