2023屆湖北省十堰市高三下學期四月調(diào)研考試數(shù)學試題

2023屆湖北省十堰市高三下學期四月調(diào)研考試數(shù)學試題一、單選題1．復數(shù)的虛部為（

）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】利用復數(shù)得乘除法運算求出復數(shù)z，再根據(jù)虛部得定義即可得解.【詳解】解：，所以復數(shù)的虛部為-2.故選：A.2．若集合，，則（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二次根式的意義求出集合A，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出集合B，結(jié)合集合間的關系即可求解.【詳解】因為，，所以．故選：C.3．的展開式中的系數(shù)是（

）．A． B． C．－30 D．30【答案】A【分析】根據(jù)二項展開式的通項公式分析運算.【詳解】因為的展開式的通項公式，令，可得的系數(shù)是．故選：A.4．已知函數(shù)當時，取得最小值，則m的取值范圍為（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】通過分段函數(shù)進行求導，取得最小值，從而可得，當時，取得最小值，繼而可求出結(jié)論.【詳解】由題可知解得．故選：B.5．已知拋物線C：的焦點為F，拋物線C的準線與坐標軸相交于點P，點，且的面積為2，若Q是拋物線C上一點，則周長的最小值為（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】由的面積求出，為定值，的周長最小，需最小，即最小，此時MQ垂直于拋物線C的準線，求值即可.【詳解】由題可知，的面積為，則．則有,準線方程為，，Q點到準線距離為，的周長最小，需最小，即最小，所以當MQ垂直于拋物線C的準線時，的周長最小，且最小值為．故選：B6．已知A，B，C，D是球O的球面上的四個點，圓為的外接圓．若圓的面積為π，，則四面體ABCD體積的最大值為（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】由圓的面積為π，得圓的半徑為1，從而求得球O的半徑，從而可得出四面體ABCD體積的最大值.【詳解】因為圓的面積為π，所以圓的半徑為1，，則球O的半徑，則四面體ABCD體積的最大值為．故選：B.7．意大利著名數(shù)學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：．該數(shù)列的特點為前兩個數(shù)都是1，從第三個數(shù)起，每一個數(shù)都等于它的前面兩個數(shù)的和，即，人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”，則（

）．A．-2024 B．2024 C．-1 D．1【答案】C【分析】根據(jù)，證得數(shù)列是首項為1，公比為-1的等比數(shù)列，通過運算從而可以求出結(jié)果.【詳解】因為，當時，所以．又，所以是首項為1，公比為-1的等比數(shù)列，則，故．故選：C.8．若，，，則（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意得，構(gòu)造函數(shù)，利用求導，討論得知當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增．故，計算可比較大小,從而可得出結(jié)論.【詳解】令，則．當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增．故，可得，當且僅當時，等號成立，從而．因為，所以，故．故選：A.二、多選題9．《九章算術(shù)》中，將上、下底面為直角三角形的直三棱柱叫做塹堵，在如圖所示的塹堵中，，則（

）．A．B．C．向量在向量上的投影向量為D．向量在向量上的投影向量為【答案】BD【分析】利用空間向量的線性運算可判定A、B選項；利用投影向量的定義可判定C、D選項.【詳解】因為，故A不正確，B正確．如圖所示，故D作DU垂直BC，過U作VU垂直AB，UW垂直AC，故向量在向量上的投影向量為,向量在向量上的投影向量為，由題意易得故，C不正確．，D正確．故選：BD10．已知函數(shù)圖象的一個對稱中心是，點在的圖象上，則（

）．A． B．直線是圖象的一條對稱軸C．在上單調(diào)遞減 D．是奇函數(shù)【答案】ACD【分析】由可得，對稱中心，即可求得，從而知函數(shù)的解析式，再根據(jù)余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)，逐一分析選項即可.【詳解】因為點在的圖象上，所以．又，所以．因為圖象的一個對稱中心是，所以，則．又，所以，則，A正確．，則直線不是圖象的一條對稱軸，B不正確．當時，，單調(diào)遞減，C正確．，是奇函數(shù)，D正確．故選：ACD.11．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（

）．A．為奇函數(shù)B．為偶函數(shù)C．，當時，D．，【答案】ABD【分析】對于A、B：根據(jù)奇偶性的定義分析判斷；對于C：構(gòu)建，利用導數(shù)判斷單調(diào)性，分析判斷；對于D：構(gòu)建，利用導數(shù)求原函數(shù)的最值，分析判斷.【詳解】對于A、B：因為的定義域為R，且，，所以為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，故A，B正確；對于B：構(gòu)建，則，構(gòu)建，則，令，解得；令，解得；則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故即在上恒成立，則在上單調(diào)遞增，不妨令，則，即，整理得，且，則，C不正確；對于D：構(gòu)建，則，當且僅當，即時等號成立，故在上單調(diào)遞增，則，D正確．故選：ABD.12．橢圓曲線是代數(shù)幾何中一類重要的研究對象．關于橢圓曲線W：，下列結(jié)論正確的有（

