典型混沌電路及其分析

典型混沌電路及其分析第一頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五§1混沌電路綜述

一、電路中混沌現象發(fā)現與研究的歷史

電路中的混沌現象早在20世紀20年代就被發(fā)現，前面曾經提到的范德坡的工作就涉及到電路中的混沌現象。實際上，范德坡所處的時代正是建立電路理論基礎的時代，當時的科學家急需建立振幅穩(wěn)定與頻率穩(wěn)定的振蕩電路，從而產生穩(wěn)定的電磁波。穩(wěn)定振蕩的數學模型是極限環(huán)，當時的理論基礎還不能夠完全滿足工程技術的需要，必須由電子工程師一方面進行工程技術設計，一方面完善數學基礎理論。極限環(huán)的數學基礎理論是微分方程理論，而且還是非線性的微分方程理論，而非線性的微分方程很容易產生混沌，范德坡、李納德等科學家就是在這樣的情況進行研究的。第二頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五

由于當時混沌問題的研究歷史不成熟，就把電路中出現的混沌現象認為是一種尚未認真研究的另一種現象，是一種需要消除的壞現象，起碼是要暫時回避的現象，這就是當時科學家的態(tài)度。這個現象不僅在電子學領域中存在，而且在其它學科領域中也存在，例如數學學科中的龐加萊。從這里可以看出，電子學的發(fā)展歷史與其它學科的發(fā)展歷史是密切相關的，是互相推動與互相制約的，這也正是20世紀上半葉電子科學技術的大背景，是電子學從物理學的電磁學中獨立出來并向信息科學發(fā)展的大背景。從這里還可以看出，電子學中的混沌現象研究與應用研究必定會蓬勃發(fā)展起來，這是歷史的必然。

再回過頭來看頻率穩(wěn)定性問題的研究。由于歷史時代要求頻率的穩(wěn)定，它與當時的其它技術的共同發(fā)展，處于主流地位，使得線性電子技術以巨大的勢頭形成人類社會的重要產業(yè)，并將人類文明推向信息化歷史時代。相對說來，非線性電子學在相當長的時期內處于緩慢發(fā)展的時期?！笆瓴圾Q，一鳴驚人”，1983年蔡少棠提出的蔡氏混沌電路震驚了電子學界，許多電子工作者投入了精力予以研究。第三頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五1990年，混沌同步電路的研究再次把非線性電路研究推向一個高潮，這是因為它的重要意義特別是它極有可能用于保密通信與軍事目的受到重視。神經網絡電路、分形編碼、混沌測量電路等為非線性電路大家庭增加了許多新成員。到現在，人們提出了許許多多的混沌電路，各種混沌電路文獻浩如煙海，幾乎每年約數千篇的論文問世，技術上也不斷出現新突破。非線性電路目前處于穩(wěn)定、健康、迅速發(fā)展的時期。第四頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五二、電路系統(tǒng)動態(tài)特性分類

根據分類目的的不同，電路系統(tǒng)分類的形式也很不同?，F在按照電路動態(tài)特性分類，它和電路狀態(tài)方程的階數有一定的關系。電路系統(tǒng)的變量是電壓、電流、電荷、電磁鏈，控制變量是電路元件電阻、電容、電感等參數。從能量的角度看，電路系統(tǒng)中有的元件（包括分布參數）從電路系統(tǒng)中吸收能量，變成熱能或輻射能等，有的元件從電路工作電源吸收能量，儲存或消耗在電路系統(tǒng)中，電路系統(tǒng)與外界進行著能量的交換。從信息的角度看，電路系統(tǒng)與外界一般進行信息交換，輸入信息與輸出信息。從物質的角度看，電路系統(tǒng)與外界一般不進行物質交換。物理學中，與外界進行著物質、能量交換的系統(tǒng)叫做開放系統(tǒng);與外界不進行物質、能量交換的系統(tǒng)叫做封閉系統(tǒng);與外界僅進行能量交換的系統(tǒng)叫做耗散系統(tǒng)，因此電路系統(tǒng)是耗散系統(tǒng)。第五頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五

