銳角三角函數(shù)（全章復(fù)習(xí)與鞏固）-人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)講練

文檔來源網(wǎng)絡(luò)整理侵權(quán)刪除專題28.14銳角三角函數(shù)（全章復(fù)習(xí)與鞏固）（知識(shí)講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解銳角三角函數(shù)的概念，能夠正確應(yīng)用sinA、cosA、tanA表示直角三角形中兩邊的比；記憶30°、45°、60°的正弦、余弦和正切的函數(shù)值，并會(huì)由一個(gè)特殊角的三角函數(shù)值求出這個(gè)角的度數(shù)；

2．能夠正確地使用計(jì)算器，由已知銳角的度數(shù)求出它的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值求出相應(yīng)的銳角的度數(shù)；

3．理解直角三角形中邊與邊的關(guān)系，角與角的關(guān)系和邊與角的關(guān)系，會(huì)運(yùn)用勾股定理、直角三角形的兩個(gè)銳角互余、以及銳角三角函數(shù)解直角三角形，并會(huì)用解直角三角形的有關(guān)知識(shí)解決簡單的實(shí)際問題；

4．通過銳角三角函數(shù)的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)函數(shù)，體會(huì)函數(shù)的變化與對(duì)應(yīng)的思想，通過解直角三角的學(xué)習(xí)，體會(huì)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的作用，并結(jié)合實(shí)際問題對(duì)微積分的思想有所感受.

【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、銳角三角函數(shù)

1.正弦、余弦、正切的定義

如右圖、在Rt△ABC中，∠C=90°，如果銳角A確定：

(1)sinA=，這個(gè)比叫做∠A的正弦.

(2)cosA=，這個(gè)比叫做∠A的余弦.

(3)tanA=，這個(gè)比叫做∠A的正切.

要點(diǎn)詮釋：

(1)正弦、余弦、正切是在一個(gè)直角三角形中定義的，其本質(zhì)是兩條線段的比值，它只是一個(gè)數(shù)值，其大小只與銳角的大小有關(guān)，而與所在直角三角形的大小無關(guān).

(2)sinA、cosA、tanA是一個(gè)整體符號(hào)，即表示∠A三個(gè)三角函數(shù)值，書寫時(shí)習(xí)慣上省略符號(hào)“∠”，但不能寫成sin·A，對(duì)于用三個(gè)大寫字母表示一個(gè)角時(shí)，其三角函數(shù)中符號(hào)“∠”不能省略，應(yīng)寫成sin∠BAC，而不能寫出sinBAC.

(3)sin2A表示(sinA)2，而不能寫成sinA2.

(4)三角函數(shù)有時(shí)還可以表示成等.

2.銳角三角函數(shù)的定義

銳角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的銳角三角函數(shù).

要點(diǎn)詮釋：

1.函數(shù)值的取值范圍對(duì)于銳角A的每一個(gè)確定的值，sinA有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)，所以sinA是∠A的函數(shù).同樣，cosA、tanA也是∠A的函數(shù)，其中∠A是自變量，sinA、cosA、tanA分別是對(duì)應(yīng)的函數(shù).其中自變量∠A的取值范圍是0°＜∠A＜90°，函數(shù)值的取值范圍是0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0.

2．銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系：

余角三角函數(shù)關(guān)系：“正余互化公式”如∠A+∠B=90°，那么：sinA=cosB；cosA=sinB；

同角三角函數(shù)關(guān)系：sin2A＋cos2A=1；tanA=

3.30°、45°、60°角的三角函數(shù)值∠A30°45°60°sinAcosAtanA130°、45°、60°角的三角函數(shù)值和解30°、60°直角三角形和解45°直角三角形為本章重中之重，是幾何計(jì)算題的基本工具，三邊的比借助銳角三角函數(shù)值記熟練.

