控制工程系統(tǒng)的穩(wěn)定性

控制工程系統(tǒng)的穩(wěn)定性第一頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日系統(tǒng)的穩(wěn)定性基本要求：1.掌握系統(tǒng)穩(wěn)定與相對穩(wěn)定的概念2.掌握三個系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)及其應用3.掌握系統(tǒng)相對穩(wěn)定裕度的概念及其計算重點與難點：1.三個系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)及其應用2.系統(tǒng)相對穩(wěn)定裕度的計算第二頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日系統(tǒng)穩(wěn)定性的概念沒有外力作用的自由振蕩若是減幅的，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的；自由振蕩若是增幅的，則系統(tǒng)就是不穩(wěn)定的。

1．單擺2．小球偏離初始狀態(tài)后能恢復到初始狀態(tài)的系統(tǒng)是穩(wěn)定的系統(tǒng)第三頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日穩(wěn)定的含義:

系統(tǒng)在任何足夠小的初始偏差作用下，其過渡過程隨著時間的推移，逐漸衰減并趨于零，具有恢復原平衡狀態(tài)的性能，則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。理解：(1)線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)與參數(shù)，與輸入無關(guān)；(2)外力消失后的振蕩是由初始偏差造成的;(3)不穩(wěn)定現(xiàn)象的發(fā)生和系統(tǒng)具有正反饋相關(guān);(4)控制理論中僅討論輸入為零，系統(tǒng)僅存有不為零的初態(tài)時的穩(wěn)定性。第四頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日系統(tǒng)不穩(wěn)定現(xiàn)象：二階系統(tǒng)中的三種情況——0<<1

減幅（收斂）振蕩=0

等幅振蕩<0

增幅（發(fā)散）振蕩系統(tǒng)不穩(wěn)定現(xiàn)象的發(fā)生取決于系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)參數(shù)，與系統(tǒng)輸入無關(guān)；系統(tǒng)發(fā)生不穩(wěn)定現(xiàn)象說明系統(tǒng)中必有反饋，而且是正反饋。不穩(wěn)定穩(wěn)定第五頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日系統(tǒng)穩(wěn)定的定義：

原來處在平衡狀態(tài)的系統(tǒng)受到擾動后會偏離原來的平衡狀態(tài)，擾動消失后，系統(tǒng)能回到原來的平衡狀態(tài)或達到新的平衡狀態(tài)，則稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。否則，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。系統(tǒng)穩(wěn)定的條件：結(jié)論：當系統(tǒng)所有的特征根都具有負實部，即所有特征根都位于復平面的左半平面，該系統(tǒng)就是穩(wěn)定的。該條件是系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件。所有Re[si]<0——系統(tǒng)穩(wěn)定只要有一個Re[si]=0——系統(tǒng)臨界穩(wěn)定，趨于等幅振蕩或者Re[si]>0——系統(tǒng)不穩(wěn)定，發(fā)散第六頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日Routh(代數(shù))穩(wěn)定判據(jù)基于方程式根與系數(shù)的關(guān)系而建立通過對系統(tǒng)特征方程式的各項系數(shù)進行代數(shù)運算，得出全部特征根都具有負實部的條件，從而判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性系統(tǒng)的特征方程式若所有特征根都具有負實部，系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件:特征方程所有的系數(shù)都大于0則有：所有系數(shù)ai都大于0第七頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日系統(tǒng)特征方程為a0sn+a1sn-1+…an-1s+an=0列Routh勞斯表:sn:a0

a2a4a6…sn-1:a1a3a5a7…sn-2:b1

b2

b3b4…sn-3:c1

c2c3…┆┆┆┆s2e1e2s1f1s0g1系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件第八頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日系統(tǒng)的特征方程式為

列勞斯表：6061455666101166121sssss01234第九頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日勞斯穩(wěn)定判據(jù)(1)系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是特征方程所有的系數(shù)都大于0；(2)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是勞斯表的第一列元素全大于零；(3)勞斯表第一列元素符號改變的次數(shù)代表特征方程正實部根的數(shù)目。第十頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日例：設系統(tǒng)的特征方程式為