一般地說，電路系統(tǒng)更關心的是信息交換，因而對于能量交換的關心程度相對偏少，有時侯會忽略某些重要問題，應該引起注意。現在討論電路系統(tǒng)能量交換中對于信息狀態(tài)的影響，并以電路系統(tǒng)儲能元件個數及有無信號輸入進行討論。將不包含隨時間變化的激勵信號的電路叫做自治電路，將包含隨時間變化的激勵信號的電路叫做非自治電路。以下討論中我們把激勵信號分成“簡單”的信號和“復雜”的信號，“簡單”的信號如正弦波信號或者其它周期信號，“復雜”的信號如混沌信號。1、零階電路—無儲能元件電路，即純電阻電路

純電阻電路用代數方程描述，由于純電阻電路是時不變元件，所滿足的方程與時間無關，不需要列寫微分方程，僅列寫代數方程就夠了，故純電阻電路是零階電路微分方程（非微分方程）。對于零階電路微分方程，分為線性零階電路微分方程與非線性零階電路微分方程，還分為自治零階電路微分方程與非自治零階電路微分方程，兩兩構成四種零階電路微分方程。第六頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五零階電路微分方程不存在電路運動問題，但是存在電路求解問題，這些問題研究成熟，方法有疊加原理、代文寧定理、諾頓定理、電壓源電流源等效變換方法等。自治零階電路不會產生新的動態(tài)特性。2、一階微分電路—僅含有一個儲能元件的電路電路僅有零輸入響應與零狀態(tài)響應問題，是研究現代電子電路的起步電路，一般電路分析教科書中都有詳細的討論。3、二階微分電路—含有二個儲能元件的電路對于自治線性二階微分電路，動態(tài)特性為衰減振蕩或增幅振蕩，不穩(wěn)定。對于自治非線性二階微分電路，電路可以產生極限環(huán)，屬于穩(wěn)定振蕩電路。對于非自治非線性二階微分電路，能夠產生混沌，如杜芬方程電路，圓周映射也屬于這種情況，并且導致符號動力學的研究。對于自治非線性二階微分電路，不能夠產生混沌。第七頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五4、三階微分電路—含有三個儲能元件的電路

三階非線性微分電路已經復雜化，能夠產生混沌。例如蔡氏電路、洛倫茨方程電路等，這還是自治電路的情況。對于非自治電路，還能產生超混沌與亞超混沌。5、三階以上微分電路運動特性更復雜,可能出現多級超混沌現象。將以上各種情況整理于下表。第八頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五表4-1電路方程的階、自治與非自治、線性與非線性的形態(tài)零階自治電路一階自治電路零階非自治電路二階自治電路一階非自治電路三階自治電路二階非自治電路三階及三階以上自治與非自治電路線性非線性線性非線性線性非線性線性非線性線性非線性平衡點√√√√√√√√√√周期極限環(huán)√√√√√√√擬周期極限環(huán)√√√混沌√√亞超混沌√超混沌√噪聲√√√√√√√√√√由上表可以看出1、若電路的階數相同，則n階非自治電路與n+1階自治電路形態(tài)相同。2、盡管非線性的n階非自治電路及n+1階自治電路與線性的n+1階非自治電路及n+2階自治電路有許多相似之處，但是線性電路永遠不能產生混沌。第九頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五三、混沌電路的定義

目前混沌電路的定義有多種形式，這里采用系統(tǒng)的初始激發(fā)已經衰減到零時的穩(wěn)態(tài)響應的頻率特性來定義。穩(wěn)態(tài)響應的頻率特性粗分有下列4種：1、噪聲響應：系統(tǒng)輸出為噪聲，連續(xù)頻譜輸出。

2、靜態(tài)響應：在狀態(tài)相空間，所有軌道趨于一個平衡點。

3、同頻周期響應、非同頻周期響應與準周期響應：系統(tǒng)輸出與輸入信號相同頻率的周期波形，即ωo=ωi;系統(tǒng)輸出與輸入信號正整數倍頻率的周期波形，ωo=nωi，n為正整數;系統(tǒng)輸出與輸入信號真分數倍頻率的周期波形，即ωo=pωi,p為真分數;系統(tǒng)輸出與輸入信號基頻不可約分的周期分量波形。

