2021屆安徽省皖江名校聯(lián)盟高三上學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)(理)試題(解析版)

2021屆安徽省皖江名校聯(lián)盟高三上學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．函數(shù)定義域和值域分別為、，則=（）A．[-1，3] B．[-1，4] C．[0，3] D．[0，2]【答案】D【解析】先求出函數(shù)的定義域和值域,得到集合、，再求交集即可.【詳解】解:要使函數(shù)有意義,則解得，故；由，所以.故.則選:D【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的定義域和值域的求法,考查集合的交集運(yùn)算,是簡單題.2．復(fù)數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由復(fù)數(shù)除法計(jì)算出，然后由復(fù)數(shù)的定義寫出可得其差．【詳解】由已知，，，則，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法，復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題．3．下面兩個(gè)圖是2020年6月25日由國家衛(wèi)健委發(fā)布的全國疫情累計(jì)趨勢圖，每圖下面橫向標(biāo)注日期，縱向標(biāo)注累計(jì)數(shù)量.現(xiàn)存確診為存量數(shù)據(jù)，計(jì)算方法為：累計(jì)確診數(shù)-累計(jì)死亡數(shù)-累計(jì)治愈數(shù).則下列對(duì)新冠肺炎敘述錯(cuò)誤的是（）A．自1月20日以來一個(gè)月內(nèi)，全國累計(jì)確診病例屬于快速增長時(shí)期B．自4月份以來，全國累計(jì)確診病例增速緩慢，疫情擴(kuò)散勢頭基本控制C．自6月16日至24日以來，全國每日現(xiàn)存確診病例平緩增加D．自6月16日至24日以來，全國每日現(xiàn)存確診病例逐步減少【答案】D【解析】根據(jù)圖象逐項(xiàng)分析即可.【詳解】由圖一可知A，B均正確.由圖二數(shù)據(jù)計(jì)算得16的現(xiàn)存確診病例為，同理可計(jì)算18、20、22、24日現(xiàn)存確診分別為346，383，441，473，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生合情推理的能力，數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.4．已知，，，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可；【詳解】解：由已知，，，．，故，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.5．疫情期間部分中小學(xué)進(jìn)行在線學(xué)習(xí)，某市教育局為了解學(xué)生線上學(xué)習(xí)情況，準(zhǔn)備從10所學(xué)校（其中6所中學(xué)4所小學(xué)）隨機(jī)選出3所進(jìn)行調(diào)研，其中中學(xué)與小學(xué)同時(shí)被選中的概率為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題意，得到總的基本事件個(gè)數(shù)，以及滿足條件的基本事件個(gè)數(shù)，基本事件的個(gè)數(shù)比，即為所求概率.【詳解】從10所學(xué)校（其中6所中學(xué)4所小學(xué)）隨機(jī)選出3所，所包含的基本事件共個(gè)，其中中學(xué)與小學(xué)被選中包含個(gè)基本事件，故所求概率為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查求古典概型的概率，熟記概率計(jì)算公式即可，屬于基礎(chǔ)題型.6．函數(shù)的部分圖象大致為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】根據(jù)函數(shù)的解析式，求得，得到為奇函數(shù)，再結(jié)合，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，可得函數(shù)的定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又由，即，故為奇函數(shù)，排除A、B；又由，排除D.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)函數(shù)圖象的識(shí)別，其中解答中熟練應(yīng)用函數(shù)的奇偶性，以及特殊點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行求解是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力.7．祖沖之是中國古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，他將圓周率推算到小數(shù)點(diǎn)后第七位.利用隨機(jī)模擬的方法也可以估計(jì)圓周率的值，如圖程序框圖中rand()表示產(chǎn)生區(qū)間上的隨機(jī)數(shù)，則由此可估計(jì)的近似值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】在上產(chǎn)生1000對(duì)隨機(jī)數(shù)得到點(diǎn)，當(dāng)時(shí)將點(diǎn)的個(gè)數(shù)累加得到輸出值，即可類比為在一個(gè)邊長為1的正方形中隨機(jī)產(chǎn)生點(diǎn)，點(diǎn)在以正方形的兩邊為半徑的扇形內(nèi)的概率等于扇形面積與正方形面積之比即可求的近似值；【詳解】由程序框圖可知，落在正方形內(nèi)的1000個(gè)點(diǎn)，其中落在圓內(nèi)有(如圖)，所以，故，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了程序流程圖、概率，由程序流程圖理解應(yīng)用隨機(jī)數(shù)的幾何含義，結(jié)合概率與幾何圖形的面積關(guān)系求的近似值；8．