華中科技大學(xué)復(fù)變函數(shù)與積分變換試題及解答

華中科技大學(xué)復(fù)變函數(shù)與積分變換試題及解答2006.11系別___________班級(jí)__________學(xué)號(hào)_________姓名___________題號(hào)

一

二

三

四

五

六

七

八

九

總分得分得分

評(píng)卷人

一、填空題（每小題3，共24分）1

的值為，主值為

.2；且多連域？單連域。

所表示的平面點(diǎn)集是區(qū)域嗎？是，單連域還是34在映射

0。下，集合

的像集為：56

在

.為的1階極點(diǎn)。處展開成Taylor級(jí)數(shù)的收斂半徑為

.78已知

的頻譜密度函數(shù)，其中，

則

。。得分

評(píng)卷人

二、（6分）設(shè)、b是實(shí)數(shù)，函數(shù)

在復(fù)平面解析，則分別求、b之值，并求

.

解：

是復(fù)平面上的解析函數(shù)，則

在平面上滿足C—方，即：故

對(duì)

成立，得分

評(píng)卷人

三、（8分）驗(yàn)證數(shù)，并求以

是z為實(shí)部的解析函數(shù)，使

平面上的調(diào)和函.解：（1

故

是調(diào)和函數(shù)。（2利用—R條件，先求出

的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)。則由故得分

評(píng)卷人

四、（6×4=24分）計(jì)算下列各題：

1

，設(shè)C為正向圓周。解：令原式

，則由高階求導(dǎo)公式得：2，C為正向圓周。解:在C內(nèi)

有本性奇點(diǎn)，由留數(shù)定理：原式在

內(nèi)將

展為Laurent級(jí)數(shù)：故：3解：由于原式

是偶函數(shù)，故令則定積分可化為復(fù)積分

令

則

在

內(nèi)有2個(gè)簡單極點(diǎn)

與由留數(shù)定理知：故原式4解：令

容易驗(yàn)證在上半平面有兩個(gè)簡單極點(diǎn)

滿足若爾當(dāng)引理得分

原式評(píng)卷人

解：

級(jí)數(shù)。時(shí)，在復(fù)平面有孤立奇異點(diǎn)（1

與，（2

時(shí)（3

時(shí)（4

時(shí)得分

評(píng)卷人

六、（6分）試求z平面的下半平面

在分式線性映射下的象區(qū)域.解：在實(shí)軸上依次取，

由分式線性映射的保圓性知：決定了故實(shí)軸在

下的象區(qū)線為單位圓周由邊界對(duì)應(yīng)原理知：在得分

下的象區(qū)域?yàn)?。評(píng)卷人七、（8分）求一保形映射，把區(qū)域圓內(nèi)

映成單位部。解：

得分

評(píng)卷人

八、（8分）用Laplace變換求解常微分方程：解：令，對(duì)方程兩邊求拉氏變換得：得分

評(píng)卷人

九、（6）證明題：設(shè)

在

內(nèi)解析，在

上連試證：當(dāng)證：令

續(xù)，