湖南省道縣第二中學2024學年高二數(shù)學第一學期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

湖南省道縣第二中學2024學年高二數(shù)學第一學期期末統(tǒng)考模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．下列說法或運算正確的是（）A.B.用反證法證明“一個三角形至少有兩個銳角”時需設“一個三角形沒有銳角”C.“，”的否定形式為“，”D.直線不可能與圓相切2．函數(shù)的單調增區(qū)間為（）A. B.C. D.3．設數(shù)列的前項和為，當時，，，成等差數(shù)列，若，且，則的最大值為（）A. B.C. D.4．十二平均律是我國明代音樂理論家和數(shù)學家朱載堉發(fā)明的.明萬歷十二年(公元1584年)，他寫成《律學新說》，提出了十二平均律的理論.十二平均律的數(shù)學意義是：在1和2之間插入11個正數(shù)，使包含1和2的這13個數(shù)依次成遞增的等比數(shù)列.依此規(guī)則，插入的第四個數(shù)應為（）A. B.C. D.5．函數(shù)有兩個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.6．已知數(shù)列中，，當時，，設，則數(shù)列的通項公式為（）A. B.C. D.7．已知數(shù)列滿足，且，為其前n項的和，則（）A. B.C. D.8．已知雙曲線的左、右焦點分別為，點A在雙曲線上，且軸，若則雙曲線的離心率等于（）A. B.C.2 D.39．若，則x的值為（）A.4 B.6C.4或6 D.810．已知雙曲線的左、右焦點分別為，半焦距為c，過點作一條漸近線的垂線，垂足為P，若的面積為，則該雙曲線的離心率為（）A.3 B.2C. D.11．、是橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，，過作的角平分線的垂線，垂足為，則的長為A.1 B.2C.3 D.412．等軸雙曲線的中心在原點，焦點在軸上，與拋物線的準線交于兩點，且則的實軸長為A.1 B.2C.4 D.8二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數(shù)是上的增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是__________.14．已知過點作拋物線的兩條切線,切點分別為A、B,直線經過拋物線C的焦點F,則___________15．在等差數(shù)列中，，公差，則_________16．若圓的一條直徑的端點是、，則此圓的方程是_______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在空間四邊形中，分別是的中點，分別在上，且（1）求證：四點共面；（2）設與交于點，求證：三點共線.18．（12分）設橢圓的焦距為，原點到經過兩點的直線的距離為.（1）求橢圓的離心率；（2）如圖所示，是圓的一條直徑，若橢圓經過兩點，求橢圓的標準方程19．（12分）已知橢圓（）的左、右焦點為，，，離心率為（1）求橢圓標準方程（2）的左頂點為，過右焦點的直線交橢圓于，兩點，記直線，，的斜率分別為，，，求證：20．（12分）已知兩動圓：和：，把它們的公共點的軌跡記為曲線，若曲線與軸的正半軸的交點為，取曲線上的相異兩點、滿足：且點與點均不重合.（1）求曲線的方程；（2）證明直線恒經過一定點，并求此定點的坐標；21．（12分）在平面直角坐標系中，設點，直線，點P在直線l上移動，R是線段PF與y軸的交點，也是PF的中點．，（1）求動點Q的軌跡的方程E；（2）過點F作兩條互相垂直的曲線E的弦AB、CD，設AB、CD的中點分別為M，N．