歷年考研數(shù)學(xué)三真題及答案解析

2012年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)三試題

選擇題：「8小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的,

請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.

2

%+X

y=~~7

(1)曲線(xiàn)％一1漸近線(xiàn)的條數(shù)為()

(A)0(B)1(C)2(D)3

(2)設(shè)函數(shù)J'''八J,其中n為正整數(shù)，則'7=(

)

(A)(-ir,(n-l)!(B)(-ir(H-l)!

?(-1產(chǎn)〃！(D)(T)"〃！

f(t}fBXdr

(3)設(shè)函數(shù)J1"連續(xù)，則二次積分力及cos。=()

?2

0dxy2f^2+y2)dy

(A)

12

)dxf(x2+y2)dy

(B)

2

?2廠

odxJ/+Vf(x2+y2)dy

-x2

(C)

2

QX

dx——f(x2+y2)dy

-x2

(D)

oo

Z(一1)〃〃sin二(一1)〃

Z

a2-a

(4)已知級(jí)數(shù)/=|n絕對(duì)收斂,i=l條件收斂，則。范圍為()

＜1

(A)0＜二2(B)2＜?！?/p>

33

(C)<2(D)2?〈2

,0、(1)

%=0，%=1,%=—1,%=1

?)<C2>C其中夕2，

(5)設(shè)<3>,4為

任意常數(shù)，則下列向量組線(xiàn)性相關(guān)的是()

(A)%%。3(B)%%。4

(\

(6)設(shè)A為3階矩陣，P為3階可逆矩陣，且PTAP='2)

尸=(a［，02,a

3Q=(企I<^2)a2a3則QTAQ=()

(\\pA

21

(A)IU(B)、2>

「2、「2、

12

(D)I

(7)設(shè)隨機(jī)變量x與丫相互獨(dú)立，且都服從區(qū)間(0,1)上的均勻分布，則2］現(xiàn)卜+y-4

()

117171

(A)4(B)2(c)8(D)4

(8)設(shè)X］，*2，X3、4為來(lái)自總體Ml,(0)cr＞的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則

X「X?

統(tǒng)計(jì)量IX3+X4-2I的分布()

(A)N(0,1)(B)(C)Z⑴(D)b(LD

二、填空題：9~14小題，每小題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題紙指定位置上.

］

lim(tan%)8SAsin”

兀

ln4x,x>l^dy

/（x）,，y=/(/(初，求下

2x-l,x<ldx

(10)設(shè)函數(shù)x=0

-H2x+y-2=o,

⑴）函數(shù)z=/（X,y）滿(mǎn)足M次+（,一則匐°」）=

4

y——4

（12）由曲線(xiàn)X和直線(xiàn)）'=*及）'=4X在第一象限中所圍圖形的面積為

（13）設(shè)A為3階矩陣，|A|=3,A*為A的伴隨矩陣，若交換A的第一行與第二行得到矩陣B,則

|BA*|=.

尸0鉆）=「?=：,

（14）設(shè)A.B.C是隨機(jī)事件，A,C互不相容，23則

尸（_________

解答題：15?23小題，共94分.請(qǐng)將解答寫(xiě)在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演

算步驟.

（15）（本題滿(mǎn)分10分）

..ex~-e-2-2cosx

hm-----J----

計(jì)算°X

（16）（本題滿(mǎn)分10分）

^exxydxdyy=&與y=；

計(jì)算二重積分力，其中D為由曲線(xiàn)所圍區(qū)域.

（17）（本題滿(mǎn)分10分）某企業(yè)為生產(chǎn)甲、乙兩種型號(hào)的產(chǎn)品，投入的固定成本為10000（萬(wàn)元），

X

設(shè)該企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為x（件）和y（件），且固定兩種產(chǎn)品的邊際成本分別為20+2（萬(wàn)

元/件）與6+y（萬(wàn)元/件）.

1）求生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品的總成本函數(shù)（萬(wàn)元）

2）當(dāng)總產(chǎn)量為50件時(shí)，甲乙兩種的產(chǎn)量各為多少時(shí)可以使總成本最?。壳笞钚〉某杀?

