帶電粒子在磁場中的臨界問題

帶電粒子在磁場中的臨界問題第一頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期日第二頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期日圖6-2-1【例1】真空中寬為d的區(qū)域內(nèi)有強度為B的勻強磁場，方向如圖6-2-1所示，質(zhì)量m帶電量-q的粒子以與CD成q角的速度v0垂直射入磁場中．要使粒子必能從EF射出，則初速度v0應(yīng)滿足什么條件？EF上有粒子射出的區(qū)域？一、處理同源帶電粒子在磁場中運動的臨界極值思維方法

--放縮法思維導(dǎo)圖第三頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期日1．帶電粒子在平行直線邊界磁場中的運動①速度較小時，作半圓運動后從原邊界飛出；②速度增加為某臨界值時，粒子作部分圓周運動其軌跡與另一邊界相切；③速度較大時粒子作部分圓周運動后從另一邊界飛出SBPSSQPQQ①速度較小時，作圓周運動通過射入點；②速度增加為某臨界值時，粒子作圓周運動其軌跡與另一邊界相切；③速度較大時粒子作部分圓周運動后從另一邊界飛出圓心在過入射點跟跟速度方向垂直的直線上圓心在過入射點跟邊界垂直的直線上圓心在磁場原邊界上量變積累到一定程度發(fā)生質(zhì)變，出現(xiàn)臨界狀態(tài)P①速度較小時，作圓弧運動后從原邊界飛出；②速度增加為某臨界值時，粒子作部分圓周運動其軌跡與另一邊界相切；③速度較大時粒子作部分圓周運動后從另一邊界飛出第四頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期日【分析】如圖甲所示，當入射速度很小時電子會在磁場中轉(zhuǎn)動一段圓弧后又從同一側(cè)射出，速率越大，軌道半徑越大，當軌道與邊界相切時，電子恰好不能從另一側(cè)射出，當速率大于這個臨界值時便從右邊界射出，依此畫出臨界軌跡，借助幾何知識即可求解速度的臨界值；對于射出區(qū)域，只要找出上下邊界即可．第五頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期日【解析】粒子從A點進入磁場后受洛倫茲力做勻速圓周運動，要使粒子必能從EF射出，則相應(yīng)的臨界軌跡必為過點A并與EF相切的軌跡如圖乙所示，作出A、P點速度的垂線相交于O即為該臨界軌跡的圓心．設(shè)臨界半徑R0，由R0(1+cos

)=d得：R0=；故粒子必能穿出EF的實際運動軌跡半徑R≥R0即：R=≥

得：v0≥第六頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期日由圖知粒子不可能從P點下方射出EF，即只能從P點上方某一區(qū)域射出；又由于粒子從點A進入磁場后所受洛倫茲力必使其向右下方偏轉(zhuǎn)，故粒子不可能從AG直線上方射出；由此可見EF中有粒子射出的區(qū)域為PG，且由圖知：PG=R0sin+dcot=+dcot

.【評析】帶電粒子在磁場中以不同的速度運動時，圓周運動的半徑隨著速度的變化而變化，因此可以將半徑放縮，運用“放縮法”探索出臨界點的軌跡，使問題得解；對于范圍型問題，求解時關(guān)鍵是尋找引起范圍的“臨界軌跡”及“臨界半徑R0”，然后利用粒子運動的實際軌道半徑R與R0的大小關(guān)系確定范圍．第七頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期日總結(jié)：放縮法帶電粒子以任意速度沿特定方向射入勻強磁場時，它們將在磁場中做勻速圓周運動，其軌跡半徑隨速度的變化而變化，如圖所示，(圖中只畫出粒子帶正電的情景)，速度v0越大，運動半徑也越大．可以發(fā)現(xiàn)這樣的粒子源產(chǎn)生的粒子射入磁場后，它們運動軌跡的圓心在垂直速度方向的直線PP′上．由此我們可得到一種確定臨界條件的方法：在確定這類粒子運動的臨界條件時，可以以入射點P為定點，圓心位于PP′直線上，將半徑放縮作軌跡，從而探索出臨界條件，使問題迎刃而解，這種方法稱為“放縮法”．第八頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期日變式題1第九頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期日第十頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期日2．帶電粒子在矩形邊界磁場中的運動oBdabcθB圓心在磁場原邊界上圓心在過入射點跟速度方向垂直的直線上①速度較小時粒子作半圓運動后從原邊界飛出；②速度在某一范圍內(nèi)時從側(cè)面邊界飛出；③速度較大時粒子作部分圓周運動從對面邊界飛出。①速度較小時粒子做部分圓周運動后從原邊界飛出；②速度在某一范圍內(nèi)從上側(cè)面邊界飛；③速度較大時粒子做部分圓周運動從右側(cè)面邊界飛出；④速度更大時粒子做部分圓周運動從下側(cè)面邊界飛出。量變積累到一定程度發(fā)生質(zhì)變，出現(xiàn)臨界狀態(tài)（軌跡與邊界相切）第十一頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期日例3.如圖所示，一足夠長的矩形區(qū)域abcd內(nèi)充滿方向垂直紙面向里的、磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場，在ad邊中點O方向垂直磁場射入一速度方向跟ad邊夾角θ=300