已知雙曲線：的右頂點(diǎn)為，任意一條平行于軸的直線交于，兩點(diǎn)，總有，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，，由可得，對(duì)于或恒成立，可得，即可得答案；【詳解】設(shè)，，則，又，，，由已知，則，即，對(duì)于或恒成立，故，即，所以.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓離心率的求解，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力.9．從一張圓形鐵板上剪下一個(gè)扇形，將其制成一個(gè)無底圓錐容器，當(dāng)容器體積最大時(shí)，該扇形的圓心角是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，，體積為，求出，表示出體積表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值，得到結(jié)果.【詳解】解:設(shè)圓錐底面半徑為，高為，則，圓錐的體積為，，得，此時(shí)圓錐體積最大.故，由，故選:D【點(diǎn)睛】本題考查圓錐與扇形展開圖的關(guān)系體積的計(jì)算考查計(jì)算能力，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，必須注意函數(shù)的單調(diào)性與最值的關(guān)系.10．?dāng)?shù)列滿足：，，若數(shù)列的前項(xiàng)和，則最小為（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【解析】根據(jù)，，令m=1,得到，再利用累加法求得，進(jìn)而得到，再利用裂項(xiàng)相消法求解.【詳解】因?yàn)?，，所以，所以，所?，所以，所以，，因?yàn)?，所以，解得，故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查累加法求通項(xiàng)公式等差數(shù)列求和公式以及裂項(xiàng)相消法求和，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.11．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．的最小正周期為 B．的最大值為C．的圖象關(guān)于對(duì)稱 D．的圖象關(guān)于對(duì)稱【答案】B【解析】根據(jù)題意函數(shù)不能簡化為的形式,代入特殊點(diǎn)來驗(yàn)證可知的最小正周期不為,的圖象也不關(guān)于對(duì)稱圖象不關(guān)于對(duì)稱,結(jié)合導(dǎo)數(shù)可得的最大值為.【詳解】解:因?yàn)楹瘮?shù)不能簡化為的形式,故最小正周期需要代入特殊點(diǎn)來驗(yàn)證.，，，故的最小正周期不為,故A錯(cuò)誤;的圖象也不關(guān)于對(duì)稱,故D錯(cuò)誤;因?yàn)?，，故C錯(cuò)誤.令,即或,當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)，時(shí),當(dāng)，時(shí)，，故,,故B正確.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的對(duì)稱性和周期性,考查函數(shù)的最值,屬于中檔題.12．在棱長為1的正方體中，，分別為棱，的中點(diǎn).平面過，兩點(diǎn)，且.設(shè)平面截正方體所得截面面積為，且將正方體分成兩部分的體積比為，有如下結(jié)論：①，②，③，④，則下列結(jié)論正確的是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【答案】D【解析】先證明平面即平面.截面為等腰梯形，結(jié)合，，，高，可得面積.再根據(jù)幾何體為棱臺(tái)，結(jié)合上底面積，下底面積，高，可得體積，則，即可得出.從而得出正確答案.【詳解】解:取的中點(diǎn)，連接，，，，，可得，則，故平面即平面.故截面為等腰梯形，可得，，，高為，其面積.故①錯(cuò)誤,②正確.另幾何體為棱臺(tái)，上底面積，下底面積，高，故體積，另一部分體積，所以.故③錯(cuò)誤,④正確.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查幾何體的面積以及體積的運(yùn)算,考查空間思維和運(yùn)算能力,屬于中檔題.二、填空題13．曲線在處的切線方程為______.【答案】【解析】由題意知切點(diǎn)為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線的斜率，即可得切線方程；【詳解】，.又曲線過點(diǎn)，故切線方程為.故答案為：；【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，首先由切點(diǎn)在曲線上求點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而由該點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求斜率，寫出切線方程，屬于簡單題；14．已知單位向量，滿足，則與的夾角為________.