3）求總產(chǎn)量為50件時(shí)且總成本最小時(shí)甲產(chǎn)品的邊際成本，并解釋其經(jīng)濟(jì)意義.

(18)(本題滿(mǎn)分10分)

,1+X、，/,,

xln-----Fcosx>1H---,-1<x<1.

證明；l-x2

(19)(本題滿(mǎn)分10分)已知函數(shù)/(*)滿(mǎn)足方程廣(x)+廣⑴-2/(%)=。及

fXx)+f(x)=2ex

1)求表達(dá)式/(X)

y=/，)1/(-〃)力

2)求曲線(xiàn)的拐點(diǎn)*)

(20)(本題滿(mǎn)分10分)

[1Q00)(1、

01Q0-1

A=,b=

001a0

設(shè)Q。oJS

(I)求|A|

(in已知線(xiàn)性方程組A%=”有無(wú)窮多解，求”，并s貪Ax=〃的通解.

(21)(本題滿(mǎn)分10分)

■101'

011

A=,

一10。

已知一°"T_二次型/(%，々，％3)=/(八1)%的秩為2,

求實(shí)數(shù)a的值；

求正交變換x=Qy將f化為標(biāo)準(zhǔn)型.

(22)(本題滿(mǎn)分10分)

已知隨機(jī)變量X,Y以及XY的分布律如下表所示:

求(1)P(X=2Y);

⑵cov(x—y,y)與px?

(23)(本題滿(mǎn)分10分)

設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，且均服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，

V=min(X,Y),U=max(X,Y).

求(1)隨機(jī)變量v的概率密度;

E((7+V)

2011年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)三試題

一、選擇題：1?8小題，每小題4分，共32分。下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合

題目要求的。請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上。

(1)已知當(dāng)x->0時(shí)，函數(shù)/(x)=3sinx-sin3x與是ex*等價(jià)無(wú)窮小，則

(A)女=1,C=4(B)Z=l,c=-4

(0Z=3,c=4(D)k-3,c=-4

(2)已知/(x)在x=0處可導(dǎo)，且/~(0)=0,則lim立竺衛(wèi)包)=

A->0%，

(A)-2/(0)(B)-/'(0)(C)/,(O)(D)0

(3)設(shè)｛〃,｝是數(shù)列，則下列命題正確的是

CC00

(A)若Z”“收斂，則￡(“2,1也2“)收斂

〃=1rt=I

88

(B)若Z(的“T+4”)收斂，則Z%收斂

n=ln-\

(C)若收斂，則￡>2,1-?2“)收斂

”=1n=l

opoo

(D)若￡(%,1-?2“)收斂，則AL"，，收斂

n=\n=\

nnn

(4)設(shè)/=pln(sinx)Jx,J=Rln(cotx)dx,A"=f4ln(cosx)dx則/,1,K的大小關(guān)

系是

(A)I<J<K(B)I<K<J(c)J<1<K(D)K<J<1

（5）設(shè)A為3階矩陣，將A的第2列加到第1列得矩陣B,再交換B的第2行與第3行得單位矩陣

'100、'100'

記為4=1106=001，則A=

、00I,、010,

(A)PR(B)P；'P2(0P2Pt(D)P-'P,

（6）設(shè)4為4x3矩陣，7，%，%是非齊次線(xiàn)性方程組Ax=￡的3個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解，k1,h

為任意常數(shù)，則Ax=（3的通解為

生+小

(A)+匕（%―7|）

2

772一名

(B)+右（〃2一7）

2

(C)+占（小一7）+右（%—7）

2

機(jī)一飛

(D)+/2(%一7)+/3(〃3—7)

2

⑺設(shè)片(X),工(X)為兩個(gè)分布函數(shù)，其相應(yīng)的概率密度工(X),工。)是連續(xù)函數(shù)，則必為概率

密度的是

(A)/,(x)/2(x)(B)2/2(X)F,(X)

(C)[(x)K(x)(D)[(X?2(X)+人(x)G(x)

(8)設(shè)總體X服從參數(shù)；I(/l〉o)的泊松分布，X|,X],…X“(〃N2)為來(lái)自總體的簡(jiǎn)單隨即樣

]〃1"I1

本，則對(duì)應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量7；=二2"廠,2=7—二X.

n/=1n-\/=1n

(A)ET]>ET?,DT1>DT2(B)ET、>ET2,DT}<DT2

(0ET]<ET2,DT]>DT2(D)ET}<ET2,DT}<DT2

二、填空題：9?14小題，每小題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題紙指定位置上.