要點(diǎn)二、解直角三角形

在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的過程，叫做解直角三角形．

解直角三角形的依據(jù)是直角三角形中各元素之間的一些相等關(guān)系，如圖：

角角關(guān)系：兩銳角互余，即∠A+∠B=90°；

邊邊關(guān)系：勾股定理，即；

邊角關(guān)系：銳角三角函數(shù)，即

特別說明：

解直角三角形，可能出現(xiàn)的情況歸納起來只有下列兩種情形：

(1)已知兩條邊(一直角邊和一斜邊；兩直角邊)；

(2)已知一條邊和一個(gè)銳角(一直角邊和一銳角；斜邊和一銳角)．這兩種情形的共同之處：有一條邊．因此，直角三角形可解的條件是：至少已知一條邊．

要點(diǎn)三、解直角三角形的應(yīng)用

解直角三角形的知識(shí)應(yīng)用很廣泛，關(guān)鍵是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，善于將某些實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系化歸為直角三角形中的邊角關(guān)系是解決實(shí)際應(yīng)用問題的關(guān)鍵.1.解這類問題的一般過程

(1)弄清題中名詞、術(shù)語的意義，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根據(jù)題意畫出幾何圖形，建立數(shù)學(xué)模型.

(2)將已知條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題.

(3)根據(jù)直角三角形(或通過作垂線構(gòu)造直角三角形)元素(邊、角)之間的關(guān)系解有關(guān)的直角三角形.

(4)得出數(shù)學(xué)問題的答案并檢驗(yàn)答案是否符合實(shí)際意義，得出實(shí)際問題的解.

2.常見應(yīng)用問題

(1)坡度：；坡角:.

(2)方位角：

(3)仰角與俯角：

要點(diǎn)詮釋：

1．解直角三角形的常見類型及解法已知條件解法步驟Rt△ABC

兩

邊兩直角邊(a，b)由求∠A，

∠B=90°－∠A，

斜邊，一直角邊(如c，a)由求∠A，

∠B=90°－∠A，

一

邊

一

角一直角邊

和一銳角銳角、鄰邊

(如∠A，b)∠B=90°－∠A，

，銳角、對(duì)邊

(如∠A，a)∠B=90°－∠A，

，斜邊、銳角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，

，2．用解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際問題的基本方法是：

把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題(解直角三角形)，就是要舍去實(shí)際事物的具體內(nèi)容，把事物及它們的聯(lián)系轉(zhuǎn)化為圖形(點(diǎn)、線、角等)以及圖形之間的大小或位置關(guān)系．

借助生活常識(shí)以及課本中一些概念(如俯角、仰角、傾斜角、坡度、坡角等)的意義，也有助于把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題．

當(dāng)需要求解的三角形不是直角三角形時(shí)，應(yīng)恰當(dāng)?shù)刈鞲撸比切螢橹苯侨切卧偾蠼猓?/p>

3．銳角三角函數(shù)的應(yīng)用

用相似三角形邊的比的計(jì)算具有一般性，適用于所有形狀的三角形，而三角函數(shù)的計(jì)算是在直角三角形中解決問題，所以在直角三角形中先考慮三角函數(shù)，可以使過程簡潔.

