工業(yè)機器人第三章歐拉角DH參數(shù)

工業(yè)機器人第三章歐拉角DH參數(shù)第一頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日第二頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日

3.6RPY角和歐拉角

(一)RPY角

RPY角是描述船舶在海中航行時姿態(tài)的一種方法。將船的行駛方向取為Z軸，則繞Z軸的旋轉(zhuǎn)(α角)稱為滾動(Roll)；把繞Y軸的旋轉(zhuǎn)(β角)稱為俯仰(Pitch)；而把垂直方向取為X軸，將繞X軸的旋轉(zhuǎn)(γ角)稱為偏轉(zhuǎn)(Yaw)，如右圖1-9所示。操作臂手爪姿態(tài)的規(guī)定方法類似(如圖1-10)，故習慣上稱為RPY角方法。1-9滾動、俯仰、偏轉(zhuǎn)1-10機器人手的滾動、俯仰、偏轉(zhuǎn)第三頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日

這種描述活動坐標系方位的法則如下：活動系的初始方位與固定坐標系重合，首先將活動系繞固定坐標系的X軸旋轉(zhuǎn)γ角，再繞固定坐標系的Y軸轉(zhuǎn)β角，最后繞固定坐標系的Z軸轉(zhuǎn)α角，如圖1-11所示。因為三次旋轉(zhuǎn)都是相對于固定坐標系的，所以得相應的旋轉(zhuǎn)矩陣：1-11RPY角第四頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日其中：將矩陣相乘得：

它表示繞固定坐標系的三個軸依次旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)矩陣，因此稱為繞固定軸X-Y-Z旋轉(zhuǎn)的RPY角法?！?.(11)第五頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日

現(xiàn)在來討論逆問題：從給定的旋轉(zhuǎn)矩陣求出等價的繞固定軸X-Y-Z的轉(zhuǎn)角γ、β、α。令：

式中有3個未知數(shù)，共9個方程，其中6個方程不獨立因此可以利用其中的3個方程解出未知數(shù)?！?.(12)第六頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日由式(11)、(12)可以看出：如果cosβ≠0，則得到各個角的反正切表達式:

式中，Atan(y，x)是雙變量反正切函數(shù)。式(13)中的根式一般有兩個解，我們總是取-900≤β≤900中的一個解?！?.(13)第七頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日(二)歐拉角1．繞運動系X-Y-Z轉(zhuǎn)動的歐拉角這種坐標系運動的描述如下：運動坐標系的初始方位與參考系相同，首先使運動系繞Z軸轉(zhuǎn)α角，然后繞運動系的Y軸轉(zhuǎn)β角，最后繞運動系的X軸轉(zhuǎn)γ角，如圖1-12所示。這種描述法中的各次轉(zhuǎn)動都是相對于運動坐標系的某軸進行的，而不是相對于固定的參考系。這樣的三次轉(zhuǎn)動角稱為歐拉角。因此可以得出歐拉變換矩陣1-12繞Z-Y-X轉(zhuǎn)動的歐拉角第八頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日歐拉變換矩陣：其中：將矩陣相乘得：第九頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日

這一結(jié)果與繞固定軸X-Y-Z旋轉(zhuǎn)的結(jié)果完全相同。這是因為繞固定軸旋轉(zhuǎn)的順序與繞運動軸旋轉(zhuǎn)的順序相反，且旋轉(zhuǎn)的角度也對應相等時，所得到的變換矩陣是相同的。因此，用Z-Y-X歐拉角與固定軸X-Y-Z轉(zhuǎn)角描述運動坐標系是完全等價的。第十頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日2．繞Z-Y-Z轉(zhuǎn)動的歐拉角這種坐標系運動的描述如下：最初，坐標系與參考坐標系重合。首先使運動系繞Z軸轉(zhuǎn)動α角，然后繞運動系的Y軸轉(zhuǎn)β角，最后繞運動系的Z軸轉(zhuǎn)γ角，如圖3-9所示。

繞Z-Y-Z轉(zhuǎn)動的歐拉角第十一頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日

可以求得：第十二頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日同樣，求Z-Y-Z歐拉角的逆解方法如下：如果sinβ≠0，則:令：第十三頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日第十四頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日(1)Zi坐標軸是沿著i+1關(guān)節(jié)的運動軸。(2)Xi軸是沿著Zi和Zi-1的公垂線，指向離開Zi-1軸的方向。(3)Yi軸的方向按構(gòu)成XiYiZi右手直角坐標系來建立。(4)公垂線長度ai是Zi-1