(9)設(shè)/(x)=limx(l+3z)/,則/(%)=.

/->0

x

(10)設(shè)函數(shù)z=(l+A)〉,則dzl(w=.

y

(11)曲線(xiàn)tan(x+y+2)=在點(diǎn)(0,0)處的切線(xiàn)方程為.

4

(12)曲線(xiàn)y=lx?-1,直線(xiàn)x=2及x軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積

(13)設(shè)二次型/(X1,X2，X3)=/Ax的秩為1,A中行元素之和為3,則/在正交變換下

x=Qy的標(biāo)準(zhǔn)型為.

(14)設(shè)二維隨機(jī)變量(X,y)服從N("，M；/,b2;0),則E(X『)=.

三、解答題：15—23小題，共94分.請(qǐng)將解答寫(xiě)在答題紙指定的位置上.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明

過(guò)程或演算步驟.

(15)(本題滿(mǎn)分10分)

..+2sinx—x—1

求極限lim----------------------------.

xf。xln(l+x)

(16)(本題滿(mǎn)分10分)

已知函數(shù)/(M,V)具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，/(1,1)=2是的極值，

件7I

Z=f[(x+y),f(x,y)]?求^-1山).

dxdy

(17)(本題滿(mǎn)分10分)

「arcsinJx+lnx,

求-------5=-------dx

Jyjx

(18)(本題滿(mǎn)分10分)

證明4arctanx-x+士三-=0恰有2實(shí)根。

3

(19)(本題滿(mǎn)分10分)

/(x)在［0,1］有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，/(0)=1,且［J/(x+y)dxdy=Jjf(t)dxdy

o,or

D［={(x,y)Vx+yW/}(()＜，4I),求f(x)的表達(dá)式。

(20)(本題滿(mǎn)分11分)

T7

設(shè)3維向量組％=(D。/「，a2=(0,1,1,%=(D3,5"不能由川=(口。,17

/72=(D2,3T,4=(D3,57"線(xiàn)性標(biāo)出。

求：(I)求a：

(II)將夕［,62，.由％，a21a3線(xiàn)性表出.

(21)(本題滿(mǎn)分11分)

Tn(-1n

已知A為三階實(shí)矩陣，R(4)=2,且400=00,

、TJL1,

求：(I)求A的特征值與特征向量；

(II)求A

(22)(本題滿(mǎn)分11分)

已知x,y的概率分布如下：

X01Y-101

P1/32/3P1/31/31/3

且p(x?=y2)=i,

求：(i)(x,丫)的分布；

(H)z=xy的分布；

(in)PXY-

(23)(本題滿(mǎn)分11分)

設(shè)(X,y)在G上服從均勻分布，G由x-y=0,x+y=2與y=0圍成。

求：(I)邊緣密度/xCO：

(n)/xix(xly).

2010年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)三試題

一、選擇題：1?8小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符

合題目要求的，請(qǐng)把所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.

(1)若lim-=1,則a等于

x^\_xX

(A)0(B)1(C)2(D)3

(2)設(shè)是一階線(xiàn)性非齊次微分方程y+P(x)y=q(x)x的兩個(gè)特解，若常數(shù)4,〃使

幾):|+"為是該方程的解，幾必一伐力是該方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的解，則()

,11.11

(A)丸=—,〃=_(B)2-------,u—-----

2222

2122

(C)A,——，LI——(D)A——，U———

3333

(3)設(shè)函數(shù)/(x),g(x)具有二階導(dǎo)數(shù)，且g'(x)<0。若g(x())=a是g(x)的極值，則/口(切

在玉)取極大值的一個(gè)充分條件是()