4、混沌電路：與以上電路都不同的輸出，定義如下：一個由確定性運動方程所描述的確定性電路，由直流或確定性輸入信號所激勵，其輸出波形中包含一段或多段連續(xù)頻譜，那么稱此電路為混沌電路。第十頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五四、幾種混沌電路之間的關系1、混沌電路動態(tài)特性的共同點任何混沌電路的相圖都落在某一個奇異吸引子之中，前面幾節(jié)討論的幾個吸引子是在三維相空間中運動。相圖具有以下幾個特點：（1）一個相圖中的相軌線只有一根，無頭無尾，（平衡點是不動點，應該認為是無窮時間，并且實際上絕對的不動點是不存在的。表示運動無休止，永不重復，永不相交。（2）龐加萊截面圖是分形圖，有精細結構，無限復雜，具有自相似性。（3）奇異吸引子有不穩(wěn)定的平衡點、吸引盆、吸引域、分形面。其中我們感興趣的是，經常是一個不穩(wěn)定焦點，如洛斯勒吸引子;兩個不穩(wěn)定焦點，如蔡氏電路、杜芬方程電路、洛倫茨方程電路的吸引子等;少數是多個不穩(wěn)定焦點。第十一頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五2、幾個混沌電路的分組、比較與相互關系（1）從線性LRC串聯電路與LRC諧振電路演變而來的非線性電路。

線性LRC串聯電路與線性LRC諧振電路滿足的微分方程分別是

范德坡方程是

杜芬方程是對照線性LRC串聯電路與范德坡方程，范德坡方程是將線性LRC串聯電路一階導數的正系數2μ改為μ（x2-1）,使得當x>1時為衰減振蕩，當x<1時為增幅振蕩，從而產生極限環(huán)。范德坡方程的非線性項是從一階導數的系數中引入的。第十二頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五對照線性LRC諧振電路與杜芬方程，實質是僅僅多了一項ax3，導致線性的單峰諧振幅頻曲線成為多峰諧振幅頻曲線，出現了混沌。（2）圓周映射是雙頻非線性耦合，從電路構成來看，它與杜芬方程電路是完全相同的，實驗電路都是LC振蕩器。（3）蔡氏電路洛淪茲方程電路第十三頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五洛斯勒方程電路

這三個方程電路是一組電路，是三階微分方程電路。蔡氏電路的非線性項是五段折線，能用x的1、3、5、7、9等次多項式擬合。洛淪茲方程的非線性項是xz與xy，洛斯勒方程的非線性項是xz。根據這樣一來的規(guī)律，我們也可以自己構造出形形色色的非線性電路，實現混沌電路的靈活設計。（4）邏輯斯蒂映射

對應的電路是最普遍的混沌電路，幾乎所有的混沌電路中都有邏輯斯蒂映射關系，例如蔡氏電路就是這樣的典型電路。第十四頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五§2

典型蔡氏混沌電路分析一、典型蔡氏電路結構與狀態(tài)方程

1983年，美國貝克萊(Berkeley)大學的蔡少棠(Leon.O.Chua)教授發(fā)明了蔡氏電路(Chua’sCircuit)，蔡氏電路因其簡潔性和代表性而成為研究非線性電路中混沌的典范。蔡氏電路是由線性電阻﹑電容、電感和非線性“蔡氏二極管”組成的三階自治電路，它滿足以下一種能夠產生混沌的條件：（a)非線性元件不少于一個；（b)線性有效電阻不少于一個；（c)儲能元件不少于三個，蔡氏電路符合以上標準，如圖4-1。一個具體的典型蔡氏電路如圖4-2所示。圖4-1蔡氏電路方框圖第十五頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五圖4-2典型的蔡氏電路另一種典型的蔡氏電路如圖4-3所示，也是經常被討論的一個電路。圖4-3另一種典型的蔡氏電路第十六頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五蔡氏電路狀態(tài)方程為：其中，或VC1、VC2和iL