【答案】【解析】由單位向量，滿足，化簡得，再結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【詳解】由單位向量，滿足，可得，又因?yàn)椋傻?，設(shè)向量與的夾角為，且，因?yàn)?，所?故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算，以及向量的夾角公式的應(yīng)用，其中解答中熟記向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力.15．由數(shù)列和的公共項(xiàng)組成的數(shù)列記為，已知，，若為遞增數(shù)列，且，則=________.【答案】352【解析】由已知，設(shè)，逐一推導(dǎo)下一項(xiàng)有等量關(guān)系的和的值，得到，從而求出時(shí)和的值.【詳解】由已知，設(shè)，即，，不是正整數(shù)，所以不是公共項(xiàng).，故，因?yàn)?，所以，，，，故?dāng)時(shí)，，，故.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查等差和等比數(shù)列的應(yīng)用，考查遞推關(guān)系的應(yīng)用，考查學(xué)生的分析能力和推導(dǎo)能力，屬于難題.16．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，：過點(diǎn)且與相切，軸被所截得的弦長為4，則=________.【答案】1或3【解析】根據(jù)題意，得到圓心在拋物線上，推出；再由拋物線的定義，得到；聯(lián)立求出；再由圓的性質(zhì)，由題中條件，得出，進(jìn)而可求出，從而可求出.【詳解】由已知得圓心在拋物線上，所以；又拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，則，所以，因?yàn)檩S被所截得的弦長為，根據(jù)圓的性質(zhì)：圓心到弦的距離的平方，與弦長一半的平方之和，等于半徑的平方；所以，故.所以，即，所以或，故或.故答案為：1或3.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的方程與拋物線定義的應(yīng)用，考查由圓的弦長求參數(shù)，屬于?？碱}型.三、解答題17．在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，，.（1）求；（2）若邊上中線，求的周長.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)題設(shè)條件，利用正弦定理和三角形內(nèi)角和定理化簡得，求得，再結(jié)合兩角和的余弦公式，即可求解.（2）由（1）和正弦定理求得，設(shè)，再由余弦定理，列出方程求得的值，進(jìn)而求得三角形的周長.【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理得，由，則，代入上式得，又由，可得，故，所以，又因?yàn)?，所?（2）由（1）知，，可得由正弦定理，可得，設(shè)，在中，由余弦定理得，即，整理得，解得，所以，所以的周長為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解決三角形的邊角關(guān)系，熟練掌握定理、合理運(yùn)用是解本題的關(guān)鍵．通常當(dāng)涉及兩邊及其中一邊的對(duì)角或兩角及其中一角對(duì)邊時(shí)，運(yùn)用正弦定理求解；當(dāng)涉及三邊或兩邊及其夾角時(shí)，運(yùn)用余弦定理求解.18．如圖，在三棱錐中，，，側(cè)面底面.（1）求證：是直角三角形；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）應(yīng)用面面垂直及線面垂直的性質(zhì)證明線線垂直，即可證是直角三角形；（2）結(jié)合，過作垂足為，過作，故；、、兩兩垂直.構(gòu)建以，，所在直線分別為，，軸的空間直角坐標(biāo)系并寫出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用空間向量求二面角余弦值；【詳解】（1）由面面，面面=，，面，故面，又面，所以.又，，有面，又面，所以，故是直角三角形.（2）過作垂足為，過作，故；由（1）知，、、兩兩垂直.以，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，在中可得，，，故，，，，設(shè)平面的法向量為，則，.所以，取，，，故又平面的法向量為，.二面角余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了證明線線垂直的方法，并應(yīng)用空間向量求二面角的余弦值，注意作出必要的輔助線構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系；19．已知某工廠有甲乙兩條互不影響的生產(chǎn)線，同時(shí)生產(chǎn)一種內(nèi)徑為的零件.為了對(duì)它們生產(chǎn)質(zhì)量進(jìn)行檢測，分別從生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取部分零件繪成頻率分布直方圖如下：（1）從直方圖中數(shù)據(jù)均值說明哪條生產(chǎn)線加工零件精確度更高?（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）（2）記加工的零件內(nèi)徑尺寸落在[25.38，25.42）的零件為一等品，零件內(nèi)徑尺寸落在[25.42，25.50]的為二等品，零件內(nèi)徑尺寸落在[25.30，25.38）的為三等品，每個(gè)零件一等品、二等品和三等品的利潤分別為200元、100元和50元.