2021年湖南省長沙市電子工業(yè)學校高三數(shù)學理模擬試題含解析

2021年湖南省長沙市電子工業(yè)學校高三數(shù)學理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知橢圓與雙曲線的焦點相同，且橢圓上任意一點到兩焦點的距離之和為，那么橢圓的離心率等于(

)A.

B.

C.

D.參考答案：B，，選B.2.已知定義在上的函數(shù)的導函數(shù)為，且，，則的解集為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：D依題意，，則，即，故，故；因為，故，故；易知當時，，故只需考慮的情況即可；因為，可知當時，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增；注意到，故的解集為，故選D.3.若,則點Q位于

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限參考答案：D略4.如果實數(shù)滿足不等式組則的最小值是A．25

B．5

C．4

D．1參考答案：B在直角坐標系中畫出不等式組

所表示的平面區(qū)域如圖1所示的陰影部分，x2+y2的最小值即表示陰影部分（包含邊界）中的點到原點的距離的最小值的平方，由圖可知直線x?y+1=0與直線x=1的交點(1，2)到原點最近，故x2+y2的最小值為12+22=5.選B.5.兩個非零向量滿足，則向量與夾角為（

）A. B. C. D.參考答案：B【分析】先由得到；再由得到，設(shè)向量與夾角為，根據(jù)向量夾角公式即可求出結(jié)果.【詳解】因為，所以，即，所以；又，所以，故，即，所以，設(shè)向量與夾角為，則，所以向量與夾角為.故選B【點睛】本題主要考查求向量的夾角，熟記向量數(shù)量積的運算法則以及模的計算公式即可，屬于常考題型.6.已知實數(shù)滿足，則下列關(guān)系式恒成立的是（

）A． B.

C.

D.參考答案：【知識點】指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)．A

解：∵實數(shù)x，y滿足ax＜ay（0＜a＜1），∴x＞y，A．當x＞y時，x3＞y3，恒成立，B．當x=π，y=時，滿足x＞y，但sinx＞siny不成立．C．若ln（x2+1）＞ln（y2+1），則等價為x2＞y2成立，當x=1，y=﹣1時，滿足x＞y，但x2＞y2不成立．D．若＞，則等價為x2+1＜y2+1，即x2＜y2，當x=1，y=﹣1時，滿足x＞y，但x2＜y2不成立．故選：A．【思路點撥】不等式的大小比較，利用函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)依此判斷即可.7.對于集合A，定義了一種運算“⊕”，使得集合A中的元素間滿足條件：如果存在元素e∈A，使得對任意a∈A，都有e⊕a=a⊕e=a，則稱元素e是集合A對運算“⊕”的單位元素．例如：A=R，運算“⊕”為普通乘法；存在1∈R，使得對任意a∈R，都有1×a=a×1=a，所以元素1是集合R對普通乘法的單位元素．下面給出三個集合及相應(yīng)的運算“⊕”：①A=R，運算“⊕”為普通減法；②A={Am×n|Am×n表示m×n階矩陣，m∈N*，n∈N*}，運算“⊕”為矩陣加法；③A={X|X?M}（其中M是任意非空集合），運算“⊕”為求兩個集合的交集．其中對運算“⊕”有單位元素的集合序號為（） A．①② B． ①③ C． ①②③ D． ②③參考答案：考點： 進行簡單的合情推理．專題： 計算題；推理和證明．分析： 根據(jù)單位元素的定義，對三個集合及相應(yīng)的運算“⊕”進行檢驗即可．解答： 解：①若A=R，運算“⊕”為普通減法，而普通減法不滿足交換律，故沒有單位元素；②A={Am×n|Am×n表示m×n階矩陣，m∈N*，n∈N*}，運算“⊕”為矩陣加法，其單位元素為全為0的矩陣；③A={X|X?M}（其中M是任意非空集合），運算“⊕”為求兩個集合的交集，其單位元素為集合M．故選D．點評： 本題考查了學生對新定義的接受與應(yīng)用能力，屬于基礎(chǔ)題．8.函數(shù)，則

A．

B．

C．

D．

參考答案：B略9.設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2.以F1為圓心，|F1F2|為半徑的圓與雙曲線在第一、二象限內(nèi)依次交于AB兩點.若|F1B|=3|F2A|,則該雙曲線的離心率是（）A.

B.

C.

