第二章spss生物統(tǒng)計學

第一節(jié)事件與概率

第二節(jié)概率分布

第三節(jié)正態(tài)分布

第四節(jié)二項分布

第五節(jié)泊松分布

第六節(jié)樣本平均數(shù)的抽樣分布

第七節(jié)t分布

目前一頁\總數(shù)五十頁\編于十六點第一節(jié)事件與概率

一、事件（一）必然現(xiàn)象與隨機現(xiàn)象

1、必然現(xiàn)象指在某些條件下，一定會發(fā)生的現(xiàn)象。（可分為必然事件和不可能事件兩類）

2、隨機現(xiàn)象指在相同條件下重復(fù)進行試驗，結(jié)果未必相同，這種現(xiàn)象稱為隨機現(xiàn)象。事實證明，當在相同條件下進行大量觀察時，隨機現(xiàn)象大都呈現(xiàn)某種規(guī)律。概率論與數(shù)理統(tǒng)計就是研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的一門數(shù)學學科。。目前二頁\總數(shù)五十頁\編于十六點(二)隨機試驗(randomtrial)與事件(randomevent)

我們把對自然現(xiàn)象的一次觀察或進行的一次科學試驗統(tǒng)稱為一個試驗。如果這個試驗具有下述三個特性就稱其為隨機試驗，簡稱試驗。

可以在相同條件下重復(fù)進行；

每次試驗的可能結(jié)果不止一個，并且事先能明確試驗的所有可能結(jié)果；

試驗前不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn)。隨機試驗的每一個可能結(jié)果稱為隨機事件，簡稱事件，通常用字母A、B、C……等表示。目前三頁\總數(shù)五十頁\編于十六點二、概率（probability）

（一）定義設(shè)在同一條件組S下進行了n次試驗，事件A發(fā)生了m次。當隨著n的增大，如果事件A發(fā)生的的頻率m／n穩(wěn)定地接近某一數(shù)值p，則稱p為隨機事件A在條件組S下發(fā)生的概率，記為P(A)=p。當n充分大時，P(A)=m／n。

（二）小概率事件與小概率原理當事件A的概率與0非常接近時，稱此事件為小概率事件。小概率事件雖然不是不可能事件，但通常認為在一次試驗中實際上是不可能發(fā)生的，稱之為“小概率事件實際不可能性原理”。這是統(tǒng)計假設(shè)檢驗的基礎(chǔ)。目前四頁\總數(shù)五十頁\編于十六點第二節(jié)概率分布

(probabilitydistribution)

若要全面了解試驗，則必須知道試驗的全部可能結(jié)果及各種結(jié)果發(fā)生的概率，即試驗結(jié)果的概率分布。

一、隨機變量（randomvariable）（一）定義作一次試驗或抽樣觀察，其結(jié)果有多種可能。每一種可能結(jié)果都可用一個數(shù)來表示。把這些數(shù)作為變量x的取值范圍，則試驗或觀察結(jié)果可用變量x來表示。變量x就稱為隨機變量。隨機變量可用x、y…等字母表示。目前五頁\總數(shù)五十頁\編于十六點（二）分類

1、離散型隨機變量

(discreterandomvariable)如果表示試驗結(jié)果的隨機變量x，其可能取值為有限個或至多可列個，并可以按一定順序一一列舉，則稱x為離散型隨機變量。

2、連續(xù)型隨機變量

(continuousrandomvariable)如果表示試驗結(jié)果的隨機變量x，其可能取值為某范圍內(nèi)的任何數(shù)值，表現(xiàn)為不可列性和連續(xù)變異，則稱x為連續(xù)型隨機變量。目前六頁\總數(shù)五十頁\編于十六點二、離散型隨機變量的概率分布（一）研究離散型隨機變量的概率分布要解決的兩個問題：

要了解離散型隨機變量x的統(tǒng)計規(guī)律，就必須知道它的一切可能取值；

取每種可能值的概率。亦即，要想了解只取整數(shù)值的某一總體的全面情況，只須知道其個體的一切可能值，以及取各種可能值的個體在總體中所占的比率。目前七頁\總數(shù)五十頁\編于十六點（二）離散型隨機變量的概率分布將離散型隨機變量x的一切可能取值及其對應(yīng)的概率，記作上式即稱為離散型隨機變量x的概率分布或分布。也可用分布列表示離散型隨機變量x的概率分布，

