《復變函數(shù)》考試試題與答案各種總結(jié)

------------------------------------------------------------------------《復變函數(shù)》考試試題與答案各種總結(jié)《復變函數(shù)》考試試題（一）判斷題（20分）：1.若f(z)在z0的某個鄰域內(nèi)可導，則函數(shù)f(z)在z0解析.()2.有界整函數(shù)必在整個復平面為常數(shù).()3.若收斂，則與都收斂.()4.若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，且，則（常數(shù)）.()5.若函數(shù)f(z)在z0處解析，則它在該點的某個鄰域內(nèi)可以展開為冪級數(shù).()6.若z0是的m階零點，則z0是1/的m階極點.()7.若存在且有限，則z0是函數(shù)f(z)的可去奇點.()8.若函數(shù)f(z)在是區(qū)域D內(nèi)的單葉函數(shù)，則.()9.若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析,則對D內(nèi)任一簡單閉曲線C.()10.若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)的某個圓內(nèi)恒等于常數(shù)，則f(z)在區(qū)域D內(nèi)恒等于常數(shù).（）二.填空題（20分）__________.（為自然數(shù)）2._________.3.函數(shù)的周期為___________.4.設(shè)，則的孤立奇點有__________.5.冪級數(shù)的收斂半徑為__________.6.若函數(shù)f(z)在整個平面上處處解析，則稱它是__________.7.若，則______________.8.________，其中n為自然數(shù).9.的孤立奇點為________.10.若是的極點，則.三.計算題（40分）：1.設(shè)，求在內(nèi)的羅朗展式.2.3.設(shè)，其中，試求4.求復數(shù)的實部與虛部.四.證明題.(20分)1.函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析.證明：如果在內(nèi)為常數(shù)，那么它在內(nèi)為常數(shù).2.試證:在割去線段的平面內(nèi)能分出兩個單值解析分支,并求出支割線上岸取正值的那支在的值.《復變函數(shù)》考試試題（一）參考答案判斷題1．×2．√３．√４．√５．√6．√７．×８．×９．×10．×二．填空題1.；2.1；3.，；4.；5.16.整函數(shù)；7.；8.；9.0；10..三．計算題.1.解因為所以.2.解因為,.所以.3.解令,則它在平面解析,由柯西公式有在內(nèi),.所以.4.解令,則.故,.四.證明題.1.證明設(shè)在內(nèi).令.兩邊分別對求偏導數(shù),得因為函數(shù)在內(nèi)解析,所以.代入(2)則上述方程組變?yōu)?消去得,.若,則為常數(shù).若,由方程(1)(2)及方程有,.所以.(為常數(shù)).所以為常數(shù).2.證明的支點為.于是割去線段的平面內(nèi)變點就不可能單繞0或1轉(zhuǎn)一周,故能分出兩個單值解析分支.由于當從支割線上岸一點出發(fā),連續(xù)變動到時,只有的幅角增加.所以的幅角共增加.由已知所取分支在支割線上岸取正值,于是可認為該分支在上岸之幅角為0,因而此分支在的幅角為,故.《復變函數(shù)》考試試題（二）判斷題.（20分）1.若函數(shù)在D內(nèi)連續(xù)，則u(x,y)與v(x,y)都在D內(nèi)連續(xù).()2.cosz與sinz在復平面內(nèi)有界.()3.若函數(shù)f(z)在z0解析，則f(z)在z0連續(xù).()4.有界整函數(shù)必為常數(shù).()5.如z0是函數(shù)f(z)的本性奇點，則一定不存在.()6.若函數(shù)f(z)在z0可導，則f(z)在z0解析.()7.若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析,則對D內(nèi)任一簡單閉曲線C.()8.若數(shù)列收斂，則與都收斂.()9.若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，則|f(z)|也在D內(nèi)解析.()10.存在一個在零點解析的函數(shù)f(z)使且.()二.填空題.(20分)1.設(shè)，則2.設(shè)，則________.3._________.（為自然數(shù)）4.冪級數(shù)的收斂半徑為__________.5.若z0是f(z)的m階零點且m>0，則z0是的_____零點.6.