分別是元件C1、C2的兩端電壓及通過電感的電流，G是可調阻抗器的電導，G=1/RN是等效非線性電阻的電導。上述三個方程是一個等式右端不顯含時間的常微分方程組，系統(tǒng)狀態(tài)由VC1、VC2、iL三個狀態(tài)變量描述，構成三維相空間。由于G(VC1）是非線性電阻函數，可以用多項式函數展開，含有高次項，所以在方程組中的第一個方程是非線性方程。第十七頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五二、蔡氏電路電壓、電流圖形分析1、波形圖分析典型蔡氏電路圖4-2、圖4-3的電壓、電流波形呈現復雜的運動形態(tài)，處于無休止的運動，也不是周期性的運動，其中V1與IL在兩個正、負數值之間跳來跳去，波形相同而極性相反；V2在零附近無規(guī)則地變化，如圖4-4所示。(a)V1波形(b)V2波形(c)IL波形圖4-4典型蔡氏電路V1、V2與IL信號輸出波形2、相圖分析第十八頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五蔡氏電路的相圖是V1-V2-IL三維空間的相軌跡流線圖，在V1-V2、V1-IL、V2-IL三個相平面的透影如圖4-5(a)、(b)、(c)所示，將3個相圖畫在一起并用立體圖的形式表示則見圖4-5(d)。由相圖清楚可見，相圖軌線在三維相空間中圍繞兩個點旋繞并在這兩個點之間跳來跳去，永不閉合，運動是無周期的。蔡氏電路的這一個運動形態(tài)被蔡氏叫做“雙渦旋”，因為它的相圖很象兩個靠近的旋渦。圖4-5(e)是三維相圖的形象化畫法。(a)Vc1~Vc2平面相圖(b)Vc1~IL平面相圖(c)Vc2~iL平面相圖第十九頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五

(d)三維相圖產生的三個平面相圖(e)三維相圖刻畫圖4-5典型蔡氏電路雙渦旋輸出相圖三、蔡氏電路元件參數對運動形態(tài)的影響第二十頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五

蔡氏電路的運動形態(tài)因元件參數值的不同而有不同的拓撲性質，上述典型蔡氏電路的運動形態(tài)僅僅是一個特例，可以把電路元件參數值看作控制參數而使蔡氏電路工作在不同的拓撲結構狀態(tài)?，F在以其中的線性電阻R為例說明。R兩端分別是線性元件與蔡氏二極管，R將這二者連接。在線性元件C2、L端，是非耗能元件（儲能元件），蔡氏二極管是放能元件，只有R是耗能元件。將R的參數為控制變量進行討論，為了使得討論過程方便，將電阻R從大到小的順序進行討論，使用圖4-2的電路參數，重點討論R在1.298kΩ-1.92kΩ這一范圍的狀態(tài)。先考慮R很大的情況，即R>1.92kΩ，例如R為100kΩ，電路狀態(tài)變化中V1與V2相圖為穩(wěn)定焦點，呈蝌蚪形，為衰減振蕩，這就是不動點。R逐漸減小至1.911K時，等幅振蕩。R逐漸減小至1.910K時，增幅振蕩開始，L、C2振幅增至3.7V,C1蔡氏二極管振幅增至3.7V,周期1。第二十一頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五

R=1.918~1.820K，周期2；R=1.819~1.818K，周期4；R=1.787K，周期8；R=1.786K，周期16；R繼續(xù)減少至1.750K為單渦旋圖形，這是電路第一次進入單渦旋混沌，為洛斯勒形混沌吸引子。R繼續(xù)減少會出現周期3、周期6、周期12等，并第二次進入單渦旋混沌。這樣繼續(xù)周期-混沌-周期-混沌地演變，直至洛斯勒形混沌結束。

減少至R=1.7165K時演變成雙渦旋圖形?；痉秶荝為1.716K~1.300K。仔細調試R值（在1/10000精度內）并仔細觀察還會發(fā)現，雙渦旋混沌相圖的演變中也有各種“周期”出現，例如R=1.349K時出現“周期5”，R=1.324K時出現“周期3”等。R=1.320K~1.300K,無波形，有一個短暫的不動點。R=1.200K~1.000K時，10.0mS之前不動，之后緩慢增幅振蕩從而達到最大振幅，呈單葉周期。第二十二頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五各種演變的波形圖、相圖等如圖4-6至圖4-7所示。(a)穩(wěn)定焦點,V1波形