(A)f(a)<0(B)/(a)>0

(Of(a)<0(D)f(a)>0

X

(4)設(shè)/(x)=ln"x,g(x)=x,〃(x)=ei°,則當(dāng)x充分大時(shí)有()

(A)g(x)<h(x)<f(x)(B)//(x)<g(x)</(x)

(C)/(x)<g(x)</?(%)<D)g(x)</(%)<//(%)

(5)設(shè)向量組I：電…a,可由向量組H：伏,夕2…氏線(xiàn)性表示，下列命題正確的是

(A)若向量組I線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則r<s(B)若向量組I線(xiàn)性相關(guān)，則r〉s

(C)若向量組II線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則r<s(D)若向量組II線(xiàn)性相關(guān)，則r>s

(6)設(shè)A為4階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，且42+A=0,若A的秩為3,則A相似于

11

(A)(B)

1-1

00

1

(C)(D)

-1-1

00

0x<Q

1

(7)設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)尸(X)=<—0<x<l,則P{X=1}

2

1-ex>l

1

(A)0(B)-(C)(D)l-e~}

2

(8)設(shè)工(X)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度,力(x)為卜1,3］上的均勻分布的概率密度，若

af.(x)x<0

f(x)=<(。>0,/?>0)為概率密度，則a,b應(yīng)滿(mǎn)足

優(yōu)。)x>0

(A)2a+3b=4(B)3a+2b=4

(Oa+b=\(D)a+b=2

二、填空題：9?14小題，每小題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題紙指定位置上.

xsin?力確定，則生

⑼設(shè)可導(dǎo)函數(shù)y=y(x)由方程［e~'dt=

dx,r=0

1

(10)設(shè)位于曲線(xiàn)y(e<x<+00)卜方，X軸上方的無(wú)界區(qū)域?yàn)镚,則G繞x軸

JxQ+ln2x)

旋轉(zhuǎn)一周所得空間區(qū)域的體積是.

(11)設(shè)某商品的收益函數(shù)為R(p),收益彈性為l+p3,其中p為價(jià)格，且R(l)=l,則

R(P)

(12)若曲線(xiàn)y=V+a/+bx+1有拐點(diǎn)(一1,0),則b=

(13)設(shè)4,3為3階矩陣,且|川=3,忸|=2,|AT+.=2,則|A+8

1n

(14)設(shè)％,x2,x”為來(lái)自整體N(",")(b>0)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，記統(tǒng)計(jì)量T=—￡X3則

n/=］

ET

三、解答題：15—23小題，共94分.請(qǐng)將解答寫(xiě)在答題紙指定的位置上.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明

過(guò)程或演算步驟.

(15)(本題滿(mǎn)分10分)

1_i_

求極限lim(5-1)嬴

X-4+OO

(16)(本題滿(mǎn)分10分)

計(jì)算二重積分“(x+ypdxdy,其中。由曲線(xiàn)工=J1+)/與直線(xiàn)x+J5y=O及

D

x-y12y=0圍成。

(17)(本題滿(mǎn)分10分)

求函數(shù)〃=孫+2、2在約束條件/+y2+z2=10卜.的最大值和最小值

(18)(本題滿(mǎn)分10分)

(1)比較a枷(1+訂力與力(〃=1,2,…)的大小，說(shuō)明理由

(II)設(shè)〃“=jllnrlflnCl+r)］"dt(〃=1,2,…)，求極限lim”“

(19)(本題滿(mǎn)分10分)

設(shè)函數(shù)/(x)在［0,3］上連續(xù)，在(0,3)內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù)，且2/(0)=f/(x)dx=/(2)4/(3)，

(I)證明：存在77e(0,2),使/(〃)=/(0)

(H)證明：存在&e(0,3),使/'鉆)=0

(20)(本題滿(mǎn)分11分)

'A11

設(shè)A=02—10

112

已知線(xiàn)性方程組Ax-b存在2個(gè)不同的解

(I)求4,a

(II)求方程組Ax=b的通解

(21)(本題滿(mǎn)分11分)

-0-14'