求直線MN過定點R的坐標22．（10分）已知拋物線上一點到焦點的距離與到軸的距離相等.（1）求拋物線的方程；（2）若直線與拋物線交于A，兩點，且滿足(為坐標原點)，證明：直線與軸的交點為定點.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】對于A：可以解決；對于B:“一個三角形至少由兩個銳角”的反面是“只有一個銳角或沒有銳角”；對于C：全稱否定必須是全部否定；對于D：需要觀察出所給直線是過定點的.【題目詳解】A：，故錯誤；B：“一個三角形至少由兩個銳角”的反面是“只有一個銳角或沒有銳角”，所以用反證法時應假設只有一個銳角和沒有銳角兩種情況，故錯誤；C：的否定形式是，故錯誤；D：直線是過定點（-1，0），而圓，圓心為（2，0），半徑為4，定點（-1，0）到圓心的距離為2-（-1）=3＜4，故定點在圓內，故正確；故選：D.2、D【解題分析】先求定義域，再求導數(shù)，令解不等式，即可.【題目詳解】函數(shù)的定義域為令，解得故選：D【題目點撥】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，屬于中檔題.3、A【解題分析】根據(jù)等差中項寫出式子，由遞推式及求和公式寫出和，進而得出結果.【題目詳解】解：由，，成等差數(shù)列，可得，則，，，可得數(shù)列中，每隔兩項求和是首項為，公差為的等差數(shù)列.則，，則的最大值可能為.由，，可得.因為，，，即，所以，則，當且僅當時，，符合題意，故的最大值為.故選：A.【題目點撥】本題考查等差數(shù)列的性質和遞推式的應用，考查分析問題能力，屬于難題.4、C【解題分析】先求出等比數(shù)列的公比，再由等比數(shù)列的通項公式即可求解.【題目詳解】用表示這個數(shù)列，依題意，，則，，第四個數(shù)即.故選：C.5、B【解題分析】方程有兩個根，轉化為求函數(shù)的單調性與極值【題目詳解】函數(shù)定義域是，有兩個零點，即有兩個不等實根，即有兩個不等實根設，則，時，，遞減，時，，遞增，極小值＝，而時，，時，，所以故選：B6、A【解題分析】根據(jù)遞推關系式得到，進而利用累加法可求得結果【題目詳解】數(shù)列中，，當時，，，，，且，，故選：A7、B【解題分析】根據(jù)等比數(shù)列的前n項和公式即可求解.【題目詳解】由題可知是首項為2，公比為3的等比數(shù)列，則.故選：B.8、B【解題分析】由雙曲線定義結合通徑公式、化簡得出，最后得出離心率.【題目詳解】，，，解得故選：B9、C【解題分析】根據(jù)組合數(shù)的性質可求解.【題目詳解】,或，即或.故選：C10、D【解題分析】根據(jù)給定條件求出，再計算面積列式計算作答.【題目詳解】依題意，點，由雙曲線對稱性不妨取漸近線，即，則，令坐標原點為O，中，，又點O是線段的中點，因此，，則有，即，，，所以雙曲線的離心率為故選：D11、A【解題分析】延長交延長線于N,則選:A.【題目點撥】涉及兩焦點問題，往往利用橢圓定義進行轉化研究，而角平分線性質可轉化到焦半徑問題，兩者切入點為橢圓定義.12、B【解題分析】設等軸雙曲線的方程為拋物線,拋物線準線方程為設等軸雙曲線與拋物線的準線的兩個交點,，則,將，代入，得等軸雙曲線的方程為的實軸長為故選二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】由題意知在上恒成立，從而結合一元二次不等式恒成立問題，可列出關于的不等式，進而可求其取值范圍.【題目詳解】解：由題意知，知在上恒成立，則只需，解得.故答案為:.【題目點撥】本題考查了不等式恒成立問題，考查了運用導數(shù)探究函數(shù)的單調性.一般地，由增函數(shù)可得導數(shù)不小于零，由減函數(shù)可得導數(shù)不大于零.