(b)周期1,V1波形

(c)周期3,V1波形（d)單渦旋,V1波形(e)雙渦旋,V1波形(f)穩(wěn)定焦點,V2波形(g)周期1,V2波形(h)周期3,V2波形(i)單渦旋,V2波形(j)雙渦旋,V2波形圖4-6蔡氏電路V1與V2信號輸出波形第二十三頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五(a)穩(wěn)定焦點(b)周期1(c)周期2(d)周期4(e)周期8(f)單渦旋混沌(g)周期3(h)周期6(i)雙渦旋混沌(j)雙渦旋中的“周期3”(k)雙渦旋中的“周期5”圖4-7蔡氏電路相圖中看到的混沌演變（V1-V2相圖）第二十四頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五改變蔡氏電路的其它元件參數如L、C1、C2等參數范圍，也能夠得到以上結論。四、蔡氏電路頻譜分析

因為蔡氏電路輸出波形不是周期波形，也不是噪聲，而是一個混沌吸引子。這一特點決定它的頻譜不是離散譜，也不是光滑連續(xù)譜，而是不光滑連續(xù)譜。L、C1點的頻譜在不同電路狀態(tài)下的頻譜圖如圖4-8所示。周期1(R=1.83K)

周期2(R=1.80K)第二十五頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五單渦旋混沌(R=1.75K)雙渦旋混沌(R=1.50K)“周期5”(R=1.3525K)圖4-8頻譜圖第二十六頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五

由上敘述可見，R的變化引起蔡氏電路運動形態(tài)拓撲結構的變化。為了便于看出蔡氏電路中混沌工作區(qū)域范圍在參數中的位置，給讀者一個印象，特將R參數值作為橫坐標予以表示，如圖4-9所示。圖4-9蔡氏電路中混沌工作區(qū)域范圍示意圖

由圖可見，混沌工作區(qū)域范圍在參數中所占的比例很小，在經典電子學中，這個范圍在電子學工作者的經驗中可以完全被忽略，這在其它學科中也是類似的，正是這個原因使得混沌現象在歷史上多次被觀察到而多次被忽視。第二十七頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五五、蔡氏電路仿真方法

對于蔡氏電路仿真方法，盡管有許多種專用軟件可以選擇，但是任何一種專用軟件都遠遠不能滿足我們的要求?，F將常用軟件在蔡氏電路仿真方面的應用情況列表如下:表4-2蔡氏電路仿真軟件特點對比一覽表軟件名稱功能原理圖電路原理圖波形圖相圖頻譜圖龐加萊截面管理界面李氏指數Protel最好最好好無好無無無Pspice好好好好很好無無無EWB好好好很好很好無無無VewSystem好好好很好很好無無無Matlab很好無很好很好編程編程編程很好VB無無編程技巧編程技巧編程編程技巧編程技巧很好VC無無編程技巧編程技巧編程編程技巧編程技巧很好第二十八頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五六、實際電路元件組成的蔡氏電路實驗裝置

注意蔡氏電路中的電感器L，它沒有串聯的一個等效小電阻，而實際電感器L總是等效串聯一個小電阻的，若考慮這個小電阻，這種蔡氏電路就叫做蔡氏振蕩器。由于蔡氏振蕩器分析結果很麻煩，沒有多大的理論價值，一般不予討論。但是電感器L等效串聯小電阻，這就引出幾個問題，第一，若用實際電感器L組成蔡氏電路，必須考慮L小電阻的影響，仿真時要在L上串聯一個小電阻。第二，若要使用無誤差的理想化的L，必須專門設計L，可用運算放大器電路實現，這就是有源電感的應用，具體電路如圖4-10所示，將有源電感單獨畫于圖4-11，并對有源電感值計算如下。第二十九頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五圖4-10有源電感代替無源電感的蔡氏電路圖4-11有源電感具體電路第三十頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五