和Zi兩軸間的最小距離，一段稱ai

為連桿長度。(5)兩公垂線ai-1和ai之間的距離稱為連桿距離di。(6)Xi-1軸與Xi之間的夾角為θi，以繞Zi-1軸右旋為正，一般稱為連桿的夾角。(7)Zi-1軸與Zi之間的夾角為αi，以繞Xi軸右旋為正，αi稱為扭轉(zhuǎn)角。轉(zhuǎn)動連桿參數(shù)3.7機器人連桿參數(shù)及其D—H坐標變換第十五頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日第十六頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日

若兩桿以移動副連接，則連桿構(gòu)件坐標系的建立及參數(shù)的規(guī)定如圖2-2所示。圖中各符號所表示的意義仍與圖2-1相同。由于對于移動副來說，連桿長度ai

已經(jīng)沒有意義，故令其為零，形成的構(gòu)件坐標系見圖2-2。

移動連桿參數(shù)第十七頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日

由圖2-1和圖2-2可知，四個參數(shù)ai，di，θi，αi完全確定了連桿i-1和連桿i之間的相對關(guān)系，一般ai，αi為常量，由連桿i的形狀確定。對于轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)，di是常量，θi為變量；對于移動關(guān)節(jié)θi是常量，di是變量。根據(jù)上述模式，我們給所有連桿賦予坐標系，并且可以建立i-1和i坐標系之間的變換關(guān)系。應當說明的是，盡管Zi軸通過關(guān)節(jié)i+1的軸線，但坐標系XiYiZi是固定在連桿i上的，隨連桿i運動而一起運動。第十八頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日1．旋轉(zhuǎn)連桿坐標系及其D-H坐標變換

第十九頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日第二十頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日2．移動連桿坐標系及其連桿的D-H坐標變換

第二十一頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日第二十二頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日第二十三頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日

第三節(jié)建立機器人機構(gòu)運動學方程的實例根據(jù)上節(jié)所述方法，首先建立機器人各桿件的構(gòu)件坐標系，從而得出齊次變換矩陣Ti。一個T矩陣僅能描述連桿坐標系之間相對平移和旋轉(zhuǎn)的一次齊次變換。T1描述第一個連桿相對于某個坐標系(如機身)的位姿，T2描述第二個連桿(構(gòu)件)坐標系相對于第一個連桿(構(gòu)件)坐標系的位姿。

第二十四頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日

若有一個六連桿機器人，機器人手的末端(即連桿坐標系6)相對于固定坐標系的變換可表示為第二十五頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日

一個六連桿機器人有六個自由度(每個連桿有一個自由度)。機器人最后一個構(gòu)件(手部)有三個自由度用來確定其位置，三個自由度用來確定其方向。對如圖2-3所示的一個機器人手部，我們可以把描述其位置和方向的坐標系原點定在兩個手指的中點，用一個向量p描述這個原點。用三個向量n、o、a描述機器人的姿態(tài)。圖2-3手抓坐標系第二十六頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日

當手部處于初始位置和姿態(tài)時，向量Z指向手接近物體的方向。其單位向量a稱為接近向量。向量Y的單位向量o稱為方位向量。最后一個單位向量稱為正交向量n。上述向量構(gòu)成右手矢量積，它們用向量的矢量積來表示：n=oxa

這樣，變換T60可用下列矩陣表示:第二十七頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日

根據(jù)前面兩式即可建立機器人的位姿方程。坐標變換圖如圖2-4所示。圖2-4機器人手的坐標變換圖第二十八頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日

下面給出兩個機器人手運動方程的求解實例

[例1]

PUMA560六自由度機械手由轉(zhuǎn)動坐標臂(RRR)和歐拉腕組成，其結(jié)構(gòu)示意圖參看圖2-5。關(guān)節(jié)變量為θ1,θ2

,…,θ6，若己知PUMA560六自由度機械手θ1＝900,θ2＝00

,θ3＝900,θ4＝00

，θ5＝00

，θ6＝00

，a2＝431.8mm,d2＝149.09mm，d4＝433.07mm，d6＝56.25mm。求Ti(i＝l，2，3，4，5，6)及T60的表達式及當θi取給定值時末桿的位姿。第二十九頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日圖2-5PUMA-560機械手坐標系第三十頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日

[解]

(1)設(shè)定機器人各桿的坐標系按D—H坐標系建立各桿的坐標系如圖2-5所示。將o0z0設(shè)置在關(guān)節(jié)1的轉(zhuǎn)軸上，o0和o1重合；o1z1o2z2分別沿關(guān)節(jié)2、3的轉(zhuǎn)軸，o1z1

／／o2z2。z3與z2軸的交點為o3；o2和o3重合，d3＝0,o3x3y3z3并非置于臂的終端。o3z3是腕的第一個轉(zhuǎn)軸。z4與z3的交點為o4