試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：特征方程符號相同，又不缺項，故滿足穩(wěn)定的必要條件。列勞斯表判別：第一列各數(shù)均為正數(shù)故系統(tǒng)穩(wěn)定第十一頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日驗證:將特征方程式因式分解為

求得所有特征根為：可見,所有特征根均有負實部，所以系統(tǒng)穩(wěn)定。第十二頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日勞斯表中可能出現(xiàn)的兩種特殊情況：1.第一列出現(xiàn)0元素:如：處理方法：用一個正數(shù)ε→0來代替第一列的0元素，繼續(xù)列寫勞斯表。若該元素的上下兩元素無符號變化，且都為正，說明該系統(tǒng)有一對共軛虛根，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定；若有符號變化，即有一個元素為負，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，而且符號改變幾次就有幾個不穩(wěn)定根存在。第十三頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日例如:特征方程式：勞斯表(＋)(＋)(-)符號有變化，說明系統(tǒng)存在不穩(wěn)定根符號變化2次，系統(tǒng)的不穩(wěn)定根有2個第十四頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日列勞斯表ε上下兩行符號不變，說明有純虛根存在，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。將特征方程式因式分解為特征根為系統(tǒng)等幅振蕩第十五頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日2.出現(xiàn)全0行:處理方法：由全0行上方的元素行得到輔助方程，對其求導，用求導后的方程系數(shù)作為勞斯表新的行元素繼續(xù)列寫勞斯表。由輔助方程可以求得系統(tǒng)特殊的特征根，如為相反數(shù)的一對實根、或一對純虛根、或一對共軛復根。第十六頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日82421216000某行所有項系數(shù)均為零的情況，說明特征方程有對稱的根.建輔助方程,求導后繼續(xù)計算例：系統(tǒng)特征方程式為列勞斯表

第十七頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日由輔助方程

s4+6s2+8=0可得：雖然無根在右半平面，但有根在虛軸上，∴系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。

第十八頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日Routh穩(wěn)定判據(jù)的應用1.可在不求特征根的情況下判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性；2.可確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)的取值范圍,分析系統(tǒng)參數(shù)變化對穩(wěn)定性的影響3.可檢驗穩(wěn)定裕度,求使系統(tǒng)具有一定穩(wěn)定裕度的結(jié)構(gòu)參數(shù)的取值范圍。令s=z-(>0),將其代入系統(tǒng)特征方程，可得關(guān)于z的多項式，以判斷系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。第十九頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日例:說明如圖所示系統(tǒng)的穩(wěn)定條件解：求出閉環(huán)傳遞函數(shù)特征方程