①從兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的零件中分別取一個(gè)零件，求甲生產(chǎn)線上零件精度等級(jí)高于乙生產(chǎn)線上零件等級(jí)的概率；②現(xiàn)有10000個(gè)零件需要加工，其中甲生產(chǎn)線加工個(gè)，乙生產(chǎn)線加工個(gè)，以工廠利潤的期望為決策依據(jù)，在和之中選其一，應(yīng)選哪種方案使工廠的利潤最大?【答案】（1）乙生產(chǎn)線；（2）①；②選擇方案.【解析】（1）根據(jù)圖中數(shù)據(jù)算出甲、乙生產(chǎn)線零件內(nèi)徑的均值即可；（2）①根據(jù)圖中數(shù)據(jù)得出甲、乙生產(chǎn)線零件分別為一等品、二等品和三等品的概率，然后可算出答案；②根據(jù)條件算出甲、乙生產(chǎn)一個(gè)零件的利潤的均值，然后分別算出和的利潤，二者作比較可得到答案.【詳解】（1）甲生產(chǎn)線零件內(nèi)徑落在[25.30，25.34），[25.34，25.38），[25.38，25.42），[25.42，25.46），[25.46，25.50]的頻率分別為：0.10，0.10，0.35，0.25，0.所以內(nèi)徑尺寸均值為：乙生產(chǎn)線零件內(nèi)徑落在[25.30，25.34），[25.34，25.38），[25.38，25.42），[25.42，25.46），[25.46，25.50]的頻率分別為：0.10，0.20，0.30，0.30，0.10.所以內(nèi)徑尺寸均值為：從上面均值說明乙生產(chǎn)線生產(chǎn)的零件的精度更高一些.（2）①甲生產(chǎn)線零件分別為一等品、二等品和三等品的概率分布如下：甲生產(chǎn)零件等級(jí)一等品二等品三等品概率0.350.450.20乙生產(chǎn)線零件分別為一等品、二等品和三等品的概率分布如下：乙生產(chǎn)零件等級(jí)一等品二等品三等品概率0.30.400.30所以甲生產(chǎn)線上零件精度等級(jí)高于乙生產(chǎn)線上零件等級(jí)的概率為：②甲生產(chǎn)一個(gè)零件的利潤分布列為：甲生產(chǎn)一個(gè)零件利潤（單位：元）20010050概率0.350.450.20利潤均值為：（元）乙生產(chǎn)一個(gè)零件的利潤分布列為：乙生產(chǎn)一個(gè)零件利潤（單位：元）20010050概率0.300.400.30利潤均值為：（元）當(dāng)時(shí)，工廠利潤為：（元）；當(dāng)時(shí)，工廠利潤為：（元）.因?yàn)椋十?dāng)時(shí)工廠利潤最大.【點(diǎn)睛】本題主要考查的是頻率分布直方圖和分布列的期望，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.20．在中，已知，，直線與的斜率之積為，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）設(shè)為曲線上一點(diǎn)，直線與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，求證：直線過定點(diǎn).【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，結(jié)合已知條件即有，，進(jìn)而求得曲線的方程；（2）設(shè)與交點(diǎn)，即有:，:，由、在曲線上聯(lián)立曲線的方程可得、坐標(biāo)，即得直線的方程，可證過定點(diǎn)；【詳解】(1)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線與的斜率分別為，，，由已知得:，化簡得，故曲線的方程為:.(2)設(shè)直線與交點(diǎn)為，則直線的方程為:由得：設(shè)，則，即，同理，的方程為:與橢圓方程聯(lián)立，消去整理得設(shè)，則，即，當(dāng)時(shí)，直線的斜率為:，此時(shí)直線的方程為:化簡得：，故直線過定點(diǎn).當(dāng)時(shí)，可得，所以直線也過定點(diǎn).綜合上述：直線過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查了已知直線關(guān)系求交點(diǎn)的軌跡方程，根據(jù)直線交點(diǎn)橫坐標(biāo)及它們與曲線的位置關(guān)系證明直線過定點(diǎn)問題；21．已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；（2）.【解析】（1）的定義域?yàn)椋髮?dǎo)得到，然后分和兩種情況討論求解.（2）將在區(qū)間內(nèi)恒成立，轉(zhuǎn)化為在區(qū)間內(nèi)恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)法求其最小值即可.【詳解】（1）的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由得.若，，單調(diào)遞增；若，，單調(diào)遞減綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（2）等價(jià)于在區(qū)間內(nèi)恒成立.令，令，則.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減：當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；所以，即.又，所以.所以當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.因?yàn)樵趨^(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，，，所以存在，使得成立，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)