如：射影定理不能直接用，但是用等角的三角函數(shù)值相等進(jìn)行代換很簡單：

∵

∴

∵

∴

∵

∴【典型例題】類型一、銳角三角函數(shù)1．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)，四邊形ABDE是平行四邊形．（1）求證：四邊形ADCE是矩形；（2）若AC、DE交于點(diǎn)O，四邊形ADCE的面積為16，CD＝4，求∠AOD的度數(shù)．【答案】（1）見分析；（2）∠AOD＝120°【分析】（1）已知四邊形ABDE是平行四邊形，只需證得它的一個(gè)內(nèi)角是直角即可；在等腰△ABC中，AD是底邊的中線，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可證得∠ADC是直角，由此得證；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出AD的長度，進(jìn)而得出∠DAC=30°即可求出答案．解：（1）∵四邊形ABDE是平行四邊形，∴AE∥BC，AB＝DE，AE＝BD．∵D為BC中點(diǎn)，∴CD＝BD．∴CD∥AE，CD＝AE．∴四邊形ADCE是平行四邊形．∵AB＝AC，D為BC中點(diǎn)，∴AD⊥BC，即∠ADC＝90°，∴平行四邊形ADCE是矩形；（2）∵平行四邊形ADCE是矩形，四邊形ADCE的面積為16，CD＝4，∴AD?CD＝4AD＝16，DO＝AO＝CO＝EO，解得：AD＝4，∴tan∠DAC＝，∴∠DAC＝30°，∴∠ODA＝30°，∴∠AOD＝120°．【點(diǎn)撥】此題主要考查了矩形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形三線合一的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識(shí)，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】如圖，在中，AD、BE分別是BC、AC邊上的高，，求的值．【答案】【分析】先證明△ADC∽△BEC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到=，再證明CDE∽△CAB，根據(jù)相似三角形的面積比定義相似比的平方計(jì)算即可．解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADC=∠BEC=90°，∵∠C=∠C，∴△ADC∽△BEC，∴=，∴=，∵∠C=∠C，∴△CDE∽△CAB，∵，∴=，∴=（）2=（）2=．【點(diǎn)撥】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，在銳角中，探究，，之間的關(guān)系．（提示：分別作AB和BC邊上的高．）【答案】．【分析】分別作，垂足分別為，根據(jù)正弦的定義，在4個(gè)直角三角形中分別表示出，進(jìn)而將等式變形，即可求得．解：如圖，分別作，垂足分別為，在中，，，在中，，，，，在中，，，在中，，，，，．【點(diǎn)撥】本題考查了正弦的定義，添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．2．如圖，在RtABC中，∠BCA=90°．(1)用尺規(guī)作AB的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)D；(不寫作法，保留作圖痕跡）(2)連接BD若AD=4，CD=2，求∠DBC的正弦值．【答案】(1)見分析(2)【分析】（1）利用基本作圖，作AB的垂直平分線即可；（2）利用線段垂直平分線的性質(zhì)得到BD=AD=4，然后在中根據(jù)正弦的定義求解即可.（1）解：如圖所示，直線MN即為所求，∵點(diǎn)D在段AB的垂直平分線上，AD=4，∴BD=AD=4，在Rt△DCB中，∠BCA=90°∴.【點(diǎn)撥】本題考查了作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)和解直角三角形．熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】如圖，梯形ABCD中，AD//BC，E是AB的中點(diǎn)，∠CDE=90°，CD=6，tan∠DCE=．求CE的長；求∠ADE的余弦．【答案】(1)(2)的余弦為【分析】（1）利用正切函數(shù)求得DE=4，再利用勾股定理即可求解；（2）取CD的中點(diǎn)F，利用梯形中位線定理得到AD//EF，∠ADE=∠DEF，在Rt△DEF中，利用勾股定理和余弦函數(shù)的定義即可求解．（1）解：∵∠CDE=90°，CD=6，tan∠DCE=，∴=，即=，∴DE=4，由勾股定理得CE=；（2）解：取CD的中點(diǎn)F，連接EF，∵E是AB的中點(diǎn)，∴EF是梯形ABCD的中位線，∴AD//EF，∴∠ADE=∠DEF，在Rt△DEF中，，，，由勾股定理得，∴，∴，即的余弦為．【點(diǎn)撥】本題考查了梯形的中位線，解直角三角形，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解答此題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，是直角三角形，．在上作一點(diǎn)D，使得（要求尺規(guī)作圖，不寫做法，保留作圖狼跡）；在（1）的條件下，若，求的長．【答案】(1)作圖見分析(2)8【分析】（1）以C為圓心，AC長為半徑畫弧與AB交于點(diǎn)E，分別以A，E為圓心，大于為半徑畫弧交點(diǎn)為M，連接CM與AE的交點(diǎn)D即為所求，如圖；（2）由題意得，根據(jù)即，計(jì)算求解即可．(1)解：以C為圓心，AC長為半徑畫弧與AB交于點(diǎn)E，分別以A，E為圓心，大于為半徑畫弧交點(diǎn)為M，連接CM與AE的交點(diǎn)D即為所求，如圖；(2)解：∵，∴∵即解得∴的長為8．【點(diǎn)撥】本題考查了作垂線，含30°的直角三角形，余弦．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握．3．如圖：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，sin∠BAC=．以斜邊AB為x軸建立直角坐標(biāo)系上，點(diǎn)C（1，4）在反比例函數(shù)y=的圖象上．（1）.求k的值和邊AC的長（2）.求點(diǎn)B的坐標(biāo)【答案】（1）AC=5（2）B(,0)【分析】（1）本題需先根據(jù)C點(diǎn)的坐標(biāo)在反比例函數(shù)y=的圖象上，從而得出k的值，再根據(jù)且sin∠BAC=，得出AC的長．（2）本題需先根據(jù)已知條件，得出∠DAC=∠DCB，從而得出CD的長，根據(jù)點(diǎn)B的位置即可求出正確答案．解：（1）∵C（1，4）在函數(shù)y=的圖象上過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D