Ts+(1+K)=0

第二十頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日例：單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試求K的穩(wěn)定范圍。解：系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程：列勞斯表系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件K>00.35-0.025K>0得K<14所以保證系統(tǒng)穩(wěn)定，K的取值范圍為0<K<14。第二十一頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下，試確定K和a取何值時，系統(tǒng)將以角頻率=2rad/s進行持續(xù)振蕩。＋－解：理解題意，系統(tǒng)持續(xù)振蕩，即系統(tǒng)作等幅振蕩，亦即系統(tǒng)存在共扼純虛根；角頻率ω=2rad/s，即共扼純虛根為s=j2第二十二頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日由結(jié)構(gòu)圖求系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)特征方程列勞斯表：a0令得到全0行使系統(tǒng)存在純虛根求純虛根聯(lián)立求解第二十三頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下，已知T1=0.1,T2=0.25，試求使系統(tǒng)特征根均位于s=-1線的左側(cè)的K的取值范圍。＋－解：理解題意，使系統(tǒng)特征根均位于s=-1線的左側(cè)，即對Routh判據(jù)(s=0)進行坐標移動。令s’=s+1，則s=s’-1，代入系統(tǒng)特征方程并整理后再利用Routh判據(jù)進行求解。第二十四頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日先求系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)特征方程：將s=s’-1代入整理可得：第二十五頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日列勞斯表：根據(jù)Routh穩(wěn)定判據(jù)可知：若要系統(tǒng)穩(wěn)定則需所以，當0.675<K<4.8時，該系統(tǒng)所有特征根均位于s=-1的左側(cè)。第二十六頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日Nyquist(幾何)穩(wěn)定判據(jù)Nyquist穩(wěn)定判據(jù)的特點：1.不需要求取系統(tǒng)特征根就可以判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定；2.利用閉環(huán)控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)求取系統(tǒng)開環(huán)頻率特性即可判斷閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定；3.如果系統(tǒng)不穩(wěn)定，可以求出系統(tǒng)不穩(wěn)定的閉環(huán)極點的個數(shù)；4.可以求出系統(tǒng)的相對穩(wěn)定的穩(wěn)定裕度，從而指出提高和改善系統(tǒng)動態(tài)性能的途徑；5.是一種幾何判據(jù)。第二十七頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日1、幅角原理幅角原理是Nyquist穩(wěn)定判據(jù)的數(shù)學基礎分析問題的思路是從相角的變化來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定。對于系統(tǒng)的一個極點s=p：令D(s)=s-p?D(jω)=jω-p若把D(jω)看成矢量——由P點指向jω極點第二十八頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日如果P點在負實軸上（系統(tǒng)是穩(wěn)定的），當ω由0→+∞時，矢量D(jω)逆時針旋轉(zhuǎn)90?；如果P點在正實軸上（系統(tǒng)是不穩(wěn)定的），當ω由0→+∞時，矢量D(jω)順時針旋轉(zhuǎn)90?；極點第二十九頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日這樣就可以將穩(wěn)定問題轉(zhuǎn)化為D(jω)的相角變化問題：對n階系統(tǒng)：當ω由0→+∞時，如果D(jω)逆時針旋轉(zhuǎn)n90?，系統(tǒng)穩(wěn)定；不等于n90?，系統(tǒng)不穩(wěn)定；若有m個極點在右半平面，則D(jω)逆時針旋轉(zhuǎn)(n-m)90?。當ω由-∞→+∞時，上面的結(jié)論中的角度改為n180?或(n-m)180?。第三十頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日即，當ω從-∞→+∞變化時：[S]左半平面上的零、極點矢量均變化+π弧度；[S]右半平面上的零、極點矢量均變化-π弧度。設n階系統(tǒng)有P個開環(huán)極點在[S]右半平面，則有(n-P)個開環(huán)極點在[S]左半平面，系統(tǒng)開環(huán)極點的相角為：第三十一頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日構(gòu)造一個復變函數(shù)F(s)：若F(s)有P個極點、Z個零點位于[S]平面的右半平面，則當ω由-∞→+∞時，極點相位變化：零點相位變化：F(j)的相位變化：第三十二頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日結(jié)論：當ω由-∞→+∞時，F(xiàn)(jω)將圍繞原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)N=P-Z圈。注意：P為F(S)位于右半平面的極點Z為F(S)位于右半平面的零點F(jω)第三十三頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日2、開環(huán)傳遞函數(shù)、閉環(huán)傳遞函數(shù)與F(s)之間的關(guān)系如圖為控制系統(tǒng)的一般結(jié)構(gòu)圖：如果令則根據(jù)結(jié)構(gòu)圖可求得：第三十四頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日令F(s)=1+GK(s)，則有比較上面三個表達式，可知：F(s)與GK(s)有相同的極點；F(s)的零點與GB(s)的極點相同；第三十五頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日結(jié)論：線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程的特征根都具有負實部,即GB(s)在s平面的右半平面沒有極點，亦即F(s)在s平面的右半平面沒有零點，即Z＝0。第三十六頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日∵GK(jω)=F(jω)-1，∴GK(jω)曲線逆時針方向圍繞(-1，j0)點的圈數(shù)為N=P-Z