、大小為v0的帶電粒子，已知粒子質(zhì)量為m、電量為q，ab邊足夠長，ad邊長為L，粒子的重力不計。求：⑴.粒子能從ab邊上射出磁場的v0大小范圍。⑵.如果帶電粒子不受上述v0大小范圍的限制，求粒子在磁場中運動的最長時間。V0Oabcd第十二頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期日V0Oabcdθ300600●●第十三頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期日例1．如圖,在一水平放置的平板MN上方有勻強磁場,磁感應(yīng)強度的大小為B,磁場方向垂直于紙面向里,許多質(zhì)量為m,帶電量為+q的粒子,以相同的速率v沿位于紙面內(nèi)的各個方向,由小孔O射入磁場區(qū)域,不計重力,不計粒子間的相互影響.下列圖中陰影部分表示帶電粒子可能經(jīng)過的區(qū)域,其中R=mv/qB.哪個圖是正確的?MNBO2RR2RMNO2RR2RMNO2R2R2RMNOR2R2RMNOD.A.B.C.二、處理一群帶電粒子在磁場中運動的臨界極值思維方法

--平移法第十四頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期日解：帶電量為+q的粒子,以相同的速率v沿位于紙面內(nèi)的各個方向,由小孔O射入磁場區(qū)域,由R=mv/qB,各個粒子在磁場中運動的半徑均相同,在磁場中運動的軌跡圓圓心是在以O(shè)為圓心、以R=mv/qB為半徑的1/2圓弧上,如圖虛線示:各粒子的運動軌跡如圖實線示:帶電粒子可能經(jīng)過的區(qū)域陰影部分如圖斜線示2RR2RMNO第十五頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期日總結(jié)：平移法第十六頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期日第十七頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期日第十八頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期日本題是粒子以一定速度沿任意方向射入磁場的問題，由平移法做出軌跡圓心圓（如虛圓），再做動態(tài)圓，找臨界狀態(tài)（如圖P1P2）。第十九頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期日第二十頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期日第二十一頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期日【變式題2】(2010·新課標)如圖6-1-3所示，在0≤x≤a、0≤y≤

范圍內(nèi)有垂直于xy平面向外的勻強磁場，磁感應(yīng)強度大小為B.坐標原點O處有一個粒子源，在某時刻發(fā)射大量質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子，它們的速度大小相同，速度方向均在xy平面內(nèi)，與y軸正方向的夾角分布在0～90°范圍內(nèi)．已知粒子在磁場中做圓周運動的半徑介于

到a之間，從發(fā)射粒子到粒子全部離開磁場經(jīng)歷的時間恰好為粒子在磁場中做圓周運動周期的四分之一．求最后離開磁場的粒子從粒子源射出時的(1)速度的大?。?2)速度方向與y軸正方向夾角的正弦．第二十二頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期日分析：本題是粒子以一定速度沿任意方向射入磁場的問題，由平移法做出軌跡圓心圓（如虛圓），

再做動態(tài)圓，找臨界狀態(tài)。最后離開磁場的粒子在磁場中的圓周運動的弦最長，經(jīng)歷的時間恰好為粒子在磁場中做圓周運動周期的四分之一．則粒子速度方向改變900粒子也即粒子半徑轉(zhuǎn)過的最大圓心角為900在動態(tài)圓中與邊界相切的這種情況弦最長，對應(yīng)的圓心角為900，最后射出磁場第二十三頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期日【解析】(1)設(shè)粒子的發(fā)射速度為v，粒子做圓周運動的軌道半徑為R，由牛頓第二定律和洛倫茲力公式，得qvB=m