∴

K=4

∵sin∠BAC=∴∵CD=4∴AC=5

（2）∵Rt△ABC中，AB為斜邊，且sin∠BAC=∴∴.∴∴AB=∵AD="3,"OD=1∴AO=2∴OB=∴B(,0)舉一反三：【變式1】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，tanB，點(diǎn)O在AB邊上，△ABC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)A的落點(diǎn)與點(diǎn)C重合，點(diǎn)C落在點(diǎn)，點(diǎn)B落在點(diǎn)與BC交于點(diǎn)M，求的長度．【答案】【分析】由銳角三由銳角三角函數(shù)的定義求出BC＝6，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出AO＝OC，證出CM＝，設(shè)＝x，則＝6－x，由勾股定理得出方程：，解方程可得出答案．解：∵∠ACB＝90°，AC＝2，tanB＝，∴，∴BC＝6，∵△ABC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)A的落點(diǎn)與點(diǎn)C重合，點(diǎn)C落在點(diǎn)，∴AO＝OC，∴∠A＝∠ACO，∵∠A＋∠B＝90°，∠ACO＋∠OCB＝90°，∴∠OCB＝∠B，∴∠OCB＝∠，∴CM＝，設(shè)＝x，則＝6－x，∵，∴∴x＝故的長度為．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理，解直角三角形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．【變式2】如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)C作CEBD，交AD的延長線于點(diǎn)E．求證：∠ACD＝∠ECD；連接OE，若AB＝1，tan∠ACD＝2．求OE的長．【答案】(1)見詳解(2)【分析】（1）先證明四邊形BCED是平行四邊形，得到BD=CE=AC，再利用等腰三角形的性質(zhì)即可證明；（2）過點(diǎn)O作OF⊥AD于點(diǎn)F，求得AB=CD=1，AD=BC=DE=2，再求得OF=，EF=3，利用勾股定理即可求解．（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD，∠ADC=90°，BC//DE，∵CE//BD，∴四邊形BCED是平行四邊形，∴BD=CE，∴AC=CE，∴∠ACD=∠ECD；（2）解：過點(diǎn)O作OF⊥AD于點(diǎn)F，則F為AD的中點(diǎn)．∵四邊形ABCD是矩形，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，且AB=1，tan∠ACD=2，∴AB=CD=1，AD=BC，tan∠ACD==2，OB=OD，∴AD=2，由（1）知四邊形BCED是平行四邊形，∴AD=BC=DE=2，∵OB=OD，OF⊥AD，∴OF=AB=，EF=DE+AD=3，∴OE=．【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，熟記各性質(zhì)并求出四邊形BCED是平行四邊形是解題的關(guān)鍵．類型二、特殊角三角函數(shù)的計(jì)算4．計(jì)算：．【答案】【分析】根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，零指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，化簡絕對(duì)值，二次根式的性質(zhì)化簡各數(shù)，然后即可求解．解：原式＝．【點(diǎn)撥】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，掌握負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，零指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，化簡絕對(duì)值，掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】計(jì)算：（﹣）0+（）﹣3+|1﹣|﹣2sin45°．【答案】8【分析】利用零指數(shù)冪的意義，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義，絕對(duì)值的意義和特殊角的三角函數(shù)值解答即可．解：原式＝1+8+

