概率及統(tǒng)計(jì)知識回顧

概率及統(tǒng)計(jì)知識回顧第1頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五2事件概率的計(jì)算1.古典概率等可能性P（A）=m/n2.統(tǒng)計(jì)概率P（A）≈m/n3.主觀概率第2頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五3隨機(jī)變量及分布離散型隨機(jī)變量的概率分布（一）概率分布——分布列例：打靶規(guī)定打中域Ⅰ得3分，打中域Ⅱ得2分，打中域Ⅲ得1分，域外得0分。一射手每100次射擊，平均有30次中域Ⅰ，55次中域Ⅱ，10次中域Ⅲ。該射手射擊得分的概率分布為：0.5520.1010.0500.30P（X）3X第3頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五4（二）離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望值和方差1.期望值(Expectedvalue)

X

0123

P(X)

0.050.100.550.30該射手得分的數(shù)學(xué)期望值是:E(X)=0×0.05+1×0.10+2×0.55+3×0.30=2.10分2.方差第4頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五5連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布X、P（x）第5頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五6連續(xù)型隨機(jī)變量的特征值第6頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五7數(shù)學(xué)期望值和方差的數(shù)學(xué)性質(zhì)第7頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五8某地電信局每月固定收取每部電話16元，市內(nèi)電話每分鐘收費(fèi)0.1元。已知某集團(tuán)用戶電話每月使用時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)差為80分鐘，試計(jì)算該集團(tuán)用戶每月話費(fèi)的標(biāo)準(zhǔn)差。第8頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五9正態(tài)分布

NormalDistribution1. 鐘型，對稱2. 隨機(jī)變量值域無限。均值Meanxf(x)了解正態(tài)分布的特征掌握與正態(tài)分布有關(guān)的概率計(jì)算第9頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五10正態(tài)分布概率密度函數(shù)f(x)：隨機(jī)變量x的概率密度函數(shù)x：隨機(jī)變量的值(-<X<)=3.14159;e=2.71828：總體的均值σ：總體的標(biāo)準(zhǔn)差第10頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五11參數(shù)變化(和)對分布圖形的影響Xf(X)CAB第11頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五12正態(tài)分布概率連續(xù)概率分布是對密度函數(shù)曲線以下面積的積分!cdXf(X)PcXdfXdxcd()()?第12頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五13Z=0z=1Z正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布X第13頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五14計(jì)算(1)P(z<1.96)(2)P(z>1.5)(3)P(z<-2)(4)P(z>-1)(5)P(-2.33<z<2.33)第14頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五15例題某地區(qū)家庭人均月收入是服從μ=1000元,σ=200的正態(tài)分布隨機(jī)變量。求該地區(qū)人均月收入：（1）超過1200元的概率；（2）低于700元的概率；（3）在900—1100元之間的概率。第15頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五16例：某年A省理科考生的高考成績服從平均分=500分，標(biāo)準(zhǔn)差=100分的正態(tài)分布，求：

（1）考生的考分低于500分的概率；

（2）設(shè)考生的考分為X，問X為何值才能使75%的

考生的考分低于這一值？

（3）問X為何值才能使90%的考生的考分高于這

一值？第16頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五17用標(biāo)準(zhǔn)差判斷概率在均值±1個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差(1x)之間取值的概率為68.27%在均值±2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差(2x)之間取值的概率為95.45%

在均值±3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差(3x)之間取值的概率為99.73%

第17頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五18一、總體和樣本總體（Population）：所要研究對象的全體。樣本（Sampling）：為推斷總體的某些特征，從總體中抽取的若干個(gè)體（Itemunit）。抽樣估計(jì)的基本概念二、參數(shù)和統(tǒng)計(jì)量參數(shù)——總體統(tǒng)計(jì)量——樣本第18頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五19關(guān)鍵術(shù)語參數(shù)(Parameter)樣本統(tǒng)計(jì)量(SamplingStatistic)抽樣分布(Samplingdistribution)第19頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五20抽樣分布抽樣分布——樣本統(tǒng)計(jì)量的概率分布樣本平均數(shù)的分布特征一、樣本平均數(shù)的平均數(shù)等于總體平均數(shù)第20頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五21二、樣本平均數(shù)的方差等于總體方差的1/n。第21頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五22樣本平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差：反映的是樣本平均數(shù)與其數(shù)學(xué)期望值（又即總體平均數(shù)）的平均誤差程度，故可稱為抽樣平均誤差、抽樣標(biāo)準(zhǔn)誤。影響抽樣平均誤差的因素？第22頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五23抽樣分布定理一、正態(tài)分布的再生定理當(dāng)總體服從正態(tài)分布時(shí)（數(shù)學(xué)期望值與方差已知），樣本平均數(shù)也服從正態(tài)分布。第23頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五24第24頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五25二、中心極限定理第25頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五26中心極限定理

CentralLimitTheorem(CLT)如果樣本容量足夠大(n

30)...抽樣分布近乎服從正態(tài)分布第26頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五27點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)點(diǎn)估計(jì)—根據(jù)樣本資料得到參數(shù)的一個(gè)估計(jì)值。

抽樣估計(jì)的基本方法第27頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五281、無偏性：(Unbiasedness)優(yōu)良估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)第28頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五29優(yōu)良估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)2、有效性：

(Efficiency)第29頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五30優(yōu)良估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)3、一致性：