離散型隨機變量概率分布的基本性質(zhì)：變量xx1x2…xn…概率Pp1p2…pn…目前八頁\總數(shù)五十頁\編于十六點三、連續(xù)型隨機變量的概率分布連續(xù)型隨機變量的概率分布不能用分布列來表示，因為其可能取的值是不可數(shù)的。因此只能用隨機變量x在某個區(qū)間內(nèi)取值的概率P(a≤x<b)來表示。（一）概率分布密度曲線和概率分布密度函數(shù)(參見P35)（二）連續(xù)型隨機變量的概率由概率分布密度函數(shù)確定目前九頁\總數(shù)五十頁\編于十六點（三）連續(xù)型隨機變量概率分布的性質(zhì)

分布密度函數(shù)大于或等于0，即

當隨機變量x取某一特定值時，其概率為0，即

在一次試驗中x取值必在范圍內(nèi)，為一必然事件。因此

c為任意實數(shù)目前十頁\總數(shù)五十頁\編于十六點第三節(jié)正態(tài)分布

（normaldistribution）正態(tài)分布是一種很重要的特殊的連續(xù)型隨機變量的概率分布。生物現(xiàn)象中有許多變量是服從或接近正態(tài)分布的；許多統(tǒng)計分析方法都是以正態(tài)分布為基礎(chǔ)的；

此外，還有不少隨機變量在一定條件下以正態(tài)分布為其極限分布。因此，正態(tài)分布無論對理論研究還是實際應(yīng)用，在統(tǒng)計學中均占有重要的地位。目前十一頁\總數(shù)五十頁\編于十六點

一、正態(tài)分布的定義及其特征

（一）定義若連續(xù)性隨機變量x的概率分布密度函數(shù)為：其中，為平均數(shù)，為方差，則稱隨機變量x服從正態(tài)分布,記為相應(yīng)的概率分布函數(shù)為目前十二頁\總數(shù)五十頁\編于十六點

二、正態(tài)分布的特征

f(x)是非負數(shù)，以x軸為漸進線；

曲線在處各有一個拐點；

正態(tài)分布密度函數(shù)曲線

正態(tài)分布密度曲線是以為對稱軸的單峰、對稱的懸鐘形；

f(x)在處達到極大值,極大值為目前十三頁\總數(shù)五十頁\編于十六點正態(tài)分布有兩個參數(shù)，即平均數(shù)和標準差。是位置參數(shù)，是變異度參數(shù)。

分布密度曲線與橫軸所夾的面積為1，即：

μ相同而σ不同的三個正態(tài)總體

σ相同而μ不同的三個正態(tài)總體

目前十四頁\總數(shù)五十頁\編于十六點二、標準正態(tài)分布

（standardnormaldistribution）

（一）定義由于正態(tài)分布是依賴于參數(shù)和（或）的一簇分布，造成研究具體正態(tài)總體時的不便。因此將一般的轉(zhuǎn)換為

的正態(tài)分布，則稱的正態(tài)分布為標準正態(tài)分布。標準正態(tài)分布的概率密度函數(shù)及分布函數(shù)如下：目前十五頁\總數(shù)五十頁\編于十六點

若隨機變量u服從標準正態(tài)分布，記作

（二）標準化的方法對于任何一個服從正態(tài)分布的隨機變量x，都可以通過標準化變換：

即減平均數(shù)后再除以標準差，將其變換為服從標準正態(tài)分布的隨機變量u。對不同的u值編成函數(shù)表，稱為正態(tài)分布表，從中可以查到任意一個區(qū)間內(nèi)曲線下的面積，即為概率。目前十六頁\總數(shù)五十頁\編于十六點三、正態(tài)分布的概率計算（一）標準正態(tài)分布的概率計算設(shè)u服從標準正態(tài)分布，則u落在u1,u2)內(nèi)的概率目前十七頁\總數(shù)五十頁\編于十六點應(yīng)熟記的幾種標準正態(tài)分布概率目前十八頁\總數(shù)五十頁\編于十六點（二）一般正態(tài)分布的概率計算

將區(qū)間的上下限標準化，服從正態(tài)分布的隨機變量x落在〔x1,x2〕內(nèi)的概率，等于服從標準正態(tài)分布的隨機變量u落在的概率。

然后查標準正態(tài)分布的概率表

[例]若x服從的正態(tài)分布，試求。令u=(x-30.26)/5.10,則u服從標準正態(tài)分布，故目前十九頁\總數(shù)五十頁\編于十六點(三)雙側(cè)概率（兩尾概率）與單側(cè)概率（一尾概率）