當Z1、Z3、Z5全為電阻，Z2與Z4中的一個為電容時，電路呈現電感，將R4換成C4，則有

有源電感值計算容易，測量也容易，用雙蹤示波器的兩個探頭分別接V1與V5，可以分別看到有源電感的電壓與電流，當置于李薩如位置時能夠看有源電感的相圖。第三十一頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五

典型蔡氏電路也可以改變它的局部結構而仍然產生混沌輸出，上面的蔡氏振蕩器就是一例。典型蔡氏電路為基礎派生出來的電路很多，例如在C1兩端并聯一個小電容就能改變蔡氏電路的動態(tài)特性。它在保密蔡氏電路中得到應用。如果在線性電阻與C2、L端并聯一節(jié)RC電路，也能產生混沌輸出，并且此混沌更復雜，因為多了一個儲能元件，也就使得微分方程多了一階，這樣的混沌是超混沌。

蔡氏電路的物理電路實驗具有一定的難度，這是由于混沌運動對于電路元件參數的誤差特別敏感，一般說來，蔡氏電路中只要一個電路元件的誤差超過1%就有可能導致整體設計的失敗，這在后面講到的混沌同步實驗中特別重要，要引起足夠的重視。而在線性電子線路中不存在這樣的問題。第三十二頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五

典型蔡氏電路實驗除仔細選擇電子元件外，對于線性電阻R的4-5位精度一定要保證，在初步實驗中可以用2個多圈精密電位器串聯進行細心調試，定型實驗裝置中使用高穩(wěn)定度的電阻器元件R，需要時自行繞制電阻器R。電感器L的小電阻要在焊接之前測量出來并做好記錄以備后查，仿真時要對它進行仿真，電子市場買到的普通電感器一般不能產生混沌輸出，若必須使用電子市場買的普通電感器，可以使用幾只串聯，最好自己專門繞制電感器，并且需要精確測量它的參數。電子市場買到的普通電容器一般離散性很大，也需要精心選擇。第三十三頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五

制作多個相同的混沌電路時，必須保證電路元件的對稱性，可以在購買電子元件時多購買3-10倍的元件，從中選取參數集中的元件組成設計電路。設計混沌電路參數時，盡量使較多的元件具有相同的參數，以利于元件采購，這是混沌電子線路實驗的特點。非線性電路的設計極易失敗，線性電子線路實驗的經驗有很大的局限性。第三十四頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五§3范德坡方程及其電路

一、范德坡微分方程與二階LC振蕩電路

振蕩是自然界普遍存在的一種運動形式，力學、聲學、熱力學、電工學、光學、微觀粒子中普遍存在著各種各樣的振動，其深入研究具有理論意義與應用價值。本節(jié)研究非線性電路的極限環(huán)，它對應電子學中的各種自激振蕩電路，并以二階電路為例進行研究。從電子學一個世紀的歷史來看，范德坡方程電路是最早遇到的能夠產生混沌的電路，范德坡是第一個遇到混沌的科學家。當時范德坡研究的是三相復振蕩器，并且進行振蕩電路實驗研究，當改換振蕩頻率過程時，在耳機中聽到不規(guī)則的振蕩聲音，這正是混沌聲音，范德坡把電路中的混沌現象理解為是噪聲，是暫時沒有消除的電路設計缺陷。第三十五頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五

描述振蕩電路的微分方程是范德坡方程，它是非線性微分方程，在21世紀20年代研究電子管RLC電路時得到。與線性微分方程相比，非線性微分方程的解有兩個新結果，一是能夠產生穩(wěn)定性極限環(huán)，一是能夠產生不確定性混沌。本節(jié)重點討論穩(wěn)定極限環(huán)，也提及如何由穩(wěn)定極限環(huán)轉換成混沌。RLC的電壓電流關系容易導出所需微分方程，只要考慮到電子管電路的非線性，就能得到范德坡非線性微分電路方程?，F在的教科書中的多數振蕩器電路都是這樣的非線性電路，本質就是放大器的限幅非線性。