函數(shù)ez的周期為__________.7.方程在單位圓內(nèi)的零點個數(shù)為________.8.設(shè)，則的孤立奇點有_________.9.函數(shù)的不解析點之集為________.10..三.計算題.(40分)1.求函數(shù)的冪級數(shù)展開式.2.在復平面上取上半虛軸作割線.試在所得的區(qū)域內(nèi)取定函數(shù)在正實軸取正實值的一個解析分支，并求它在上半虛軸左沿的點及右沿的點處的值.3.計算積分：，積分路徑為（1）單位圓（）的右半圓.4.求.四.證明題.(20分)1.設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，試證：f(z)在D內(nèi)為常數(shù)的充要條件是在D內(nèi)解析.2.試用儒歇定理證明代數(shù)基本定理.《復變函數(shù)》考試試題（二）參考答案判斷題.1．√２．×３．√４．√５．×6．×７．×８．√９．×10．×.二.填空題1.1，，；2.；3.；4.1；5..6.，.7.0；8.；9.；10.0.三.計算題1.解.2.解令.則.又因為在正實軸去正實值，所以.所以.3.單位圓的右半圓周為,.所以.4.解=0.四.證明題.1.證明(必要性)令,則.(為實常數(shù)).令.則.即滿足,且連續(xù),故在內(nèi)解析.(充分性)令,則,因為與在內(nèi)解析,所以,且.比較等式兩邊得.從而在內(nèi)均為常數(shù),故在內(nèi)為常數(shù).2.即要證“任一次方程有且只有個根”.證明令,取,當在上時,有..由儒歇定理知在圓內(nèi),方程與有相同個數(shù)的根.而在內(nèi)有一個重根.因此次方程在內(nèi)有個根.《復變函數(shù)》考試試題（三）一.判斷題.(20分).1.cosz與sinz的周期均為.()2.若f(z)在z0處滿足柯西-黎曼條件,則f(z)在z0解析.()3.若函數(shù)f(z)在z0處解析，則f(z)在z0連續(xù).()4.若數(shù)列收斂，則與都收斂.()5.若函數(shù)f(z)是區(qū)域D內(nèi)解析且在D內(nèi)的某個圓內(nèi)恒為常數(shù)，則數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)為常數(shù).()6.若函數(shù)f(z)在z0解析，則f(z)在z0的某個鄰域內(nèi)可導.()7.如果函數(shù)f(z)在上解析,且,則.（）8.若函數(shù)f(z)在z0處解析，則它在該點的某個鄰域內(nèi)可以展開為冪級數(shù).()9.若z0是的m階零點,則z0是1/的m階極點.()10.若是的可去奇點，則.()二.填空題.(20分)1.設(shè)，則f(z)的定義域為___________.2.函數(shù)ez的周期為_________.3.若，則__________.4.___________.5._________.（為自然數(shù)）6.冪級數(shù)的收斂半徑為__________.7.設(shè)，則f(z)的孤立奇點有__________.8.設(shè)，則.9.若是的極點，則.10..三.計算題.(40分)1.將函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)展為Laurent級數(shù).2.試求冪級數(shù)的收斂半徑.3.算下列積分：，其中是.4.求在|z|<1內(nèi)根的個數(shù).四.證明題.(20分)1.函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析.證明：如果在內(nèi)為常數(shù)，那么它在內(nèi)為常數(shù).2.設(shè)是一整函數(shù)，并且假定存在著一個正整數(shù)n，以及兩個正數(shù)R及M，使得當時，證明是一個至多n次的多項式或一常數(shù)?！稄妥兒瘮?shù)》考試試題（三）參考答案判斷題1．×２．×３．√４．√５．√6．√７．√８．√９．√10．√.二.填空題.1.;2.;3.;4.1;5.;6.1;7.;8.;9.;10..三.計算題.1.解.2.解.所以收斂半徑為.3.解令,則.故原式.4.解令,.則在上均解析,且,故由儒歇定理有.即在內(nèi),方程只有一個根.四.證明題.1.證明證明設(shè)在內(nèi).令.兩邊分別對求偏導數(shù),得因為函數(shù)在內(nèi)解析,所以.代入(2)則上述方程組變?yōu)?消去得,.1),則為常數(shù).若,由方程(1)(2)及方程有,.所以.(為常數(shù)).所以為常數(shù).2.證明取,則對一切正整數(shù)時,.于是由的任意性知對一切均有.故,即是一個至多次多項式或常數(shù).《復變函數(shù)》考試試題（四）判斷題（24分）若函數(shù)在解析，則在的某個領(lǐng)域內(nèi)可導.