第三十七頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日3、結(jié)論Z=P-N，如果Z=0，則系統(tǒng)穩(wěn)定；否則系統(tǒng)不穩(wěn)定。其中，P為系統(tǒng)開環(huán)極點位于［S］平面右半平面的個數(shù)；N為系統(tǒng)開環(huán)Nyquist曲線逆時針包圍(-1，j0)點的圈數(shù)；Z為系統(tǒng)閉環(huán)極點位于［S］平面右半平面的個數(shù)。第三十八頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日Nyquist穩(wěn)定判據(jù)Nyquist穩(wěn)定判據(jù)內(nèi)容：當ω由-∞到+∞時，若系統(tǒng)開環(huán)頻率特性逆時針包圍（-1,j0）點P圈，其中P是開環(huán)傳遞函數(shù)在s平面右半平面的極點數(shù)，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。推論：對開環(huán)穩(wěn)定的系統(tǒng)即P＝0，其閉環(huán)穩(wěn)定的充要條件是：系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性不包圍(-1,j0)點。第三十九頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日如，某系統(tǒng)，其Nyquist曲線如圖，判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。－1－2－+ω＝0Nyquist曲線逆時針包圍(-1,j0)點一圈，即N=1而開環(huán)有一個位于右半平面的極點，即P=1，所以閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。由圖可知：所以Z=P-N=0第四十頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日Nyquist穩(wěn)定判據(jù)幾點說明：1.開環(huán)Nyquist曲線關(guān)于實軸對稱；故一般只畫ω由0+到+∞時的曲線，然后對稱畫出-∞到0-的一半。2.積分環(huán)節(jié)的處理:當開環(huán)傳遞函數(shù)含有積分環(huán)節(jié)時，ω由-∞到+∞時，積分環(huán)節(jié)對應的Nyquist曲線是半徑為∞按順時針方向從v90?到-v90?的圓弧。當只畫ω由0到+∞時的曲線時，就補畫從-v90?到0?半徑為∞的圓弧。3.開環(huán)不穩(wěn)定的系統(tǒng)，閉環(huán)時有可能穩(wěn)定的；開環(huán)穩(wěn)定的系統(tǒng)，閉環(huán)也有可能不穩(wěn)定。第四十一頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日4.若P=0，僅考察GK(jω)是否圍繞(-1,j0)點；

若P≠0，應先求出P，再查GK(jω)逆時針圍繞

(-1,j0)點的圈數(shù)，若少于P則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。5.Nyquist穩(wěn)定判據(jù)的應用，其關(guān)鍵是作GK(jω)的Nyquist曲線。第四十二頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日由圖可知：N=0由開環(huán)傳遞函數(shù)可知：P=0所以：Z=P-N=0故系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定，而且無論K取何值,閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。例1：0型系統(tǒng)，開環(huán)傳遞函數(shù)為試判系統(tǒng)閉環(huán)是否穩(wěn)定。解：先作系統(tǒng)開環(huán)Nyquist曲線第四十三頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日例2:存在導前環(huán)節(jié)的0型系統(tǒng)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試對其閉環(huán)判穩(wěn)。解：作Nyquist曲線(1)當T1、T2、T3很大，而T4、T5很小，在為有限值時，有可能使曲線包圍(-1,j0)點，如曲線1所示，則系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。(2)若減小K，或增大T4、T5，其Nyquist曲線如曲線2所示，不包圍(-1,j0)點，則系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。第四十四頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日例3：Ⅰ型系統(tǒng)，開環(huán)傳遞函數(shù)為解：作Nyquist曲線特殊：積分環(huán)節(jié)，補畫半圓?！?/p>