對于一元二次不等式在上恒成立問題，如若在上恒成立，可得；若在上恒成立，可得.14、64【解題分析】用字母進行一般化研究,先求出切點弦方程,再聯(lián)立化簡,最后代入數(shù)據(jù)計算【題目詳解】設,點處的切線方程為聯(lián)立,得由,得即,解得所以點處的切線方程為,整理得同理,點處的切線方程為設為兩切線的交點,則所以在直線上即直線AB的方程為又直線AB經過焦點所以,即聯(lián)立得所以所以本題中所以故答案為:64【題目點撥】結論點睛:過點作拋物線的兩條切線,切點弦的方程為15、15【解題分析】由等差數(shù)列通項公式直接可得.【題目詳解】.故答案為：1516、【解題分析】先設圓上任意一點的坐標，然后利用直徑對應的圓周角為直角，再利用向量垂直建立方程即可【題目詳解】設圓上任意一點的坐標為可得：，則有：，即解得：故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解題分析】（1）根據(jù)題意，利用中位線定理和線段成比例，先證明，進而證明問題；（2）先證明平面，平面，進而證明點P在兩個平面的交線上，然后證得結論.【小問1詳解】連接分別是的中點，.在中，.所以四點共面.【小問2詳解】，所以，又平面平面，同理：，平面平面，為平面與平面的一個公共點.又平面平面，即三點共線.18、（1）（2）【解題分析】（1）根據(jù)題意得，進而求解離心率即可；（2）根據(jù)題意得圓心是線段的中點，且，易知斜率存在，設其直線方程為，再結合韋達定理及弦長公式求解即可.【小問1詳解】解：過點的直線方程為，∴原點到直線的距離，由，得，解得離心率.【小問2詳解】解：由（1）知，橢圓的方程為.依題意，圓心是線段的中點，且.易知，不與軸垂直，設其直線方程，聯(lián)立，得.設，則，.由，得，解得.所以.于是.由，得，解得.故橢圓的方程為.19、（1）；（2）證明見解析【解題分析】(1)由可求出，結合離心率可知，進而可求出，即可求出標準方程.(2)由題意知，，則由直線的點斜式方程可得直線的解析式為，與橢圓進行聯(lián)立，設，，結合韋達定理可得，從而由斜率的計算公式對進行整理化簡從而可證明.【題目詳解】（1）解：因為，所以．又因為離心率，所以，則，所以橢圓的標準方程是（2）證明：由題意知，，，則直線的解析式為，代入橢圓方程，得設，，則．又因為，，所以【題目點撥】關鍵點睛:本題第二問的關鍵是聯(lián)立直線和橢圓的方程后，結合韋達定理，用表示交點橫坐標的和與積，從而代入進行整理化簡.20、（1）；（2）證明見解析，.【解題分析】（1）設兩動圓的公共點為，則有，運用橢圓的定義，即可得到，，，進而得到的軌跡方程；（2），設，，，，設出直線方程，聯(lián)立方程組，利用韋達定理法及向量的數(shù)量積的坐標表示，即可得到定點.【小問1詳解】設兩動圓的公共點為，則有由橢圓的定義可知的軌跡為橢圓，設方程為，則，，所以曲線的方程是：【小問2詳解】由題意可知：，且直線斜率存在，設，，設直線：，聯(lián)立方程組，可得，，，因為，所以有，把代入整理化簡得，或舍，因為點與點均不重合，所以直線恒過定點21、（1）（2）【解題分析】（1）由圖中的幾何關系可知,故可知動點Q的軌跡E是以F為焦點，l為準線的拋物線，但不能和原點重合，即可直接寫出拋物線的方程；（2）設出直線AB的方程，把點、的坐標代入拋物線方程，兩式作差后，再利用中點坐標公式求出點M的坐標，同理求出點的坐標，即可求出直線MN的方程，最后可求出直線MN過哪一定點.【小問1詳解】∵直線的方程為，點R是線段FP的中點且，∴RQ是線段FP的垂直平分線,∵,∴是點Q到直線l的距離,∵點Q在線段FP的垂直平分線，∴,則動點Q的軌跡E是以F為焦點，l為準線的拋物線，但不能和原點重合，即動點Q軌跡的方程為.【小問2詳解】設，，由題意直線AB斜率存在且不為0，設直線AB的方程為，由已知得，兩式作差可得，即，則，代入可得，即點M的坐標為，同