﹣1﹣2×＝1+8+﹣1﹣＝8．【點(diǎn)撥】本題主要考查零指數(shù)冪的意義，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義，絕對(duì)值的意義和特殊角的三角函數(shù)值，掌握相關(guān)定義是解題的關(guān)鍵．【變式2】計(jì)算：．【答案】【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，化簡絕對(duì)值進(jìn)行計(jì)算即可求解．解：原式＝．【點(diǎn)撥】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，掌握二次根式的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，化簡絕對(duì)值是解題的關(guān)鍵．類型三、特殊角三角函數(shù)的計(jì)算5．計(jì)算：．【答案】0【分析】首先根據(jù)二次根式的性質(zhì)、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪及零指數(shù)冪的運(yùn)算法則、特殊角的三角形函數(shù)值，進(jìn)行運(yùn)算，再進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算，即可求得結(jié)果．解：=0【點(diǎn)撥】本題考查了二次根式的性質(zhì)、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪及零指數(shù)冪的運(yùn)算法則、特殊角的三角形函數(shù)值，二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握和運(yùn)用各運(yùn)算法則是解決本題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】計(jì)算：．【答案】6【分析】根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算、指數(shù)冪運(yùn)算、特殊角的三角函數(shù)和去絕對(duì)值運(yùn)算分別求解，再根據(jù)實(shí)數(shù)的加減運(yùn)算法則求解即可得出結(jié)論．解：．【點(diǎn)撥】本題考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算，涉及到負(fù)整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算、指數(shù)冪運(yùn)算、特殊角的三角函數(shù)和去絕對(duì)值運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解決問題的關(guān)鍵．【變式2】計(jì)算：【答案】【分析】對(duì)每一項(xiàng)分別進(jìn)行化簡，然后根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則求得計(jì)算結(jié)果．解：原式【點(diǎn)撥】本題主要考查了實(shí)數(shù)的綜合運(yùn)算能力，是各地中考題中常見的計(jì)算題型．解決此類題目的關(guān)鍵是熟練掌握負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪、分母有理化、特殊角度的三角函數(shù)值等考點(diǎn)的運(yùn)算．類型四、解直角三角形6．如圖，△ABC中，∠ABC＝45°，AD是BC邊上的中線，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，DB＝．(1)求BE的長；(2)若sin∠DAB＝，求△CAD的面積．【答案】(1)3(2)【分析】（1）在直角△BED中，利用∠B的余弦函數(shù)求出BE；（2）利用等腰直角三角形的性質(zhì)先求出DE，再在直角△AED中利用∠DAB的正弦函數(shù)和勾股定理求出AD、AE，最后求出△ABD的面積．利用三角形中線的性質(zhì)可得結(jié)論．解：（1）∵DE⊥AB，∴∠BED＝90°．∵在Rt△BED中，，∴．（2）∵．∴．∴BE＝DE＝3．∵sin∠DAB，∴AD＝5．∴．∴AB＝AE+BE＝4+3＝7．∴．∵AD是BC邊上的中線，∴S△ADC＝S△ABD＝．【點(diǎn)撥】本題主要考查解直角三角形，勾股定理，三角形中線的性質(zhì)．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】如圖，已知四邊形中，，的延長線與的延長線交于點(diǎn)E．若，求的長；若，求的長．（計(jì)算過程和結(jié)果均保留根號(hào)）【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)銳角三角函數(shù)求得BE和CE的長，根據(jù)BC=BE﹣CE即可求得BC的長；（2）根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求出AE，DE即可求解．解：（1）∵，，AB=6，，∴，，∵∠CDE=90°，CD=4，，，∴CE=8，∴BC=BE﹣CE=；（2）∵，，∴，∵∴，∴解得，．