電子電路中的振蕩電路是耗散結構，它從直流電壓源中獲得電的能量，以儲能元件電容與電感進行電場能與磁場能兩種形式的電能量之間的交換，又通過其中的電阻將電能轉換成非電能的熱能。下面推導從晶體管LC振蕩器得到的范德坡方程。圖4-12(a)是一個簡單LC振蕩器電路，等效交流電路如圖(b)，圖(b)中的電壓源是變壓器耦合電壓，來自電感的耦合電壓。第三十六頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五

將L的串聯等效電阻r變換成并聯形式，用符號R表示，是線性電阻，如圖(c)。將三極管等效為電阻RNL如圖(d)。這個電阻是電壓控制電流型的廣義電阻，是一個非線性負電阻，推導如下：三極管的集電極電壓-基極電壓關系曲線是反向變壓器決定的曲線，如圖(e)所示。三極管的基極電壓-基極電流關系曲線，如圖(f)所示，其中ube1是發(fā)射結導通電壓，對于硅材料約0.65伏。三極管的基極電壓-集電極電流在放大區(qū)是線性關系，飽和后集電極電流不再改變，由直流電壓源的電壓與集電極直流電阻決定，如圖(g)所示。結合圖(f)與圖(g)，得到圖(h)基極電壓-集電極電流關系曲線，整個曲線呈現“S”型，如圖(h)所示。綜合圖(e)與圖(h)得到集電極電壓-集電極電流關系曲線，如圖(i)所示。這就是最終的廣義電阻特性曲線，請與右上角的線性電路比較。為了下面的公式簡化，做坐標平移，將圖(i)坐標原點移動到Q點，如圖(j)所示。第三十七頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五圖4-12范德坡電路廣義電阻推導用圖第三十八頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五

圖4-12(i)中的特性曲線描繪的是本電路中RC諧振時，或者說是集電極負載是純電阻時的晶體管集電極電壓-集電極電流關系曲線，用三次項表示，這一特性曲線可以用如下公式表達：移動坐標原點去掉直流項，如圖(j)所示，上式去掉下標，表達式成為且有g1>0，g3>0由圖4-12（j）建立電路狀態(tài)方程比較方便4-14-24-3將3-22代入，將4-2代入，第三十九頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五擬將4-4式改寫成無量綱的數學方程，作如下變換4-4得到下面的范德坡方程4-5第四十頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五4-6消取x2，容易將上式改寫成4-7范德坡發(fā)現，當μ值變大時，振蕩波形變成方波，范德坡稱之為張弛振蕩，它對于某些強迫頻率特別敏感，可以不需共振而鎖定在強迫頻率上，從而能夠產生混沌。范德坡方程具有很有趣的結果，特別是受迫范德坡方程使得人們去做更深一步的研究。范德坡方程有一個變形形式第四十一頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五

與人的心臟跳動的波形接近，可以作為心臟搏動的模型，心電圖由P、Q、R、S和T五個波段組成，心跳是一種張弛振蕩，心律不齊是包括健康人在內的常見狀態(tài)，嚴重心律不齊則是心臟疾病，用數學方法或者電路方法模擬心律不齊并分析其規(guī)律性涉及生命科學技術問題，具有實際應用價值。歷史上的范德坡就對于此問題特感興趣，他發(fā)表了重要文章《心臟搏動是張弛振蕩及一個心臟的電模型》，含有清晰的用混沌學觀點研究生命科學的思想方法。第四十二頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五二、范德坡方程定性討論