(Consistency)第30頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五31置信標(biāo)準(zhǔn)（置信度）：-zz第31頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五32總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)

（Intervalestimate)正態(tài)總體，方差已知第32頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五習(xí)題通常人類的智商呈正態(tài)分布，方差為225?，F(xiàn)隨機(jī)抽樣64人調(diào)查，計(jì)算樣本的平均智商為102。試以95.45％的概率，估計(jì)總體智商均值的置信區(qū)間。33第33頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五34總體均值的置信區(qū)間為即為[102－3.75，102+3.75]=[98.25，105.75]因此，研究者有95.45％的把握，確認(rèn)總體智商的均值在98.25～105.75之間。置信區(qū)間第34頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五35總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)

（Intervalestimate)正態(tài)總體，方差已知正態(tài)總體，方差未知第35頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五36均值的區(qū)間估計(jì)(X

未知)

應(yīng)用t

分布

-tt0第36頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五37結(jié)論：第37頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五38Zt0t(df=5)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

t(df=13)鐘形對稱尾部較大（1）t分布關(guān)于x=0對稱。（2）當(dāng)樣本容量很大時(shí)，接近正態(tài)分布（3）E（X）=0，Var(X)=n/（n-2）第38頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五39自由度(df)

DegreesofFreedom(df)1. 當(dāng)樣本統(tǒng)計(jì)量被計(jì)算出以后可以自由取值的觀測值數(shù)目2. 例如3個(gè)數(shù)之和是6

X1=1(或其他數(shù))

X2=2(或其他數(shù))

X3=3(不能改變)

Sum=6自由度=n-1

=3-1

=2第39頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五40例題某大學(xué)從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取25人，調(diào)查到他們平均每天參加體育鍛煉的時(shí)間為26分鐘，樣本方差S2=36。試以95%的置信水平估計(jì)該大學(xué)的學(xué)生平均每天參加體育鍛煉的時(shí)間（假定x～N（μ，σ2））。解：已知n=25，x～N（μ，σ2），σ2未知?jiǎng)t樣本統(tǒng)計(jì)量服從t分布第40頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五41總體均值的置信區(qū)間為即為[26－2.48，26+2.48]=[23.52，28.48]故全校學(xué)生平均每天參加體育鍛煉的時(shí)間在23.52~28.48分鐘之間。第41頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五42假設(shè)檢驗(yàn)的一般問題一、假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想二、假設(shè)檢驗(yàn)的步驟三、假設(shè)檢驗(yàn)中的兩類錯(cuò)誤第42頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五43如果總體均值

=4535樣本均值不大可能為這個(gè)值因此拒絕原假設(shè)

=45樣本平均年齡45抽樣分布一、假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想40第43頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五44

假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想基于小概率原理的反證法第44頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五45二、假設(shè)檢驗(yàn)的步驟1、提出假設(shè)，包括原假設(shè)和備擇假設(shè)2、構(gòu)造相應(yīng)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，確定其分布形式；根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算統(tǒng)計(jì)量的值；3、確定顯著性水平和臨界值；4、作出結(jié)論。（根據(jù)所計(jì)算的統(tǒng)計(jì)量的值與臨界值比較確定是否拒絕原假設(shè)）第45頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五46原假設(shè)

TheNullHypothesis1.陳述需要檢驗(yàn)的假設(shè)

例如:H0:=452.原假設(shè)用H0表示3.總是包含等號“=”（比如=,,)4.檢驗(yàn)以“假定原假設(shè)為真”開始第46頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五47平均每天看電視時(shí)間不是5小時(shí)。如何設(shè)定假設(shè)檢驗(yàn)？H0:=5 H1:5第47頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五48例題（雙側(cè)檢驗(yàn)）據(jù)報(bào)導(dǎo)，美國全職教授年薪的數(shù)學(xué)期望值為68000美元，標(biāo)準(zhǔn)差為5000美元。一個(gè)由36名大學(xué)全職教授組成的樣本表明，平均薪水為70000美元，檢驗(yàn)報(bào)導(dǎo)的可信性。（顯著性水平為0.02）第48頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五49H0臨界值臨界值/2/2樣本統(tǒng)計(jì)量拒絕域拒絕域非拒絕域接受域與拒絕域抽樣分布1-置信度第49頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五50（1）H0：μ=68000H1；μ≠68000（2）檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量服從Z分布檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量:（3）α=0.02，查正態(tài)分布表得：Z=2.33，

接受域?yàn)椋ǎ?.33，2.33）

結(jié)論：拒絕假定。第50頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五51質(zhì)檢員認(rèn)為在整個(gè)工作流程中平均裝盒量符合標(biāo)準(zhǔn)：沒有超過368克。隨機(jī)抽取25盒為樣本，均值X=372.5克，標(biāo)準(zhǔn)差s=15克。試在=0.05的條件下進(jìn)行檢驗(yàn)。給出你的結(jié)論。368克.例題（單側(cè)檢驗(yàn)）第51頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五52t0拒絕H0t0拒絕H0接受域與拒絕域H0:0H1:<0H0:0H1:>0必須顯著低于才會拒絕小的數(shù)值與H0不矛盾.，因此不會拒絕H0左側(cè)檢驗(yàn)右側(cè)檢驗(yàn)第52頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五53（1）H0：μ≤368

H1；μ>368（2）檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量服從t分布檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量:（3）α=0.05，查t