精選西北工業(yè)大學(xué)2023至2023學(xué)年第一學(xué)期線性代數(shù)考試試題

西北工業(yè)大學(xué)2023至2023學(xué)年第一學(xué)期線性代數(shù)考試試題西北工業(yè)大學(xué)2023-2023學(xué)年第一學(xué)期線性代數(shù)考試試題〔27〕〔2023.11〕一、〔24分〕選擇填空與計算填空：1．設(shè)向量組線性相關(guān)，向量組線性無關(guān)，那么必有〔

〕．(1)

線性相關(guān)；

(2)

線性無關(guān)；(3)

可由線性表示；

(4)

可由線性表示．2．設(shè)方陣滿足，那么必有〔

〕．(1)

一定是的特征值；(2)

一定是的特征值；(3)

的特征值不可能是和以外的數(shù)值．3．將矩陣的第1列加到第2列得到矩陣，再將矩陣的第2列與第3列對換得到矩陣，那么，其中矩陣．4．設(shè)與的秩相同，那么必有〔

〕．(1)

的列向量組與的列向量組等價；(2)

的行向量組與的行向量組等價；(3)

可經(jīng)過初等變換得到；(4)

齊次線性方程組與同解．5．設(shè)與滿足，且，那么必有〔

〕．(1)

的列向量組線性相關(guān)；

(2)

的列向量組線性無關(guān)；(3)

的行向量組線性相關(guān)；

(4)

的行向量組線性無關(guān)．6．設(shè)經(jīng)過初等行變換得到，那么必有〔

〕．(1)

與的特征值相同；

(2)

與的行列式相同；(3)

與相似；

(4)

齊次線性方程組與同解．7．設(shè)相似于，那么必有〔

〕．(1)

存在可逆矩陣，使得；(2)

存在可逆矩陣與，使得；(3)

存在正交矩陣，使得；(4)

的特征向量是的特征向量．8．設(shè)是實矩陣，是實向量，，那么〔

〕．(1)

不是二次型；(2)

是二次型，且該二次型的矩陣是；(3)

是二次型，且該二次型的矩陣是；(4)

是二次型，且該二次型的秩等于．二、〔9分〕計算行列式．三、〔15分〕求正交于向量組，，〔為實數(shù)〕的全體實向量．四、〔15分〕

設(shè)矩陣的一個特征值為3，非齊次線性方程組的三個線性無關(guān)的解向量為．1．證明能夠相似于對角矩陣；2．求的通解．五、〔15分〕二次型的秩為2．1．求參數(shù)；2．用正交變換將化為標(biāo)準(zhǔn)形；〔要求寫出正交變換的矩陣〕3．問表示哪一類二次曲面？六、〔12分〕向量空間的兩個基為

(1)和

(2),,．設(shè)在基(1)與基(2)下的坐標(biāo)分別為，，且滿足．1．求由基(1)改變?yōu)榛?2)的過渡矩陣；2．求在基(1)下的坐標(biāo)．七、〔10分〕設(shè)矩陣的秩為，且維列向量組線性無關(guān)，證明：向量組線性無關(guān)．西北工業(yè)大學(xué)2023-2023學(xué)年第一學(xué)期線性代數(shù)考試試題答案一、1．；2．；3．；4．；5．；

6．；

7．；

8．．二、兩條線的行列式，按第一行展開得三、根據(jù)題設(shè)條件得由于1〕當(dāng)時，，此時同解方程組為，通解為，故．2〕當(dāng)時，，同解方程組為，通解為故．四、１．記，，那么由和知均是的解向量．設(shè)，整理得，由線性無關(guān)知，，，從而只有，，故線性無關(guān)．由于是3階矩陣對應(yīng)2重特征值的兩個線性無關(guān)的特征向量，3是的單特征值，故能夠相似于對角矩陣．2．由１知，存在可逆矩陣，使得，所以，故的根底解系含2個線性無關(guān)的解向量．又知是的線性無關(guān)解向量，從而的通解為五、1．二次型的矩陣，由知解得．2．．可求得，所以的特征值為，對應(yīng)的特征向量為，〔已正交〕；對應(yīng)的特征向量為，單位化得正交變換，其中化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形．

2．表示〔橢〕圓柱面．六、1．由題設(shè)條件得坐標(biāo)變換公式從而基變換公式為，即故由基(1)改變?yōu)榛?2)的過渡矩陣為2．故在基(1)下的坐