）．A．曲線W關于直線對稱B．曲線W關于直線對稱C．曲線W上的點的橫坐標的取值范圍為D．曲線W上的點的橫坐標的取值范圍為【答案】BD【分析】由特殊值結(jié)合對稱性判斷A；設點在曲線W上，證明點在曲線W上，從而判斷B；，解不等式判斷CD.【詳解】由，得．對于A：因為，所以曲線W不關于直線對稱，A不正確．對于B：設點在曲線W上，則，，所以點在曲線W上，所以曲線W關于直線對稱，B正確．對于CD：由，得，解得或，C不正確，D正確．故選：BD.三、填空題13．已知向量，，若，則________．【答案】13【分析】由解出的值，利用模的坐標公式求.【詳解】已知向量，，因為，所以，解得，則，．故答案為：1314．若直線l：與圓C：有兩個公共點，則k的取值范圍為________．【答案】【分析】聯(lián)立方程，結(jié)合判別式分析運算.【詳解】聯(lián)立方程，消去y得，由題意可得：，故k的取值范圍為．故答案為：.四、雙空題15．已知是雙曲線上一點，、分別是雙曲線的左、右焦點，的周長為，則________，的面積為________．【答案】【分析】設設點在雙曲線的右支上，利用雙曲線的定義以及的周長可求得、，利用余弦定理可求得的值，利用同角三角函數(shù)的基本關系以及三角形的面積公式可求得的面積.【詳解】在雙曲線中，，，則，根據(jù)對稱性，不妨設點在雙曲線的右支上，則．因為，的周長為，所以，所以，．在中，，則，所以，的面積為．故答案為：；.五、填空題16．甲、乙兩位同學玩游戲：給定實數(shù)，按下列方法操作一次產(chǎn)生一個新的實數(shù)，由甲擲一枚骸子，若朝上的點數(shù)為1，2，3，則，若朝上的點數(shù)為4，則，若朝上的點數(shù)為5，6，則．對實數(shù)重復上述操作，得到新的實數(shù)，若，則甲獲勝，否則乙獲勝，那么甲獲勝的概率為________．【答案】【分析】列出如下樹形圖，結(jié)合獨立事件的概率乘法公式運算求解.【詳解】列出如下樹形圖，可知甲獲勝的概率為．故答案為：.六、解答題17．已知數(shù)列的前n項之積為，且，．(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意可得，有，由等差數(shù)列的定義和通項公式可得；（2）由（1）可得，利用裂項相消法求和即可求解.【詳解】（1）由題意得，，．所以，故是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，則．當時，由，得，則，對也成立，故．（2）由（1）可知，，，所以數(shù)列的前n項和為.18．的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，．(1)求面積的最大值；(2)若，求的周長．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，由同角的三角函數(shù)關系可得，利用余弦定理可得，結(jié)合三角形的面積公式計算即可求解；（2）根據(jù)題意，由余弦定理可得，解得，即可求解.【詳解】（1）因為，，所以，，當且僅當時，等號成立，則．故，即面積的最大值為．（2）由余弦定理，，，得，即．由，得，整理得，分解得，解得，故的周長為．19．現(xiàn)有4個紅球和4個黃球，將其分配到甲、乙兩個盒子中，每個盒子中4個球．(1)求甲盒子中有2個紅球和2個黃球的概率．(2)已知甲盒子中有3個紅球和1個黃球，若同時從甲、乙兩個盒子中取出個球進行交換，記交換后甲盒子中的紅球個數(shù)為X，X的數(shù)學期望為．證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)超幾何分布，即可求解；（2）當時，X的取值可能是2，3，4；當時，X的取值可能是0，1，2，利用超幾何分布分布求出對應的概率，結(jié)合數(shù)學期望的公式分布計算即可求解.【詳解】（1）由題可知，甲盒子中有2個紅球和2個黃球的概率．（2）當時，X的取值可能是2，3，4，且，，，則．當時，X的取值可能是0，1，2，且，，，則．故．20．中國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》中記載了一種被稱為“曲池”的幾何體．該幾何體是上、下底面均為扇環(huán)形的柱體（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）．在如圖所示的“曲池”中，平面，記弧AB、弧DC的長度分別為，，已知，，E為弧的中點．(1)證明：．(2)若，求直線CE與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）延長，并相交于點，證明，再利用線面垂直的性質(zhì)、判定推理作答.（2）以為坐標原點，建立空間直角坐標系，利用空間向量求解線面角的正弦值作答.【詳解】（1）延長，并相交于點，因為，則，，連接，，因為E為弧的中點，則，為正三角形，于是，因為平面，，則有平面，又平面，于是，而，平面，因此平面，又平面，所以．（2）以為坐標原點，為x軸，為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，則，，，設平面的法向量為，則，令，得，令直線CE與平面所成角為，則，直線CE與平面所成角的正弦值為．21．已知是橢圓C：的右頂點，過點且斜率為的直線l與橢圓C相交于A，B兩點（A點在x軸的上方），直線PA，PB分別與直線相交于M，N兩點．當A為橢圓C的上頂點時，．(1)求橢圓C的方程；(2)若，且，求k的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意可得，利用兩點求斜率公式求得，即可求解；（2）根據(jù)題意設l的方程為()，，,聯(lián)立方程組，利用韋達定理表示、，進而可得直線AP的方程，求出，同理可得，對化簡計算，結(jié)合即可求解.【詳解】（1）由題可知，．當A為橢圓C的上頂點時，，解得，故橢圓C的方程為．（2）依題意可設直線l的方程為，，，．聯(lián)立方程組消去x整理得，則，．直線AP的方程為，令，得．同理可得，則.因為，且，所以，，又，故．22．已知函數(shù)．(1)若在R上單調(diào)遞減，求a的取值范圍；(2)當時，求證在上只有一個零點，且．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意和函數(shù)的單調(diào)性可得即在R上恒成立，利用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)求出即可求解；（2）由函數(shù)零點的存在性定理可得，使得,進而得出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合、即可證明函數(shù)在上只有一個零點；由得，將不等式變形為，則證明即可，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合分析法，利用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)即可證明.【詳解】（1）因為，所以．由在R上單調(diào)遞減，得，即在R上恒成立．令，則．當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減．故，解得，即a的取值范圍為．（