設(shè)A=—13a，正交矩陣。使得。/AQ為對(duì)角矩陣，若。的第1列為■，求

V6

4ao

a,Q

(22)(本題滿(mǎn)分11分)

設(shè)二維隨機(jī)變量(X,丫)的概率密度為/(x,y)=Ae-2/+2v->2

-00<X<+co,-00<y<+CO,求常數(shù)A及條件概率密度f(wàn)y、x(y|X)

（23）（本題滿(mǎn)分11分）

箱內(nèi)有6個(gè)球，其中紅，白，黑球的個(gè)數(shù)分別為1,2,3,現(xiàn)在從箱中隨機(jī)的取出2個(gè)球，設(shè)X為取

出的紅球個(gè)數(shù)，y為取出的白球個(gè)數(shù)，

（I）求隨機(jī)變量（X,卜）的概率分布

（II）求Cov（X,Y）

2009年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)三試題

一、選擇題：1?8小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符

合題目要求的，請(qǐng)把所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.

X-X

(1)函數(shù)-----的可去間斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)為

sin7ix

(A)l.(B)2.(03.(D)無(wú)窮多個(gè).

(2)當(dāng)x-0時(shí)，/(x)=x-sinax與g(x)=X?ln(l-bx)是等價(jià)無(wú)窮小，則

(A)。=1,h=—.(B)a—\>b=—.

66

(C)tz——I,h=—.(D)(x—~\yb=一.

66

(3)使不等式［亨力〉Inx成立的x的范圍是

(A)(0,1).⑻。,5).(C)(―,7T).(D)(乃,+8).

則函數(shù)F（x）=］：/?）小的圖形為

(A)

(5)設(shè)A,8均為2階矩陣，A*,8*分別為A,8的伴隨矩陣，若141=2,151=3,則分塊矩陣

0A、

的伴隨矩陣為

B07

O3B'O2B

(A)(B)

、2A*、

073A07

'O34*、O2A

(0(D)

、2B*070

00、

（6）設(shè)均為3階矩陣，為尸的轉(zhuǎn)置矩陣，且010

002,

若尸=（%，=2，。3），0=（%+a2，二2，。3），則Q/AQ為

210、110、

(A)110(B)120

00002

2,7

'200、’100、

(0010.(D)020

N02;、002,

(7)設(shè)事件A與事件B互不相容，則

(A)P(AB)=0.⑻P(48)=P(A)P(B).

(0P(A)=1-P(5).(D)P(AuB)=\.

(8)設(shè)隨機(jī)變量x與y相互獨(dú)立，且x服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(O,I),y的概率分布為

P[Y=0}=P{Y=l}=g,記￡(Z)為隨機(jī)變量Z=XV的分布函數(shù)，則函數(shù)％(z)的間斷點(diǎn)個(gè)數(shù)

為

(A)0.(B)l.(02.(D)3.

二、填空題：9~14小題，每小題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題紙指定位置上.

e-e8sx

(10)設(shè)2=*+6‘)*,則一=______.

0X(1.0)

(11)箱級(jí)數(shù)>——的收斂半徑為

占〃2

(12)設(shè)某產(chǎn)品的需求函數(shù)為。=。(2)，其對(duì)應(yīng)價(jià)格尸的彈性芻,=0.2,則當(dāng)需求量為10000件

時(shí)，價(jià)格增加11元會(huì)使產(chǎn)品收益增加元.

'300、

(13)設(shè)。=(1,1,1)7,4=(1,0,女尸,若矩陣勾夕相似于000,則女

、°0°,

(14)設(shè)X1,X2,…，X,“為來(lái)自二項(xiàng)分布總體8(〃,〃)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，又和s’分別為樣本均

值和樣本方差，記統(tǒng)計(jì)量7=又一S?,則￡T=.

三、解答題：15?23小題，共94分.請(qǐng)將解答寫(xiě)在答題紙指定的位置上.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明

過(guò)程或演算步驟.

(15)(本題滿(mǎn)分9分)

求二元函數(shù)f(x,y)=/(2+丁)+ylny的極值.

(16)(本題滿(mǎn)分10分)

計(jì)算不定積分Jln(l+J)dx

(x>0).