對于范德坡方程，它的積分曲線可以使用三種標準方法求得，一是嚴格意義下的純數學分析方法，找出其運動形態(tài);二是數值計算方法做出其積分曲線;三是憑經驗使用對比的方法求出它的運動規(guī)律，下面先使用對比的方法求出它的運動形態(tài)。對比方程是線性RLC串聯諧振電路方程第四十三頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五對應于普通電路中，R總是正值，構成阻尼因子，使電流輸出有三種形式：阻尼振蕩、欠阻尼振蕩與過阻尼振蕩，三種情況都是衰減振蕩，都是一次微分項系數（1/RC）>0。對照范德坡方程，當μ>0，若|x|>1，表示振蕩振幅比較大，則，與式3-28描述的電路形態(tài)相同，電路系統(tǒng)呈現正電阻特性，LC電路系統(tǒng)消耗能量為衰減振蕩;反之，若|x|<1，則，電路系統(tǒng)呈現負電阻特性，LC電路系統(tǒng)增加能量為增幅振蕩。因此可以猜測到，電路輸出等幅振蕩，這是通常LC振蕩電路系統(tǒng)研究方法所講述的內容。等幅振蕩的相圖圖形是一個封閉的環(huán)形，數學上稱為極限環(huán)，動力學中稱為吸引子，是穩(wěn)定的周期運動，無混沌。當μ<0，若|x|>1，呈現負電阻特性，電路系統(tǒng)發(fā)散;若|x|<1，呈現正電阻特性，電路系統(tǒng)趨于不動點，這也是一種極限環(huán)，不過這是一種與吸引子極限環(huán)相對的極限環(huán)，稱為排斥子，是不穩(wěn)定的極限環(huán)，整體刻畫如圖4-13。第四十四頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五圖4-13范德坡方程極限環(huán)整體刻畫第四十五頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五

由上面分析可知，傳統(tǒng)LC振蕩電路中輸出的波形嚴格說來不是正弦波，頻率也不很穩(wěn)定，為了使LC振蕩輸出正弦波不失真與幅度穩(wěn)定，需要對圖4-12（a）的放大電路加入交流負反饋或者采取其它穩(wěn)幅措施，為了穩(wěn)定正弦波頻率，需要增加諧振回路Q值或者使用晶體振蕩器.從范德坡方程來看，就是使其相圖更接近圓形。第四十六頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五三、范德坡方程數值分析

下面用VB編寫簡單的程序進行仿真，使用四階龍格-庫塔法。編寫程序的思想是，在預測的極限環(huán)內外分別選擇一個坐標點作為初始條件，現選(0.5,0.5)、(0.5,3)，分別從這兩個初始點上迭代，為了提高運算精度，算法使用四階龍格-庫塔算法。為了顯示結果的數量化表示，程序用了較多的篇幅編寫坐標顯示圖形。

程序運行結果如圖4-14所示，圖中μ值分別是-0.02、-0.01、0、0.1、0.5、1、2、3的仿真結果，圖中從（d）開始，μ值>0，顯示出清晰的極限環(huán)。第四十七頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五(a)μ=-0.02(b)μ=-0.01(c)μ=0(d)μ=0.1(e)μ=0.5(f)μ=1第四十八頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五(g)μ=2(h)μ=3圖4-14范德坡方程極限環(huán)第四十九頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五圖4-15MATLAB的范德坡波形與極限環(huán)運行結果第五十頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五§4普通混沌電路

一、研究普通混沌電路的背景與意義

前面討論過的各種各樣的混沌電路以及所依據的非線性方程，由于歷史的原因或者其它原因，從電子電路設計的角度來看，總是帶有“特殊性”的“手工工藝品”，使得這些非線性電路設計不很流暢?，F代電子電路發(fā)展很快，可以提供的電路設計手段很多，另一方面，非線性方程也很多。因而，用電子電路設計非線性動力系統(tǒng)是很容易的，稍微使用一些電路技巧就可以設計出很多很靈活的非線性電路系統(tǒng)。

電子電路的內容既豐富又靈活，像一座大舞臺，電子學工作者們在這里創(chuàng)造了一個又一個電子電路的奇跡。如果說前面幾節(jié)講述的著名非線性電路是著名科學家在特定領域內創(chuàng)造的奇跡，那么，本節(jié)敘述的就是廣大的電子工作者各顯神通壯闊場面。第五十一頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五二、非線性電路組成單元

一個非線性電路是由幾個基本單元電路組成的，這些基本單元電路多數是線性基本單元電路，而非線性基本單元電路很少，一般是一個。線性基本單元電路有的僅是一個單一線性電路元件，如電阻器、點容器、電