垂徑定理 省賽獲獎(jiǎng)

24.1.2垂徑定理1.理解圓的軸對(duì)稱性。2.掌握垂徑定理及推論，能用垂徑定理及其推論進(jìn)行有關(guān)計(jì)算和證明，進(jìn)一步應(yīng)用垂徑定理解決實(shí)際問題。3.學(xué)習(xí)中通過對(duì)比理解垂徑定理及其推論，應(yīng)用中將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，培養(yǎng)建模思想和提高分析問題、解決問題的能力。學(xué)習(xí)目標(biāo)：?jiǎn)栴}：你知道趙州橋嗎?它是1300多年前我國(guó)隋代建造的石拱橋,是我國(guó)古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶．它的主橋是圓弧形,它的跨度(弧所對(duì)的弦的長(zhǎng))為37.4m,拱高(弧的中點(diǎn)到弦的距離)為7.2m，你能求出趙洲橋主橋拱的半徑嗎？實(shí)踐探究把一個(gè)圓沿著它的任意一條直徑對(duì)折，重復(fù)幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到什么結(jié)論？可以發(fā)現(xiàn)：圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對(duì)稱軸．活動(dòng)一如圖，AB是⊙O的一條弦，做直徑CD，使CD⊥AB，垂足為E．（1）這個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，它的對(duì)稱軸是什么？（2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些相等的線段和?。繛槭裁?？?思考活動(dòng)二·OABCDE（1）是軸對(duì)稱圖形．直徑CD所在的直線是它的對(duì)稱軸（2）線段：AE=BE

把圓沿著直徑CD折疊時(shí)，CD兩側(cè)的兩個(gè)半圓重合，點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，AE與BE重合，ＡＣ和ＢＣ重合，ＡＤ和ＢＤ重合．AA⌒⌒弧：ＡＣ＝ＢＣ，ＡＤ＝ＢＤ⌒⌒⌒⌒⌒⌒直徑ＣＤ平分弦ＡＢ，并且平分ＡＢ及ＡＣＢ⌒⌒·OABCDE垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．即ＡＥ＝ＢＥＡＤ＝ＢＤ，ＡＣ＝ＢＣ⌒⌒⌒⌒思考：平分弦的直徑垂直于這條弦嗎？

CD⊥AB,

CD是直徑

AE=BE可推得⌒⌒

AC=BC,⌒⌒

AD=BD.平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧.BADCOE平分弦的直徑垂直于弦（）CDBAO1.被平分的弦不是直徑2.被平分的弦是直徑

AB不是直徑AM=BM,CD是直徑

CD⊥AB可推得CD⊥AB,CD是直徑AM=BMAC=BC,⌒⌒AD=BD.⌒⌒可推得ＤＣＡＢMＯ垂徑定理：垂徑定理的推論：

AB不是直徑AC=BC,⌒⌒AD=BD.⌒⌒幾何語言表達(dá)BADCOABDOABDOABCDO圖1ABCDO圖2OABCD圖3圖4圖5圖6ＥＥＥＥＥ下列哪些圖形可以用垂徑定理，你能說明理由嗎？辨別是非練習(xí)2、按圖填空：在⊙O中，（1）若MN⊥AB，MN為直徑，則________，________，________；（2）若AC＝BC，MN為直徑，AB不是直徑，則________，________，________；（3）若MN⊥AB，AC＝BC，則________，________，________；（4）若AN=BN，MN為直徑，則________，________，________．ＡＢNMCＯ⌒⌒判斷下列說法的正誤①平分弧的直徑必平分弧所對(duì)的弦②平分弦的直線必垂直弦③垂直于弦的直徑平分這條弦④平分弦的直徑垂直于這條弦

⑤弦的垂直平分線一定經(jīng)過圓心⑥平分弦所對(duì)的一條弧的直徑必垂直這條弦

⑦在圓中，如果一條直線經(jīng)過圓心且平分弦，必平分此弦所對(duì)的弧辨別是非37.4米7.2米

1300多年前,我國(guó)隋朝建的趙州石拱橋(如圖)的橋拱是圓弧形,它的跨度(弧所對(duì)是弦的長(zhǎng))為37.4m,拱高為7.2m,求橋拱的半徑(精確到0.1m).BODACR解決求趙州橋拱半徑的問題例1.如圖，用ＡＢ表示主橋拱，設(shè)ＡＢ所在圓的圓心為O，半徑為R．經(jīng)過圓心O作弦AB的垂線OC，D為垂足，OC與AB相交于點(diǎn)D，根據(jù)前面的結(jié)論，D是AB的中點(diǎn)，C是ＡＢ的中點(diǎn)，CD就是拱高．⌒⌒⌒.AEBO.AEBOF思路：（由）垂徑定理——構(gòu)造Rt△——

（結(jié)合）勾股定理——建立方程構(gòu)造Rt△的“七字口訣”：

半徑半弦弦心距1．如圖，在⊙O中，弦AB的長(zhǎng)為8cm，圓心O到AB的距離為3cm，求⊙O的半徑．·OABE活動(dòng)三2．如圖，在⊙O中，AB、AC為互相垂直且相等的兩條弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求證四邊形ADOE是正方形．D·OABCE3.在直徑是20cm的中，∠AOB的度數(shù)是，那么弦AB的弦心距是

.⊙O垂徑定理的應(yīng)用1.弓形的弦長(zhǎng)為6cm，弓形的高為2cm，則這弓形所在的圓的半徑為

.2.已知：P為內(nèi)一點(diǎn)，且OP＝2cm，如果的半徑是那么過P點(diǎn)的最短的弦等于

.⊙O⊙O已知：⊙O的半徑為5,弦AB∥CD，AB=6，CD=8.求：AB與CD間的距離思考

1.在直徑為650mm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，若油面寬AB=600mm，求油的最大深度.600練習(xí)ABCDP2.已知：如圖，在⊙O中，直徑AB與弦CD相交于P，且∠APC=45°,AP=5,PB=1求CD的長(zhǎng)E4.已知：如圖，在同心圓O中，大⊙O的弦AB交小⊙O于C,D兩點(diǎn)求證：AC=DBE某地有一座圓弧形拱橋圓心