(17)(本題滿(mǎn)分10分)

計(jì)算二重積分JJ(x-y)dxdy,其中O={(x,y)|(x-I,+(y-1)242,y2x}.

D

(18)(本題滿(mǎn)分11分)

(I)證明拉格朗日中值定理，若函數(shù)/(x)在［a,上連續(xù)，在(。力)上可導(dǎo)，則b),

得證/⑶-/(")=/'C)。-a).

(II)證明：若函數(shù)/(x)在x=()處連續(xù)，在(0,cr),(cr>0)內(nèi)可導(dǎo)，且lim/'(x)=A,

則￡(0)存在，且/：(0)=A.

(19)(本題滿(mǎn)分10分)

設(shè)曲線(xiàn)y=/(x),其中/(x)是可導(dǎo)函數(shù)，且/(x)>().已知曲線(xiàn)y=/(x)與直線(xiàn)

y=O,x=1及X=fQ>1)所圍成的曲邊梯形繞X軸旋轉(zhuǎn)一周所得的立體體積值是該曲邊梯形面積值

的萬(wàn)t倍，求該曲線(xiàn)的方程.

(20)(本題滿(mǎn)分11分)

設(shè)

(I)求滿(mǎn)足A42=，A、3=芻的所有向量$，<53?

(II)對(duì)(1)中的任意向量專(zhuān)，々，證明4,3，43線(xiàn)性無(wú)關(guān).

(21)(本題滿(mǎn)分11分)

設(shè)二次型

22

/(x),x2,x3)=axj+ax2+(a-l)x3+2x(x3-2x2x3.

(I)求二次型f的矩陣的所有特征值.

2

(II)若二次型f的規(guī)范形為y；+j2,求a的值.

(22)(本題滿(mǎn)分11分)

設(shè)二維隨機(jī)變量(x,y)的概率密度為

0<y<x

/(x,y)=<

其他

(1)求條件概率密度/小(HX);

(II)求條件概率p{x<i|y<i).

(23)(本題滿(mǎn)分11分)

袋中有一個(gè)紅球，兩個(gè)黑球，三個(gè)白球，現(xiàn)在放回的從袋中取兩次，每次取一個(gè)，求以x、y、z

分別表示兩次取球所取得的紅、黑與白球的個(gè)數(shù).

(I)求p{x=i|z=o}：

(II)求二維隨機(jī)變量(X,y)的概率分布.

2008年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)三試題

一、選擇題：1?8小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目

要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).

(1)設(shè)函數(shù)/*)在區(qū)間［—1,1］上連續(xù)，則x=0是函數(shù)g(x)=J的()

X

(A)跳躍間斷點(diǎn).(B)可去間斷點(diǎn).

(C)無(wú)窮間斷點(diǎn).(D)振蕩間斷點(diǎn).

(2)如圖，曲線(xiàn)段方程為y=/(x),磁f(x)在區(qū)間［0,上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則定積分

等于()

(A)曲邊梯形A8。。面積.(B)梯形A3。。面積.

(C)曲邊三角形ACO面積.(D)三角形AC。面積.

(3)已知/(x,y)=e'*"v,貝ij

(A)￡'(0,0)，(0,0)都存在

(B)￡'(0,0)不存在，/：(0,0)存在

(C)￡'(0,0)存在，(0,0)不存在

<D)<(0,0),(0,0)都不存在

rrfix24-v2)dF

(4)設(shè)函數(shù)/連續(xù)，若尸(〃,□)=\\J\——dxdy,其中。為圖中陰影部分，則一二()

"丁+/du

(5)設(shè)4為階非0矩陣，E為〃階單位矩陣，若=0,則()

(A)E-A不可逆，E+A不可逆.

(B)七一A不可逆，E+A可逆.

(C)E-A可逆，E+A可逆.

(D)E-A可逆，E+4不可逆.

(12]

(6)設(shè)4=則在實(shí)數(shù)域上域與A合同的矩陣為()

(21J

(-21(2—1)

(A)(B)

U-2jl-l2j

(2n(i-2"|

(C).(D).

