高等數(shù)學(xué)知識(shí)在醫(yī)學(xué)中的應(yīng)用舉例

PAGEPAGE1高等數(shù)學(xué)知識(shí)在醫(yī)學(xué)中的應(yīng)用舉例隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和電子計(jì)算機(jī)的應(yīng)用與普及，數(shù)學(xué)方法在醫(yī)藥學(xué)中的應(yīng)用日益廣泛和深入。醫(yī)藥學(xué)科逐步由傳統(tǒng)的定性描述階段向定性、定量分析相結(jié)合的新階段發(fā)展。數(shù)學(xué)方法為醫(yī)藥科學(xué)研究的深入發(fā)展提供了強(qiáng)有力的工具。高等數(shù)學(xué)是醫(yī)學(xué)院校開(kāi)設(shè)的重要基礎(chǔ)課程，下文僅例舉一些用高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)解決醫(yī)學(xué)中的一些實(shí)際問(wèn)題的例子，旨在啟發(fā)學(xué)生怎樣正確理解和鞏固加深所學(xué)的知識(shí)，并且強(qiáng)化應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的意識(shí)。例1脈管穩(wěn)定流動(dòng)的血流量設(shè)有半徑為，長(zhǎng)度為的一段血管，左端為相對(duì)動(dòng)脈端，血壓為．右端為相對(duì)靜脈端，血壓為（）（如下圖）．取血管的一個(gè)橫截面，求單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)血管橫截面的血流量．分析利用微元法，在取定的橫截面任取一個(gè)內(nèi)徑為，外徑為（圓心在血管中心）的小圓環(huán)作為研究問(wèn)題的微元，它的面積近似等于，假定血管中血液流動(dòng)是穩(wěn)定的，此時(shí)血管中血液在各點(diǎn)處的流速是各點(diǎn)與血管中心距離的函數(shù)，即．血流量等于流速乘以面積．因此，可以求得在在單位時(shí)間內(nèi)，通過(guò)該環(huán)面的血流量的近似值，進(jìn)而求得該橫截面的血流量．解在單位時(shí)間內(nèi)，通過(guò)環(huán)面的血流量近似地為從而，單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)該橫截面的血流量為由研究人員經(jīng)實(shí)驗(yàn)得知，在通常情況下，有其中為血液的粘滯系數(shù)．于是小結(jié)血流量與血管兩端壓力差成正比；血流量與血管半徑的４次方成正比；血流量與血液粘滯系數(shù)成反比．例2藥物在體內(nèi)血液中的濃度稱為血藥濃度．血藥濃度隨時(shí)間變化的函數(shù)稱為藥時(shí)曲線．如口服藥后，體內(nèi)血藥濃度的變化關(guān)系是這里為參數(shù)，試對(duì)該藥時(shí)曲線進(jìn)行分析．解題思路要分析該藥時(shí)曲線，首先要確定藥時(shí)曲線的性態(tài)特征，然后根據(jù)曲線對(duì)血藥濃度的進(jìn)行分析．解性態(tài)描述(1)定義域?yàn)椋?2)求的一、二階導(dǎo)數(shù)．．(3)求的一、二階導(dǎo)數(shù)等于零的解．由，解得由，解得得，代入，得經(jīng)驗(yàn)公式：（Ｂ）（三）最小二乘法對(duì)于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中自變量的每一個(gè)值的實(shí)測(cè)值，由經(jīng)驗(yàn)公式求出相應(yīng)的值，則差值叫做偏差，記作，偏差平方和記作，最小二乘法就是采用偏差平方和為最小來(lái)確定經(jīng)驗(yàn)公式的．利用最小二乘法求經(jīng)驗(yàn)公式，其中與為待定系數(shù)，分別由下列公式確定：其中由上式得代入，得經(jīng)驗(yàn)公式：（Ｃ）三種方法求得的經(jīng)驗(yàn)公式分別為：計(jì)算得偏差平方和計(jì)算得偏差平方和計(jì)算得偏差平方和可見(jiàn)，用最小二乘法求出的經(jīng)驗(yàn)公式最精確．例4藥物動(dòng)力學(xué)中靜脈恒速注射的一室模型把劑量為的丹參注射液在一段時(shí)間內(nèi)以恒速（速度）滴入人體，人體內(nèi)藥物量用表示，顯然當(dāng)時(shí)，，求體內(nèi)血藥濃度隨時(shí)間的變化規(guī)律．