【點(diǎn)撥】此題主要考查三角函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟知解直角三角形的方法．【變式2】如圖，小明、小華分別位于一條筆直公路PQ上的兩點(diǎn)A，B處，點(diǎn)C處為一超市．測(cè)得，，A，B之間距離為3.8km，求小明、小華分別距離超市多少千米（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）．參考數(shù)據(jù)：，，，，，．【答案】小明、小華分別距離超市7.7千米和5.6千米．【分析】作交于點(diǎn)D，構(gòu)造直角三角形BCD，直角三角形ACD，利用求出BD，進(jìn)一步可求出BC，AC．解：作交于點(diǎn)D，如圖：∵∴∵∴∴解之得：∵∴∵∴∴小明、小華分別距離超市7.7千米和5.6千米．【點(diǎn)撥】本題考查解非直角三角形，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，解直角三角形．類型五、三角函數(shù)的應(yīng)用7．廣場(chǎng)上有一個(gè)充滿氫氣的氣球P，被廣告條拽著懸在空中，甲乙二人分別站在E、F處，他們看氣球的仰角分別是30度、45度，E點(diǎn)與F點(diǎn)的高度差A(yù)B為1米，水平距離CD為5米，F(xiàn)D的高度為0.5米，請(qǐng)問此氣球有多高？（結(jié)果保留到0.1米）．【答案】此氣球有9.7米高【分析】由于氣球的高度為PA+AB+FD，而AB=1米，F(xiàn)D=0.5米，可設(shè)AP=h，根據(jù)題意列出關(guān)于h的方程即可解答．解：設(shè)AP=h，∵PFB=45°，∴BF=PB=h+1，∴EA=h+6，在RtPEA中，PA=AEtan30°，∴h=(h+6)tan30°，∴，∴h=≈8.2米，∴氣球的高度為PA+AB+FD=9.7米．【點(diǎn)撥】本題考查了一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是正確的運(yùn)用三角函數(shù)知識(shí)解答．舉一反三：【變式1】一艘漁船在海中自西向東航行，速度為28海里/小時(shí)，船在A處測(cè)得燈塔C在北偏東60°方向，半小時(shí)后漁船到達(dá)B點(diǎn)，測(cè)得燈塔C在北偏東15°方向，求船與燈塔間的最近距離．【答案】海里【分析】過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BE⊥AC于點(diǎn)E，在Rt△ABE中，根據(jù)，，求出，，在Rt△BCE中，根據(jù)，得出BE=CE=7海里，求出AC，在Rt△ACD中，根據(jù)，求出結(jié)果即可．解：過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BE⊥AC于點(diǎn)E，如圖所示：根據(jù)題意得：，，（海里），∴，在Rt△ABE中，，，解得：，，在Rt△BCE中，，∴BE=CE=7海里，∴海里，在Rt△ACD中，，解得：．答：船與燈塔間的最近距離為海里．【點(diǎn)撥】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，作出輔助線，構(gòu)造直角三角形，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【變式2】如圖是一座人行天橋的引橋部分的示意圖，上橋通道由兩段互相平行并且與地面成37°角的樓梯AD、BE和一段水平平臺(tái)DE構(gòu)成．已知天橋高度BC=5.4米，引橋水平跨度AB=9米．(1)求水平平臺(tái)DE的長度(2)若與地面垂直的平臺(tái)立柱MN的高度為3米，求兩段樓梯AD、CE的長度之比．（參考數(shù)據(jù)：取sin370.60，cos370.80，tan370.75）【答案】(1)1.8米(2)5：4【分析】（1）延長CE交AB于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作EG⊥AB，垂足為G，由題意得：AD∥EF，從而可得∠EFG＝37°，四邊形ADEF是平行四邊形，進(jìn)而可得AD＝EF，DE＝AF，然后在Rt△BCF中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BF的長，從而求出AF的長，即可解答；（2）根據(jù)題意可得：MN＝EG＝3米，然后在Rt△EFG中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出EF的長，從而求出AD的長，再在Rt△BCF中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出CF的長，從而求出CE的長，進(jìn)行計(jì)算即可解答．（1）解：延長CE交AB于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作EG⊥AB，垂足為G，由題意得：AD∥EF，∴∠A＝∠EFG＝37°，∵DE∥AF，∴四邊形ADEF是平行四邊形，∴AD＝EF，DE＝AF，在Rt△BCF中，BC＝5.4米，∴BF＝≈＝7.2（米），∵AB＝9米，∴DE＝AF＝AB﹣BF＝9﹣7.2＝1.8（米），∴水平平臺(tái)DE的長度約為1.8米；（2）由題意得：MN＝EG＝3米，在Rt△EFG中，EF＝≈＝5（米），∴AD＝EF＝5米，在Rt△BCF中，BC＝5.4米，∴CF＝＝＝9（米），∴CE＝CF﹣EF＝9﹣5＝4（米），∴兩段樓梯AD、CE的長度之比為：5：4．