（）若函數(shù)在處解析，則在滿足Cauchy-Riemann條件.（）如果是的可去奇點，則一定存在且等于零.（）若函數(shù)是區(qū)域內(nèi)的單葉函數(shù)，則.（）若函數(shù)是區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)，則它在內(nèi)有任意階導數(shù).（）若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)的解析，且在內(nèi)某個圓內(nèi)恒為常數(shù)，則在區(qū)域內(nèi)恒等于常數(shù).（）若是的階零點，則是的階極點.（）填空題（20分）若，則___________.設(shè)，則的定義域為____________________________.函數(shù)的周期為______________._______________.冪級數(shù)的收斂半徑為________________.若是的階零點且，則是的____________零點.若函數(shù)在整個復平面處處解析，則稱它是______________.函數(shù)的不解析點之集為__________.方程在單位圓內(nèi)的零點個數(shù)為___________._________________.計算題（30分）求.設(shè)，其中，試求.3、設(shè)，求.4、求函數(shù)在內(nèi)的羅朗展式.5、求復數(shù)的實部與虛部.6、利用留數(shù)定理計算積分：，.證明題（20分）1、方程在單位圓內(nèi)的根的個數(shù)為7.2、若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析，等于常數(shù)，則在恒等于常數(shù).若是的階零點，則是的階極點.計算題（10分）求一個單葉函數(shù)，去將平面上的上半單位圓盤保形映射為平面的單位圓盤《復變函數(shù)》考試試題（四）參考答案一、判斷題：1.√2.√3.×4.√5.√6.√7.√8.×二、填空題：1.2.3.4.15.16.階7.整函數(shù)8.9.010.三、計算題：1.解：2.解：因此故.3.解：因此4.解：由于，從而.因此在內(nèi)有5．解：設(shè),則.6.解：設(shè)，則，，故奇點為.四、證明題：1.證明：設(shè)則在上，即有.根據(jù)儒歇定理知在內(nèi)與在單位圓內(nèi)有相同個數(shù)的零點，而在內(nèi)的零點個數(shù)為7，故在單位圓內(nèi)的根的個數(shù)為7.2.證明：設(shè)，則已知在區(qū)域內(nèi)解析，從而有將此代入上上述兩式得因此有于是有.即有故在區(qū)域恒為常數(shù).3.證明：由于是的階零點，從而可設(shè)，其中在的某鄰域內(nèi)解析且，于是由可知存在的某鄰域，在內(nèi)恒有，因此在內(nèi)解析，故為的階極點.五、計算題解：根據(jù)線性變換的保對稱點性知關(guān)于實軸的對稱點應該變到關(guān)于圓周的對稱點，故可設(shè)《復變函數(shù)》考試試題（五）一、判斷題（20分）1、若函數(shù)在解析，則在連續(xù).（）2、若函數(shù)在滿足Cauchy-Riemann條件，則在處解析.（）3、如果是的本性奇點，則一定不存在.（）4、若函數(shù)是區(qū)域內(nèi)解析，并且，則是區(qū)域的單葉函數(shù).（）5、若函數(shù)是區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)，則它在內(nèi)有任意階導數(shù).（）6、若函數(shù)是單連通區(qū)域內(nèi)的每一點均可導，則它在內(nèi)有任意階導數(shù).（）7、若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析且，則在內(nèi)恒為常數(shù).（）存在一個在零點解析的函數(shù)使且.（）如果函數(shù)在上解析，且，則.（）是一個有界函數(shù).（）二、填空題（20分）1、若，則___________.2、設(shè)，則的定義域為____________________________.3、函數(shù)的周期為______________.4、若，則_______________.5、冪級數(shù)的收斂半徑為________________.6、函數(shù)的冪級數(shù)展開式為______________________________.7、若是單位圓周，是自然數(shù)，則______________.8、函數(shù)的不解析點之集為__________.9、方程在單位圓內(nèi)的零點個數(shù)為___________.10、若，則的孤立奇點有_________________.