常微分方程的消元法和首次積分法

常微分方程的消元法和首次積分法1目前一頁\總數(shù)二十一頁\編于二十二點(diǎn)一、微分方程組的消元法

將一階微分方程組：中的未知函數(shù)只保留一個(gè)，消去其他未知函數(shù)，得到一個(gè)未知函數(shù)的高階方程，其他未知函數(shù).這種方法常用于二個(gè)或三個(gè)先求出這個(gè)未知函數(shù)，然后再由其他方程求出方程構(gòu)成的常系數(shù)微分方程組的求解.目前二頁\總數(shù)二十一頁\編于二十二點(diǎn)例1求解方程組解保留,消去.由第二個(gè)方程解出，得對(duì)上式兩邊關(guān)于求導(dǎo),得代入原方程組的第一個(gè)方程得:目前三頁\總數(shù)二十一頁\編于二十二點(diǎn)二階常系數(shù)線性齊次方程,通解為故原方程組的通解為其中是任意常數(shù).目前四頁\總數(shù)二十一頁\編于二十二點(diǎn)一階線性非齊次方程的通解為出現(xiàn)了三個(gè)任意常數(shù)因此為避免出現(xiàn)增解，在求出一個(gè)未知函數(shù)后，是一個(gè)多余的任意常數(shù).不要再用求積分的方法來求其他的未知函數(shù).如果?目前五頁\總數(shù)二十一頁\編于二十二點(diǎn)例2求解方程組解將第一個(gè)方程求導(dǎo)得代入第二個(gè)方程得不顯含自變量t再由第一個(gè)方程得目前六頁\總數(shù)二十一頁\編于二十二點(diǎn)二微分算子與線性微分方程組

這里介紹微分算子D

及其用消元法解線性微分方程組的應(yīng)用.設(shè)是定義在某區(qū)間I上的具有n階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，微分算子D

被定義為相應(yīng)地定義算子多項(xiàng)式：目前七頁\總數(shù)二十一頁\編于二十二點(diǎn)L是線性算子!例如設(shè)則目前八頁\總數(shù)二十一頁\編于二十二點(diǎn)微分算子法求解常系數(shù)線性微分方程組.僅依賴于變量的一個(gè)高階微分方程……目前九頁\總數(shù)二十一頁\編于二十二點(diǎn)解:設(shè)例3求解方程組二階線性常系數(shù)非齊次微分方程通解為目前十頁\總數(shù)二十一頁\編于二十二點(diǎn)代入原方程組的第一個(gè)方程中得一階線性非齊次微分方程通解為代入原系統(tǒng)的第二個(gè)方程中得目前十一頁\總數(shù)二十一頁\編于二十二點(diǎn)積分可以得到未知函數(shù)組合形式的解，三微分方程組的首次積分法經(jīng)適當(dāng)組合化為一個(gè)可積分的微分方程.首次積分法是將方程組這個(gè)方程的未知函數(shù)可能是方程組中幾個(gè)未知函數(shù)組合形式.該方程為一個(gè)原方程組的首次積分.目前十二頁\總數(shù)二十一頁\編于二十二點(diǎn)解將兩個(gè)方程相加得以作為一個(gè)未知函數(shù)，對(duì)上式積分得原方程組的一個(gè)首次積分.再將兩個(gè)方程相減得例4求解方程組這里是任意常數(shù).解出未知函數(shù),原方程組通解為原方程組的另一個(gè)首次積分.目前十三頁\總數(shù)二十一頁\編于二十二點(diǎn)解把方程組中的第一個(gè)方程乘以第二個(gè)方程乘以然后兩式相加得把看作未知函數(shù),積分得例5求解方程組目前十四頁\總數(shù)二十一頁\編于二十二點(diǎn)再利用原方程可得另一個(gè)首次積分采用極坐標(biāo)原微分方程的通解為目前十五頁\總數(shù)二十一頁\編于二十二點(diǎn)考慮一般的階微分方程組其中對(duì)是連續(xù)可微的.設(shè)連續(xù)可微，且不是常數(shù)，使成為與t無關(guān)的常數(shù),此常數(shù)與所取解有關(guān),則稱為方程組的一個(gè)首次積分.把方程組任一解代入目前十六頁\總數(shù)二十一頁\編于二十二點(diǎn)設(shè)微分方程組有個(gè)首次積分如果在某區(qū)域內(nèi)它們的Jacobi行列式則稱它們?cè)趨^(qū)域G內(nèi)為互相獨(dú)立.目前十七頁\總數(shù)二十一頁\編于二十二點(diǎn)定理1

設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)是方程組的首次積分的充要條件為連續(xù)可微，且它不是常數(shù)，則檢驗(yàn)一個(gè)函數(shù)是否為方程組的首次積分?目前十八頁\總數(shù)二十一頁\編于二十二點(diǎn)定理2

若已知方程組的一個(gè)首次積分，則可把方程組求解問題轉(zhuǎn)化為含n-1個(gè)方程的方程組的求解問題.定理3

若方程組有n個(gè)互相獨(dú)立的首次積分則可由它們得到微分方程組的通解.為了求解方程組,只需求出它的n個(gè)互相獨(dú)立的首次積分就可以了.事實(shí)上,前面例題給出的首次積分是互相獨(dú)立的.因此由它們確定出的解都是通解.目前十九頁\總數(shù)二十一頁\編于二十二點(diǎn)例6利用首次積分求解方程組解兩個(gè)方程相除得