，設(shè)在臀的終端，是腕結(jié)構(gòu)的中心，o4z4是腕的第二個轉(zhuǎn)軸；z5與z4的交點為o5。o4和o5重合，o5z5是腕的第三個轉(zhuǎn)軸。o6x6y6z6為終端坐標系，該坐標系考慮了工具長度d6。y6、x6、z6的單位向量分別記為n、o、a。第三十一頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日

(2)確定連桿的D-H參數(shù)和關(guān)節(jié)變量連桿變量αadcosαsinα1θ1-90°000-12θ20°a2d2103θ390°00014θ4-90°0d40-15θ590°00016θ60°0d610第三十二頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日

(3)求兩桿間的位姿矩陣Ai

根據(jù)表2-1所示的D-H參數(shù)和公式(1)可求得Ai其中：第三十三頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日

(4)求末桿位姿矩陣令：可得第三十四頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日式中：第三十五頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日…..(5)第三十六頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日根據(jù)式(3)和式(4)可得：式中：……..(6)第三十七頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日

若令θ1＝900,θ2＝00

,θ3＝900,θ4＝00

θ5＝00

θ6＝00，并將有關(guān)常量代入T6矩陣，則有：第三十八頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日[例2]

斯坦福機器人的結(jié)構(gòu)示意圖如圖2-6，它由球面坐標臂(RRP)和歐拉腕組成。求Ai(i=1，2，3，4，5，6)及T6的表達式。

[解]

(1)設(shè)定機器人各桿的坐標系按D—H坐標系建立各桿的坐標系如圖2-6所示。圖中z0軸沿關(guān)節(jié)1的軸，zi軸沿關(guān)節(jié)(i+1)的軸,令所有xi軸與機座坐標系x0軸平行，y軸按右手坐標系確定。原點o0和o1重合，o3、o4、o5、o6重合。第三十九頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日

(2)確定連桿的D-H參數(shù)和關(guān)節(jié)變量連桿的D-H參數(shù)見表2-2連桿變量αadcosαsinα1θ1-90°000-12θ290°0d2013θ30°0

d3

104θ4-90°000-15θ590°00016θ60°0010表2-2斯坦福機器人的D-H參數(shù)第四十頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日

(3)求兩桿間的位姿矩陣Ai

根據(jù)表2-2所示的D-H參數(shù)和公式(1)可求得Ai其中：第四十一頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日

(4)求機器人的運動學方程其中：第四十二頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日

第四節(jié)機器人位移分析的逆問題前面介紹了如何建立機器人的運動學方程。對于具有n個自由度的操作臂而言，其運動學方程可以寫成：

方程左邊表示末端連桿相對于參考坐標系的位姿。根據(jù)機器人各個關(guān)節(jié)變量qi(i＝1，2，…，n)的值，便可計算出機器人末端的位姿方程，稱為機械手的運動分析，或正向運動學；反之，為了使機器人所握工具相對參考系的位姿滿足給定的要求，計算相應的關(guān)節(jié)變量，這一過程稱為運動學逆解。第四十三頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日

從工程應用的角度而言，運動學逆解往往更重要，它是機器人運動規(guī)劃和軌跡控制的基礎(chǔ)。

正向運動學的解是唯一確定的，即各個關(guān)節(jié)變量給定之后，手臀末端的手爪或工具的位姿是唯一確定的；然而運動學逆解往往具有多重解，也可能不存在解。此外，對于運動學逆解而言，僅僅用某種方法求解是不夠的，對于各種計算方法的計算效率、計算精度均有較多要求。下面以PUMA機器人為例來探討機器人的運動學逆解。第四十四頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日

[例3]

求例1中PUMA560機械人的運動學逆解

[解]PUMA機械人的運動學方程(6)可以寫成

在矩陣方程(7)中，左邊的矩陣元素nx,…,pz是已知的，而右邊的六個矩陣是未知的，它們依賴于關(guān)節(jié)變量θ1,…,θ6

?！?.(7)第四十五頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日(1)求解θ1、θ3

用逆矩陣左乘矩陣方程(7):于是有:第四十六頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日

可由式(5)求出。令上式兩邊的(2,4)元素相等，可得：令:其中:……..(8)……..(9)把式(9)代入(8)，可得:第四十七頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日于是可以解出θ1：式中，正號和負號分別對應于θ1的兩種可能解。第四十八頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日

我們再令矩陣兩邊的(1，4)元素、(3，4)元素分別相等，得以下方程：……..(10)由式(10)與式(8)的平方和，得：式中：……..(11)第四十九頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日

方程(11)中消除了θ1，式(11)和式(8)形式相同，因此可用三角代換求出θ3

第五十頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日(2)求解θ2、θ4

將左式左乘可得:

式中，T63由式給出。令上式兩邊矩陣的(1，4)和(2，4)元素分別相等，得到：……..(12)第五十一頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日由式(13)和式(14)求得：……..(14)……..(13)第五十二頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日由于c23和s23表達式的分母相等且為正，故有：……..(15)

根據(jù)θ3、θ1解的四種可能組合，由式(15)可以算出θ23的四個值，于是得到θ2的四個可能解：第五十三頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日

因為矩陣方程(12)左邊為已知，令等式兩邊的(1，3)元素和(3，3)元素分別相等，便可得：只要s5≠0，我們可以求得θ4：第五十四頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日(3)求解θ5θ4解出后，將左式繼續(xù)左乘可得:

式(16)的左邊，因θ1θ2θ3θ4中均已解出，從而有下式：……..(16)…..(17)第五十五頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日

使式(17)兩邊的(1,3)元素和(3,3)元素相等，得出：又因為：

因而可得：第五十六頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日(4)求解θ6

繼續(xù)用以上方法求解θ6

使方程兩邊的（3，1）元素和（1，1）相等，得到方程從而得到θ6第五十七頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日

注意：PUMA-560機器人的運動學逆解可能存在4個解。這是因為在求解θ1θ3時出現(xiàn)正負號，故可能得到4個解。下圖給出了這4種解的對應形態(tài)。第五十八頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日

第五節(jié)機器人的微分運動和微分變換

在機器人的操作與控制中，由于種種原因機器人末端操作器的位姿與目的物之間會產(chǎn)生位姿誤差。為了補償這一位姿誤差，要求末端操作器產(chǎn)生一微小運動。此外，機器人操作時，有時會碰到兩個不同坐標系之間的微位移關(guān)系問題，例如用攝像機時，攝像機安裝在某桿上，攝像機攝到的微位移是用固結(jié)于攝像機的坐標系來描述的。要求補償?shù)哪┒瞬僮髌鞯奈⑽灰剖怯没A(chǔ)坐標系來描述的，末端操作器的微位移又是通過關(guān)節(jié)空間的各關(guān)節(jié)的微運動來實現(xiàn)的，這就存在不同坐標系之間微位移的關(guān)系問題。第五十九頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日

一、變換的微分假設(shè)有一個變換，它的元素是某個變量的函數(shù)，對于這個變換的微分就是該變換矩陣各元素對該變量的偏導數(shù)所組成的變換陣乘以該變量的微分。給定變換T為它的元素是某個變量x的函數(shù)，則變換T的微分為:第六十頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日

二、微移動——微平動和微轉(zhuǎn)動

所謂微運動指的是無限小的運動，即無限小移動和無限小轉(zhuǎn)動。它既可以用給定的當前坐標系矩陣T來描述，也可以用基礎(chǔ)坐標系來描述。已知坐標系矩陣T，微分運動后變?yōu)門+dT。應用相對于基礎(chǔ)坐標系的左乘法則，T+dT可表示為：

式中，是用基礎(chǔ)坐標系描述的微移動dx，dy，dz的移動變換。是用基礎(chǔ)坐標系描述的繞k軸微旋轉(zhuǎn)dθ的旋轉(zhuǎn)運動變換。由上式得:I為4X4的單位矩陣第六十一頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日

代表一個微分平移和微分旋轉(zhuǎn)的變換。微分移動的齊次變換矩陣為：微分旋轉(zhuǎn)的齊次變換矩陣為：第六十二頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日

繞k軸旋轉(zhuǎn)dθ等價于分別繞三個軸X，Y，Z軸旋轉(zhuǎn)δx,δy,δz。令kxdθ=δx，kydθ=δy,

kzdθ=δz并代入上式可得：—1第六十三頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日

[例]

假設(shè)有一個坐標系A(chǔ)為：

相對于基礎(chǔ)坐標系的微分平移為，微分旋轉(zhuǎn)為，試求與d和δ相應的A的微分變換。第六十四頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日

[解]

首先構(gòu)造微分平移和旋轉(zhuǎn)變換第六十五頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日第六十六頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日三、兩直角坐標系間的微分移動的關(guān)系——微分變換

前面討論了用基準坐標系和當前T坐標系描述的微分運動，分別為和，不同坐標系的微分運動和的關(guān)系為：所以有：第六十七頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期日

這個變換方程如同前面變換方程一樣，可以用一個變換圖來表示，如右圖所示。由圖也可以直接得到上式。方程2很重要，因為它把相對于不同的坐標系之間的微分變化聯(lián)系起來了。我們首先展開方程右端的矩陣乘積，展開過程中進行了簡化，可得出微分變化向量d和δ的元素之間的直接關(guān)系。變換T稱為微分坐標變換?！?第六十八頁，