三、計算題（30分）1、求2、設(shè)，其中，試求.3、設(shè)，求.4、求函數(shù)在內(nèi)的羅朗展式.5、求復數(shù)的實部與虛部.四、證明題（20分）1、方程在單位圓內(nèi)的根的個數(shù)為7.2、若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，則二元函數(shù)與都在內(nèi)連續(xù).若是的階零點，則是的階極點.計算題（10分）求一個單葉函數(shù)，去將平面上的區(qū)域保形映射為平面的單位圓盤.《復變函數(shù)》考試試題（五）參考答案一、判斷題：1.√2.×3.√4.×5.√6.√7.√8.×9.√10.×二、填空題：1.2.3.4.5.16.7.8.9.510.三、計算題：1.解：由于在解析，所以而因此.2.解：因此故.3.解：因此4.解：由于，從而因此在內(nèi)有5．解：設(shè),則.6．解：設(shè),則在內(nèi)只有一個一級極點因此.四、證明：1.證明：設(shè)則在上，即有.根據(jù)儒歇定理知在內(nèi)與在單位圓內(nèi)有相同個數(shù)的零點，而在內(nèi)的零點個數(shù)為7，故在單位圓內(nèi)的根的個數(shù)為72.證明：因為，在內(nèi)連續(xù),所以,當時有從而有即與在連續(xù)，由的任意性知與都在內(nèi)連續(xù)3.證明：由于是的階零點，從而可設(shè)，其中在的某鄰域內(nèi)解析且，于是由可知存在的某鄰域，在內(nèi)恒有，因此在內(nèi)解析，故為的階極點.五、解：1.設(shè)，則將區(qū)域保形映射為區(qū)域2.設(shè),則將上半平面保形變換為單位圓.因此所求的單葉函數(shù)為《復變函數(shù)》考試試題（六）一、判斷題（40分）：1、若函數(shù)在解析，則在的某個鄰域內(nèi)可導.（）2、如果是的本性奇點，則一定不存在.（）3、若函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，則與都在內(nèi)連續(xù).（）4、與在復平面內(nèi)有界.（）5、若是的階零點，則是的階極點.（）6、若在處滿足柯西-黎曼條件，則在解析.（）7、若存在且有限，則是函數(shù)的可去奇點.（）8、若在單連通區(qū)域內(nèi)解析，則對內(nèi)任一簡單閉曲線都有.（）9、若函數(shù)是單連通區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)，則它在內(nèi)有任意階導數(shù).（）10、若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析，且在內(nèi)某個圓內(nèi)恒為常數(shù)，則在區(qū)域內(nèi)恒等于常數(shù).（）二、填空題（20分）：1、函數(shù)的周期為_________________.2、冪級數(shù)的和函數(shù)為_________________.3、設(shè)，則的定義域為_________________.4、的收斂半徑為_________________.5、=_________________.三、計算題（40分）：1、2、求3、4、設(shè)求，使得為解析函數(shù)，且滿足。其中（為復平面內(nèi)的區(qū)域）.5、求，在內(nèi)根的個數(shù)《復變函數(shù)》考試試題（六）參考答案一、判斷題（40分）：1.√2.√3.√4.×5.√6.×7.√8.√9.√10.√二、填空題（20分）：1.2.3.4.5.三、計算題（40分）1.解：在上解析，由積分公式，有2.解：設(shè)，有3.解：4.解：，故，5.解：令，則，在內(nèi)均解析，且當時由定理知根的個數(shù)與根的個數(shù)相同.故在內(nèi)僅有一個根.《復變函數(shù)》考試試題（七）判斷題。（正確者在括號內(nèi)打√，錯誤者在括號內(nèi)打×，每題2分）1．設(shè)復數(shù)及，若或，則稱與是相等的復數(shù)。（）2．函數(shù)在復平面上處處可微。（）3．且。（）4．設(shè)函數(shù)是有界區(qū)域內(nèi)的非常數(shù)的解析函數(shù)，且在閉域上連續(xù)，則存在，使得對任意的，有。（）5．若函數(shù)是非常的整函數(shù)，則必是有界函數(shù)。（）二、填空題。（每題2分）1．_____________________。2．設(shè)，且，當時，________________。3．若已知，則其關(guān)于變量的表達式為__________。4．以________________為支點。5．若，則_______________。6．________________。7．級數(shù)的收斂半徑為