(7)隨機(jī)變量X,y獨(dú)立同分布，且X分布函數(shù)為尸(x),則2=max{X,y}分布函數(shù)為()

(A)F2(x).(B)F(x)F(y).

(C)1-[1-F(x)]2.(D)[1-F(x)][l-F(y)].

(8)隨機(jī)變量X?N(0,1),丫?N(l,4)且相關(guān)系數(shù)夕xy=1，則()

(A)P{Y=-2X=(B)P{Y=2X-\}=1.

(O尸{y=—2X+1}=1.(D)尸{Y=2X+1}=1.

二、填空題：9-14小題，每小題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題紙指定位置上.

x2+1,|x|<c

(9)設(shè)函數(shù)/(%)=<2I|在(-8,+8)內(nèi)連續(xù)，則。=______.

同|x|>C

jY4-r3

(10)設(shè)+，則【以x"x=________.

X1+X力

(11)設(shè)。={(x,>)卜2+>2<1},則"(x?-yWxdy=.

D

(12)微分方程盯'+y=0滿(mǎn)足條件)，(1)=1的解是y=.

(13)設(shè)3階矩陣A的特征值為1,2,2,E為3階單位矩陣，則|447—目=.

(14)設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1的泊松分布，則尸{X=EX2}=.

三、解答題：15—23小題，共94分.請(qǐng)將解答寫(xiě)在答題紙指定的位置上.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明

過(guò)程或演算步驟.

(15)(本題滿(mǎn)分10分)

求極限包上.

1。xx

(16)(本題滿(mǎn)分10分)

設(shè)z=z(x,y)是由方程/+/-z=e(x+y+z)所確定的函數(shù)，其中e具有2階導(dǎo)數(shù)且

9’/一1時(shí).

(I)求dz

、/\1/&&)工a”

(II)記〃(x,y)=--------?求人-.

x-y^dxdy)dx

(17)(本題滿(mǎn)分n分)

計(jì)算jjmax(xy,l)dxdy,其中。={(x,y)|04x<2,0Wy<2}.

D

(18)(本題滿(mǎn)分10分)

設(shè)/(x)是周期為2的連續(xù)函數(shù)，

(I)證明對(duì)任意的實(shí)數(shù)有

(II)證明G(x)=［：2/?)—「2/(s)ds力是周期為2的周期函數(shù).

(19)(本題滿(mǎn)分10分)

設(shè)銀行存款的年利率為r=0.05,并依年復(fù)利計(jì)算，某基金會(huì)希望通過(guò)存款A(yù)萬(wàn)元，實(shí)現(xiàn)第一年提

取19萬(wàn)元，第二年提取28萬(wàn)元，…，第n年提取(10+9n)萬(wàn)元，并能按此規(guī)律一直提取卜去，問(wèn)A至少

應(yīng)為多少萬(wàn)元？

(20)(本題滿(mǎn)分12分)

設(shè)九元線(xiàn)性方程組Ax=/?,其中

(I)求證行列式|A|=(〃+l)a"；

(11)4為何值時(shí)，該方程組有唯一解，并求當(dāng);

(111)。為何值時(shí)，方程組有無(wú)窮多解，并求通解。

(21)(本題滿(mǎn)分10分)

設(shè)4為3階矩陣，％,生為A的分別屬于特征值一1,1的特征向量，向量的滿(mǎn)足A%=%+%，

(I)證明4,生，%線(xiàn)性無(wú)關(guān)；

(II)令尸=(4，。2，。3)，求尸7AP.

(22)(本題滿(mǎn)分11分)

設(shè)隨機(jī)變量x與y相互獨(dú)立，x的概率分布為p{x="=；?=-i,o,i),y的概率密度為

,、fl0<y<l

fY(y)=\廿…，記2=乂+丫

10其它

(I)求"zX=(4；

2

(II)求Z的概率密度f(wàn)z(z)-

(23)(本題滿(mǎn)分11分)

__1n

設(shè)X],X2，???，X〃是總體為N(",S)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本.記X=—y%z.,

〃，=1

s2=—!—￥(%,.-X)2,T=X2--s2.

〃T鑿n

(I)證明T是〃