①由①式得R=②當a/2<R<a時，在磁場中運動時間最長的粒子，其軌跡是圓心為C的圓弧，圓弧與磁場的上邊界相切，第二十四頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期日如右圖所示，設(shè)該粒子在磁場運動的時間為t，依題意t=T/4，得∠OCA=③設(shè)最后離開磁場的粒子的發(fā)射方向與y軸正方向的夾角為a，由幾何關(guān)系可得Rsina=R-④Rsina=a-Rcosa

⑤又sin2a+cos2a=1⑥由④⑤⑥式得R=(2-)a

⑦由②⑦式得v=(2-)⑧(2)由④⑦式得sina=⑨第二十五頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期日小結(jié)1.帶電粒子進入有界磁場,運動軌跡為一段弧線.2.當同源粒子垂直進入磁場的運動軌跡3.注意圓周運動中的有關(guān)對稱規(guī)律:(2)粒子進入單邊磁場時,入射速度與邊界夾角等于出射速度與邊界的夾角;(1)在圓形磁場區(qū)域內(nèi),沿徑向射入的粒子,必沿徑向射出.第二十六頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期日練習(xí)1第二十七頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期日第二十八頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期日一定速度的粒子沿各個方向從內(nèi)圓射出時與內(nèi)圓相切方向射入磁場徑向距離最大，最易射出磁場（平移法做出軌跡圓心圓如虛圓，如左圖）當粒子以大小不同的速度沿與內(nèi)圓相切方向射入磁場（由放縮法知）軌道與外圓相切時對應(yīng)的速度是所有粒子射不出磁場的最大速度第二十九頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期日第三十頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期日練習(xí)2第三十一頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期日平移法做出軌跡圓心圓如虛圓，如左圖第三十二頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期日第三十三頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期日第三十四頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期日練習(xí)3第三十五頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期日第三十六頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期日練習(xí)4第三十七頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期日第三十八頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期日練習(xí)5放縮法第三十九頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期日第四十頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期日第四十一頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期日兩平面熒光屏互相垂直放置，在兩屏內(nèi)分別取垂直于兩屏交線的直線為x軸和y軸，交點O為原點，如圖6-3-1所示．在y>0,0<x<a的區(qū)域有垂直于紙面向里的勻強磁場，在y>0，x>a的區(qū)域有垂直于紙面向外的勻強磁場，兩區(qū)域內(nèi)的磁感應(yīng)強度大小均為B.在O點處有一小孔，一束質(zhì)量為m、帶電量為q(q>0))的粒子沿x軸經(jīng)小孔射入磁場，最后打在豎直和水平熒光屏上，使熒光屏發(fā)亮．入射粒子的速度可取從零到某一最大值之間的各種數(shù)值．已知速度最大的粒子在0<x<a的區(qū)域中運動的時間與在x>a的區(qū)域中運動的時間之比為2∶5，在磁場中運動的總時間為7T/12，其中T為該粒子在磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場中做圓周運動的周期．試求兩個熒光屏上亮線的范圍(不計重力的影響)．第四十二頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期日【分析】此類題的關(guān)鍵是尋找臨界點，有效的方法是通過縮放法畫動態(tài)圓，找到“臨界是點”．同時準確判定在不同磁場中的運動情況．【解析】對于y軸上的光屏亮線范圍的臨界條件如圖(1)所示：帶電粒子的軌跡和x=a相切，此時r=a，y軸上的最高點為y=2r=2a，故亮線在y軸上的范圍是0＜y≤2a；第四十三頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期日對于x軸上光屏亮線范圍的臨界條件如圖(2)所示：左邊界的極限情況還是和x=a相切，此刻，帶電粒子在右邊的軌跡是個圓，由幾何知識得到圓心在x軸上的坐標為x=2a；速度最大的粒子軌跡是圖(2)中的實線，由兩段圓弧組成，圓心分別是C和C′，由對稱性得到C′在x軸上，設(shè)在左右兩部分磁場中運動時間分別為t1和t2，滿足

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