分析人體內(nèi)除了有藥物輸入這一輸入速度外，同時(shí)還有一個(gè)消除速度記為，這樣體內(nèi)藥物量變化的數(shù)學(xué)模型為(1)其中為消除速度常數(shù)．由方程和初始條件可求得血藥濃度隨時(shí)間的變化規(guī)律．解（一）是一階線性微分方程，常數(shù)變易法解之．對(duì)應(yīng)的齊次方程為，分離變量得，將代入方程中，得，則，由初始條件時(shí)，得，故兩端再除以表現(xiàn)分布容積，則血藥濃度方程為當(dāng)?shù)巫⑼炅藭r(shí)(時(shí))的體內(nèi)血藥濃度為．解（二）由，時(shí)，是初始條件，用拉普拉斯變換求解．設(shè)，則，對(duì)方程(1)兩端取拉氏變換整理后得取拉氏逆變換，可得兩端再除以表現(xiàn)分布容積，則血藥濃度方程為當(dāng)?shù)巫⑼炅藭r(shí)(時(shí))的體內(nèi)血藥濃度為．例5藥物動(dòng)力學(xué)中快速靜脈注射的二室模型在一次快速靜脈注射給藥的情況下，如快速靜脈注射柴胡注射液、葡萄糖注射液等，其藥物動(dòng)力學(xué)過(guò)程可用下圖所示的二室模型來(lái)模擬．其中一室常代表血液及血流灌注充沛的器官和組織，二室表血流灌注貧乏的組織，都是一級(jí)速率常數(shù)．設(shè)靜脈注射的劑量為，在時(shí)刻，一室和二室中的藥量分別為和，且當(dāng)時(shí)，．試求一室和二室藥量隨時(shí)間變化的規(guī)律．分析在時(shí)刻，一室和二室中的藥量分別為和，其數(shù)學(xué)模型為下列微分方程組(1)由方程和初始條件可求得一室和二室藥量和隨時(shí)間的變化規(guī)律．解用拉普拉斯變換求解，設(shè)，對(duì)方程組(1)兩端取拉氏變換得解得設(shè)和是的兩個(gè)根，由判別式可知，則有于是取拉氏逆變換，即得一室藥量隨時(shí)間的變化規(guī)律為若以表示一室的表現(xiàn)分布容積，則血藥濃度隨時(shí)間的變化規(guī)律為類(lèi)似地，可求出取拉氏逆變換，得二室藥量隨時(shí)間的變化規(guī)律為．（注：本例選自＂生物數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)＂2000,15(4):476-479董萍,拉普拉斯變換在藥物動(dòng)力學(xué)中的應(yīng)用）例6某醫(yī)院采用=1\*ROMANI、=2\*ROMANII、=3\*ROMANIII、=4\*ROMANIV四種方法醫(yī)治某種癌癥，在該癌癥患者中采用4種方案的百分比分別為0.1，0.2，0.25，0.45，其有效率分別為0.97，0.95，0.94，0.9.試求:(1)到該院接受治療的患者,治療有效的概率為多少?(2)如果1名患者經(jīng)治療有收效,最有可能接受了哪種方案的治療?解分別記采用=1\*ROMANI、=2\*ROMANII、=3\*ROMANIII、=4\*ROMANIV種方法治療為事件,則治療有效記為B,則B伴隨事件之一的發(fā)生而發(fā)生則由全概率公式有,0.927.由貝葉斯公式有;取,所以最有可能接受了第=4\*ROMANIV種方案的治療.例7某種動(dòng)物雌性的最大生豐年齡為15年．以5年為間隔，把這一動(dòng)物種群分為3個(gè)年齡組，，．設(shè)初始時(shí)刻時(shí)，3個(gè)年齡組的雌性動(dòng)物個(gè)數(shù)分別為500,1000,500．利用統(tǒng)計(jì)資料，已知．試分析該動(dòng)物種群的年齡分布．*注釋與分析設(shè)第個(gè)年齡組的生育率為，存活率為(表示第年齡組中可存活到第年齡組的雌性數(shù)與該年齡組總數(shù)之比，)．在不發(fā)生意外事件(災(zāi)害等)的條件下均為常數(shù)，且．由已知條件可知初始年齡分布向量．由萊斯利種群模型得萊斯利矩陣為．以下從萊斯利矩陣入手對(duì)該動(dòng)物種群的年齡分布進(jìn)行分析．解由，．于是，為了分析時(shí)，該動(dòng)物種群年齡分布向量的特點(diǎn)．先求出矩陣的特征值和特征向量．的特征多項(xiàng)式得的特征值顯然是矩陣的唯一正特征值，且，因此矩陣可與對(duì)角矩陣相似．設(shè)矩陣屬于特征值的特征向量為．不難計(jì)算，的屬于特征值的特征向量．記矩陣則或于是，即因?yàn)椋?/p>