隨機變量x落在平均數(shù)加減不同倍數(shù)標準差區(qū)間之外的概率稱為雙側(cè)概率（兩尾概率），記作對應(yīng)于雙側(cè)概率可以求得隨機變量x小于或大于的概率，稱為單側(cè)概率（一尾概率），記作。如x落在之外的雙側(cè)概率為0.05，而單側(cè)概率為0.025。即目前二十頁\總數(shù)五十頁\編于十六點第四節(jié)二項分布（Binomialdistribution）

一、貝努利試驗及其概率公式

（一）獨立試驗和貝努利試驗

將隨機試驗重復(fù)進行n次，若各次試驗結(jié)果互相不影響，即每次試驗結(jié)果出現(xiàn)的概率都不依賴于其它各次試驗的結(jié)果，則稱這n次試驗是相互獨立的。對于n次獨立的試驗，如果每次試驗結(jié)果出現(xiàn)且只出現(xiàn)對立事件A與之一;在每次試驗中出現(xiàn)A的概率是常數(shù)p（0<p<1）,因而出現(xiàn)對立事件的概率是1-p=q,則稱這一串重復(fù)的獨立試驗為n重貝努利試驗，簡稱貝努利試驗。目前二十一頁\總數(shù)五十頁\編于十六點（二）二項分布的概率

在n重貝努利試驗中，事件A發(fā)生k次的概率恰好等于（q+p）n二項展開式中的第k+1項，因此也將稱作二項概率公式。

二、二項分布的意義及其性質(zhì)

（一）定義設(shè)隨機變量x所有可能取的值為零和正整數(shù)：0,1,2,…,n,且有

（其中p>0,q>0,p+q=1）,則稱隨機變量x服從參數(shù)為n和p的二項分布，記為目前二十二頁\總數(shù)五十頁\編于十六點

（二）二項分布的性質(zhì)二項分布是一種離散型隨機變量的概率分布，由n和p兩個參數(shù)決定，參數(shù)n稱為離散參數(shù)，只能取正整數(shù)；p是連續(xù)參數(shù)，取值為0與1之間的任何數(shù)值。

二項分布具有概率分布的一切性質(zhì)，即：

（k=0,1,2,…,n）

二項分布的概率之和等于1，即：

目前二十三頁\總數(shù)五十頁\編于十六點

上面是二項分布概率的基本性質(zhì)；是我們在運算中經(jīng)常要根據(jù)題目要求運算時要應(yīng)用到的，要注意理解。

目前二十四頁\總數(shù)五十頁\編于十六點三、二項分布的概率計算及其應(yīng)用條件

（一）概率計算二項分布的概率計算，可以直接利用二項概率公式進行。把時間A發(fā)生的次數(shù)k代入公式即可求得對應(yīng)的概率。

[例]有一批種蛋，其孵化率為0.85，今在該批種蛋中任選6枚進行孵化，試給出孵化出小雞的各種可能情況的概率。這個問題屬于貝努里模型，其中，孵化6枚種蛋孵出的小雞數(shù)x服從二項分布.其中x的可能取值為0，1，2，3，4，5，6。目前二十五頁\總數(shù)五十頁\編于十六點其中思考：求至少孵出3只小雞的概率是多少？孵出的小雞數(shù)在2-5只之間的概率是多大？目前二十六頁\總數(shù)五十頁\編于十六點

（二）應(yīng)用條件（三個）二項分布的應(yīng)用條件有三：

各觀察單位只具有互相對立的一種結(jié)果，如陽性或陰性，生存或死亡等，屬于二項分類資料。

已知發(fā)生某一結(jié)果(如死亡)的概率為p，其對立結(jié)果的概率則為1-P=q，實際中要求p是從大量觀察中獲得的比較穩(wěn)定的數(shù)值。

n個觀察單位的觀察結(jié)果互相獨立，即每個觀察單位的觀察結(jié)果不會影響到其它觀察單位的結(jié)果。目前二十七頁\總數(shù)五十頁\編于十六點

四、二項分布的平均數(shù)與標準差統(tǒng)計學證明，服從二項分布B(n,p)的隨機變量之平均數(shù)μ、標準差σ與參數(shù)n、p有如下關(guān)系：