【點(diǎn)撥】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題，平行四邊形的判定，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．8．周末爬山、郊游是現(xiàn)代市民常見的健康休閑生活方式．小丁和小亮兩家相約周末一起去“天然氧吧”大青山游玩．如圖，他們從大青山西坡的B點(diǎn)出發(fā)，沿坡角為37°的山坡走了300米到達(dá)山腰E點(diǎn)處休息；然后又沿著坡角為45°的山坡走了150米到達(dá)山頂A處．求大青山的海拔高度。（結(jié)果精確到個(gè)位，參考數(shù)據(jù)：）【答案】大青山的高度約為285米【分析】過點(diǎn)A作AD⊥BC于D，過點(diǎn)E作EF⊥AD于F，EG⊥BC于G，根據(jù)正弦的定義計(jì)算，得到答案．解：過點(diǎn)A作AD⊥BC于D，過點(diǎn)E作EF⊥AD于F，EG⊥BC于G，則四邊形EGDF為矩形，，在中，∴在中，∴答：大青山的高度約為285米．【點(diǎn)撥】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用—坡度坡角問題，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】如圖，我國一艘海監(jiān)執(zhí)法船在南海海域進(jìn)行常態(tài)化巡航，在A處測(cè)得北偏東30°方向距離為40海里的B處有一艘可疑船只正在向正東方向航行，我海監(jiān)執(zhí)法船便迅速沿北偏東75°方向前往監(jiān)視巡查，經(jīng)過一段時(shí)間在C處成功攔截可疑船只．求我海監(jiān)執(zhí)法船前往監(jiān)視巡查的過程中行駛的路程（即AC長）？（結(jié)果精確到0.1海里，≈1.732，≈1.414，≈2.449）【答案】我國海監(jiān)執(zhí)法船在前往監(jiān)視巡查的過程中行駛了133.8海里【分析】過點(diǎn)C作CDAB，先根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出CD=AD，再設(shè)CD=AD=x海里，再根據(jù)三角函數(shù)求出BD=x海里，再根據(jù)題意列出關(guān)于x的方程，最后根據(jù)勾股定理解答即可．解：過點(diǎn)C作CDAB，如圖所示：BAC=-=，在RtACD中，BAC=ACD=，CD=AD，設(shè)CD=AD=x海里，在RtBCD中，ADC=，CBD=，CBD=，BD=x海里，AD-BD=40，x-x=40，x=60+20，在RtACD中，AC==133.8(海里)，即我國海監(jiān)執(zhí)法船在前往監(jiān)視巡查的過程中行駛了133.8海里．【點(diǎn)撥】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，銳角三角函數(shù)，一元一次方程的應(yīng)用，勾股定理，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形求解．【變式2】某校數(shù)學(xué)興趣小組學(xué)完“三角函數(shù)的應(yīng)用”后，在校園內(nèi)利用三角尺測(cè)量教學(xué)樓AB的高度．如圖，小明同學(xué)站在點(diǎn)D處，將含45°角三角尺的一條直角邊水平放置，此時(shí)三角尺的傾斜邊剛好落在視線CA上，沿教學(xué)樓向前走8米到達(dá)點(diǎn)F處，將含30°角三角尺的短直角邊水平放置，此時(shí)三角尺的斜邊也剛好落在視線EA上，已知小明眼睛到地面的距離為1.6米，求教學(xué)樓AB的高度．點(diǎn)D、F、B在同一水平線上．（參考數(shù)據(jù)：≈1.732，≈0.6，最后結(jié)果保留一位小數(shù)）【答案】20.5米【分析】在兩個(gè)直角三角形中，利用直角三角形的邊角關(guān)系，列方程求出AM，在計(jì)算AB即可．解：如圖，延長交于點(diǎn)，由題意得，，，米，米，設(shè)米．在中，，，在中，，，即，，又，，解得米，即米，∴米，答：教學(xué)樓的高度為20.5米．【點(diǎn)撥】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是解決問題的前提．類型六、利用三角函數(shù)測(cè)高9．目前，各大城市都在積極推進(jìn)公共自行車建設(shè)，努力為人們綠色出行帶來方便．圖（1）所示的是一輛自行車的實(shí)物圖．圖（2）是自行車的車架示意圖．CE=30cm，DE=20cm，AD=25cm，DE⊥AC于點(diǎn)E，座桿CF的長為15cm，點(diǎn)A、E、C、F在同一直線上，且∠CAB=75°．（1）求車架中AE的長；（2）求車座點(diǎn)F到車架AB的距離．（結(jié)果精確到1cm．參考數(shù)據(jù)：sin75°≈0．97，cos75°≈0．26，tan75°≈3．73）【答案】（1）15；（2）58．試題分析：（1）根據(jù)勾股定理求出AE的長；（2）作CG⊥AB于G，求出FG的長，根據(jù)正弦的概念求出點(diǎn)F到車架AB的距離．解：（1）∵DE⊥AC，DE=20，AD=25，由勾股定理得，AE=15；（2）作CG