D.2參考答案：C如圖所示，根據(jù)已知可得，，又，所以，即，又因為，所以,所以。10.設(shè)函數(shù)是定義在上的可導函數(shù)，其導函數(shù)為，且有，則不等式的解集為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（09南通交流卷）為了解一片大約一萬株樹木的生長情況，隨機測量了其中100株樹木的底部周長（單位：㎝）.根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出的樣本頻率分布直方圖如圖，那么在這片樹木中，底部周長小于110㎝的株樹大約是

▲

參考答案：答案：700012.觀察下列各式：=3125，=15625，=78125，…，則的末四位數(shù)字為

.參考答案：312513.已知向量，滿足-=(0，5)，=(1，2)，則向量在向量方向上的投影為

．參考答案：14.在△ABC中，，點D在邊BC上，，，，則AC＋BC＝_________________.參考答案：【知識點】解三角形

C8【答案解析】

解析：，,故答案為：【思路點撥】根據(jù)三角形的邊角關(guān)系，利用正弦定理和余弦定理求出BD，CD和AD的長度，即可得到結(jié)論．15.已知菱形ABCD中，對角線AC＝，BD＝1，P是AD邊上的動點（包括端點），則的取值范圍為_______．參考答案：【分析】由AC⊥BD得，以對角線BD，AC為x軸、y軸建立直角坐標系，設(shè)P（x，y），.由可得，代入，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求取值范圍.【詳解】由AC⊥BD得，以對角線BD，AC分別為x軸、y軸建立如圖所示的直角坐標系，∵AC＝，BD＝1，∴，∵P是AD邊上的動點，設(shè)P（x，y），，，∵，∵∴根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當x＝時，最小值為.當x＝時，最大值為.所以，的取值范圍為故答案為：【點睛】本題主要考查了向量數(shù)量積的坐標表示的應(yīng)用，二次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題.16.已知函數(shù)，則=．參考答案：8考點：對數(shù)的運算性質(zhì)；函數(shù)的值．專題：計算題．分析：先求f（﹣4），根據(jù)分段函數(shù)解析式求f[f（﹣4）]；利用對數(shù)運算性質(zhì)=n，求f（log2）的值，然后求和即可．解答：解：f（﹣4）=24=16，∴f[f（﹣4）]=f（16）=log416=2；∵log2=﹣log26＜0，∴f（log2）==6，∴f[f（﹣4）]+f（log2）=8．故答案是8．點評：本題借助求函數(shù)值，考查了對數(shù)的運算性質(zhì)，計算要細心．17.已知a＞0，展開式的常數(shù)項為15，則=．參考答案：【考點】67：定積分；DB：二項式系數(shù)的性質(zhì)．【分析】根據(jù)二項式定理計算a，再根據(jù)定積分的幾何意義和性質(zhì)計算即可．【解答】解：∵展開式的常數(shù)項為15，∴C（）4x2=15，∴a4=1，又a＞0，∴a=1．∵y=表示半徑為1的上半圓，y=sin2x是奇函數(shù)，∴=，=0，∴==．故答案為：．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在四棱錐P-ABCD中，，，，，，點E為PA的中點．（1）求證：平面；（2）若平面平面，求直線與平面所成角的正弦值．參考答案：（1）見解析；（2）分析：（1）取中點，連結(jié)．先證明，再證明平面．（2）利用向量的方法求直線與平面所成角的正弦值．詳解：（1）取中點，連結(jié)．因為點為的中點，所以且，又因為且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面．（2）在平面中，過作，在平面中，過作．因為平面平面，平面平面，所以平面，所以，所以兩兩互相垂直.以為原點，向量的方向分別為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標系（如圖），則，，，，，

7分所以，，，設(shè)是平面的一個法向量，則即取，得．設(shè)直線與平面所成角為．則，所以直線與平面所成角的正弦值為．點睛：本題主要考查空間幾何位置關(guān)系的證明和線面角的求法，意在考查學生位置關(guān)系的證明和線面角的計算等基礎(chǔ)知識的掌握能力和基本運算能力.位置關(guān)系的證明和空間角的求法都有兩種方法，一是幾何方法，一是向量的方法，注意理解掌握和靈活運用.19.等差數(shù)列數(shù)列滿足

(1)求數(shù)列的通項公式；

(2)求數(shù)列的前項和。

參考答案：(1)(2)解析：（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，因為a7=4，a19=2a9，所以，解得a1=1，d=，所以等差數(shù)列{an}的通項公式為；

（2）由（1）得

…………8分則…………9分…………10分所以…………10分

…………13分得……………………14分

略20.（本小題滿分13分）設(shè)是數(shù)列{}的前n項和，（I）求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求{}的通項；（II）記，求數(shù)列的前n項和Tn。參考答案：（Ⅰ），∴，

……2分即，，∴數(shù)列是等差數(shù)列．

……4分由上知數(shù)列是以2為公差的等差數(shù)列，首項為，

……5分∴，∴．

……7分∴．

（或由得）由題知，綜上， ……9分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

……10分∴，

……12分∴．

……13分21.（本小題滿分l2分）設(shè)橢圓的焦點分別為、，直線：交軸于點，且．（1）試求橢圓的方程；（2）過、分別作互相垂直的兩直線與橢圓分別交于、、、四點（如圖所示）

試求四邊形面積的最大值和最小值．參考答案：所以，，所以，，同理

………9分所以四邊形的面積22.已知-2（1）求的最大值及相應(yīng)的值；

（2）當時，已知，求的值.參考答案：（1）

1分

3分

5分所