當試驗結(jié)果以事件A發(fā)生次數(shù)k表示時

當試驗結(jié)果以事件A發(fā)生的頻率k／n表示時也稱率的標準誤。目前二十八頁\總數(shù)五十頁\編于十六點第四節(jié)泊松分布

(Possiondistribution）

普阿松分布是一種可以用來描述和分析隨機地發(fā)生在單位空間或時間里的稀有事件的分布。所謂稀有事件即為小概率事件。要觀察到這類事件，樣本含量n必須很大。在生物、醫(yī)學研究中，服從普阿松分布的隨機變量是常見的。此外，由于普阿松分布是描述小概率事件的，因而二項分布中當p很小n很大時，可用普阿松分布逼近。目前二十九頁\總數(shù)五十頁\編于十六點目前三十頁\總數(shù)五十頁\編于十六點一、泊松分布的意義

（一）定義若隨機變量x(x=k)只取零和正整數(shù)值，且其概率分布為

其中k=0，1，…；λ＞0;e=2.7182…是自然對數(shù)的底數(shù)，則稱X服從參數(shù)為λ的普阿松分布記為x～P(λ)。

（二）特征普阿松分布作為一種離散型隨機變量的概率分布有一個重要的特征。目前三十一頁\總數(shù)五十頁\編于十六點這就是它的平均數(shù)和方差相等，都等于常數(shù)λ，即μ=σ2=λ。利用這一特征，可以初步判斷一個隨機變量是否服從普阿松分布。

[例]我們調(diào)查了200個奶牛場，統(tǒng)計各場某10年內(nèi)出現(xiàn)的怪胎（如缺皮癥，全身無毛等）的頭數(shù)，然后以怪胎頭數(shù)把200個奶牛場分類，統(tǒng)計每類中奶牛場數(shù)目，結(jié)果如下：試研究10年內(nèi)母牛怪胎數(shù)的概率分布。10年內(nèi)母牛產(chǎn)怪胎次數(shù)（m）01234總計奶牛場數(shù)（f）109652231200目前三十二頁\總數(shù)五十頁\編于十六點每一奶牛場10年內(nèi)母牛產(chǎn)怪胎是稀有事件，先假設(shè)母牛產(chǎn)怪胎數(shù)的概率分布為普阿松分布。根據(jù)觀察結(jié)果計算每一奶牛場10年內(nèi)母牛產(chǎn)怪胎的平均數(shù)，根據(jù)加權(quán)法可得用=0.61估計λ，代入計算當m=0,1,2,3,4時的概率和理論次數(shù)（見表）。怪胎數(shù)（m）01234總計實際次數(shù)（f）109652231200概率（理論）0.54340.33140.10110.02060.00310.9996理論次數(shù)108.6866.2820.224.120.62199.92目前三十三頁\總數(shù)五十頁\編于十六點

由表中的結(jié)果可以看出，計算所得的理論次數(shù)與實際次數(shù)十分接近，說明各奶牛場10年內(nèi)出現(xiàn)怪胎次數(shù)是服從普阿松分布的，我們事先的假設(shè)是正確的。下面我們再來證實我們所得的資料是否具有普阿松分布的特征。已經(jīng)計算出=0.61，樣本方差計算如下，S2與很接近，這正是普阿松分布所具有的特征。目前三十四頁\總數(shù)五十頁\編于十六點二、波松分布的概率計算

λ是普阿松分布所依賴的唯一參數(shù)。普阿松分布的概率計算，只要參數(shù)λ確定了，問題就解決了。把k=0,1,2,…代入公式即可求得各項的概率。但是在大多數(shù)服從普阿松分布的實例中，分布參數(shù)λ往往是未知的，只能從所觀察的隨機樣本中計算出相應(yīng)的樣本平均數(shù)作為λ的估計值。目前三十五頁\總數(shù)五十頁\編于十六點四、三種重要的概率分布之間的關(guān)系

前面討論的三個重要的概率分布中，前兩個概率分布屬離散型的，后一個屬連續(xù)型的。三者間的關(guān)系綜述如下：

對于二項分布，在n→∞,p→0，且np=λ(較小常數(shù))情況下，二項分布趨于普阿松分布。在這種場合，普阿松分布中的參數(shù)λ用二項分布的np代之；

在n→∞,p→0.5時，二項分布趨于正態(tài)分布。在這種場合，正態(tài)分布中的μ、σ2用二項分布的np、npq代之。目前三十六頁\總數(shù)五十頁\編于十六點

在實際計算中，當p＜0.1且n很大時，二項分布可由普阿松分布近似，當p＞0.1且n很大時，二項分布可由正態(tài)分布近似。二項分布普阿松分布正態(tài)分布p＞0.1n∞P<0.1n∞目前三十七頁\總數(shù)五十頁\編于十六點第六節(jié)樣本平均數(shù)的抽樣分布

研究總體與從中抽取的樣本之間的關(guān)系是統(tǒng)計學的中心內(nèi)容。對這種關(guān)系的研究可從兩方面著手:一是從總體到樣本，這就是研究抽樣分布的問題；二是從樣本到總體，這就是統(tǒng)計推斷問題。統(tǒng)計推斷是以總體分布和樣本抽樣分布的理論關(guān)系為基礎(chǔ)的。為了能正確地利用樣本去推斷總體，并能正確地理解統(tǒng)計推斷的結(jié)論，須對樣本的抽樣分布有所了解。目前三十八頁\總數(shù)五十頁\編于十六點總體與樣本間的關(guān)系從總體到樣本從樣本到總體統(tǒng)計推斷(目的)抽樣分布（基礎(chǔ)）目前三十九頁\總數(shù)五十頁\編于十六點一、樣本平均數(shù)的抽樣分布

（一）基本概念

1、返置抽樣與不返置抽樣由總體隨機抽樣(randomsampling)的方法可分為有返置抽樣和不返置抽樣兩種。前者指每次抽出一個個體后，這個個體應(yīng)返置回原總體；后者指每次抽出的個體不返置回原總體。

對于無限總體，返置與否關(guān)系不大，都可保證各個體被抽到的機會均等。對于有限總體，要保證隨機抽樣，就應(yīng)該采取返置抽樣，否則各個體被抽到的機會就不均等。目前四十頁\總數(shù)五十頁\編于十六點2、原始總體與樣本平均數(shù)抽樣總體

設(shè)有一個總體，總體均數(shù)為μ,方差為σ2，總體中各變數(shù)為x，將此總體稱為原總體?，F(xiàn)從這個總體中隨機抽取含量為n的樣本，樣本平均數(shù)記為。由這些樣本算得的平均數(shù)有大有小，不盡相同，與原總體均數(shù)μ相比往往表現(xiàn)出不同程度的差異。這種差異是由隨機抽樣造成的，稱為抽樣誤差(Samplingerror)。

顯然，樣本平均數(shù)也是一個隨機變量，其概率分布叫做樣本平均數(shù)的抽樣分布。目前四十一頁\總數(shù)五十頁\編于十六點由樣本平均數(shù)構(gòu)成的總體稱為樣本平均數(shù)的抽樣總體，其平均數(shù)和標準差分別記為和。是樣本平均數(shù)抽樣總體的標準差，簡稱標準誤(Standarderror)，它表示平均數(shù)抽樣誤差的大小。

原總體（μ，σ）樣本平均數(shù)的抽樣總體（，）目前四十二頁\總數(shù)五十頁\編于十六點3、原始總體與樣本平均數(shù)抽樣總體的兩個參數(shù)間的關(guān)系統(tǒng)計學上已證明總體的兩個參數(shù)與x總體的兩個參數(shù)有如下關(guān)系：

為了驗證這個結(jié)論及了解平均數(shù)抽樣總體與原總體概率分布間的關(guān)系，可進行模擬抽樣試驗（請同學們參考有關(guān)書籍）。(二)x變量與變量概率分布間的關(guān)系——中心極限定理目前四十三頁\總數(shù)五十頁\編于十六點

若隨機變量x服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，x1,x2,….,xn是由x總體得來的隨機樣本，則統(tǒng)計量=Σx／n的概率分布也是正態(tài)分布，且有即服從正態(tài)分布N(μ,σ2／n)。

若隨機變量x服從平均數(shù)是μ，方差是σ2的分布(不是正態(tài)分布);x1,x2,….,xn是由此總體得來的隨機樣本，則統(tǒng)計量=Σx／n的概率分布，當n相當大時逼近正態(tài)分布N(μ,σ2／n)。這就是中心極限定理。上述兩個結(jié)果保證了樣本平均數(shù)的抽樣分布服從或者逼近正態(tài)分布。目前四十四頁\總數(shù)五十頁\編于十六點二、標準誤

（一）定義及其意義

標準誤(平均數(shù)抽樣總體的標準差)的大小反映樣本平均數(shù)的抽樣誤差的大小，即精確性的高低。標準誤大，說明各樣本均數(shù)間差異程度大，樣本平均數(shù)的精確性低。反之，小，說明間的差異程度小，樣本平均數(shù)的精確性高。的大小與原總體的標準差σ成正比，與樣本含量n的平方根成反比。從某特定總體抽樣，因為σ是一常數(shù)，所以只有增大樣本含量才能降低樣本均數(shù)的抽樣誤差。目