P=0，N=0∴閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。第四十五頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日例4：Ⅱ型系統(tǒng)，開環(huán)傳遞函數(shù)為解：作Nyquist曲線特殊：根據(jù)T1、T2的取值不同，其Nyquist曲線就不同，有以下三種情況：(a)T1<T2(b)T1=T2(c)T1>T2不包圍(-1,j0)點，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定經(jīng)過(-1,j0)點，系統(tǒng)閉環(huán)臨界穩(wěn)定包圍(-1,j0)點，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定第四十六頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日Nyquist穩(wěn)定判據(jù)應用1.根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)判斷系統(tǒng)閉環(huán)的穩(wěn)定性方法:畫Nyquist曲線，注意與負實軸的交點與(-1,j0)點的位置關(guān)系數(shù)圈數(shù)N，注意逆時針為正、順時針為負觀察開環(huán)傳遞函數(shù)的右半平面極點數(shù)P計算Z=P-N，判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性第四十七頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日2.根據(jù)系統(tǒng)某參數(shù)的取值討論系統(tǒng)穩(wěn)定性方法:畫Nyquist曲線，注意參數(shù)對與負實軸的交點的影響——與(-1,j0)點的位置關(guān)系根據(jù)參數(shù)取值范圍不同，負實軸上交點與(-1,j0)點的位置不同，分別：數(shù)圈數(shù)N，注意逆時針為正、順時針為負觀察傳遞函數(shù)的右半平面極點數(shù)P計算Z=P-N，判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性第四十八頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日例5：對非最小相位系統(tǒng)判斷其系統(tǒng)穩(wěn)定性。解：分析該系統(tǒng)的特點：(a)在[s]右半平面有一個極點，即P=1，開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定；(b)Ⅰ型系統(tǒng)。求系統(tǒng)開環(huán)頻率特性：第四十九頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日作Nyquist曲線如圖:求出Nyquist曲線與負實軸的交點交點與(-1,j0)的位置關(guān)系將決定系統(tǒng)閉環(huán)的穩(wěn)定性可得：2＝3時曲線與實軸相交，交點為：第五十頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日討論：K>1即交點在(-1,j0)的右側(cè)時，Nyquist曲線逆時針圍繞(-1,j0)點一圈，則N=1,Z=P-N=0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。K<1即交點在(-1,j0)的左側(cè)時，Nyquist曲線順時針圍繞(-1,j0)點一圈，則N=-1,Z=P-N=2，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。第五十一頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日例6：對于系統(tǒng)，試分析K對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。解：作Nyquist曲線注意：K對Nyquist曲線的影響：起始點與坐標軸的交點曲線形狀不變，只是范圍變換第五十二頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日取K=1和K=100作Nyquist曲線如圖Nyquist曲線與負實軸的交點為-K/60P=0當曲線不包圍(-1,j0)點時，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定當-K/60<-1即K>60時系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定當K=60時系統(tǒng)臨界穩(wěn)定當K<60時系統(tǒng)不穩(wěn)定。1/6100/6-1/60-10/6-1K=1K=100第五十三頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日例7:單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試討論不同K值時系統(tǒng)的穩(wěn)定性。方法？1.畫出Nyquist曲線；2.考慮到K對系統(tǒng)開環(huán)Nyquist曲線的影響——不改變形狀，只作縮小或放大，改變與坐標軸的交點——求出與坐標軸的交點——特別是與負實軸的交點；3.比較交點與(-1,j0)點的位置關(guān)系；4.根據(jù)Nyquist穩(wěn)定判據(jù)進行討論。第五十四頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日解：1.求系統(tǒng)頻率特性：幅頻、相頻、實頻、虛頻2.畫Nyquist曲線：3.求交點：4.討論不同K值時系統(tǒng)對穩(wěn)定性的影響：當時，曲線不包圍(-1,j0)點，系統(tǒng)穩(wěn)定。當時，曲線通過(-1,j0)點，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。當

時，曲線包圍(-1,j0)點，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

第五十五頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日Bode穩(wěn)定判據(jù)Nyquist穩(wěn)定判據(jù)是利用系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的極坐標圖來判定系統(tǒng)閉環(huán)的穩(wěn)定性。如果將系統(tǒng)開環(huán)極坐標圖變?yōu)殚_環(huán)對數(shù)坐標圖即Bode圖，同樣也可以用來判定系統(tǒng)閉環(huán)的穩(wěn)定性———Bode穩(wěn)定判據(jù)。第五十六頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日穿越的概念在Nyquist圖中畫一個單位圓，負實軸上所有點的相位為-180?。當Nyquist曲線穿過負實軸時，如果是在(-1,j0)點左邊穿過，則稱為“穿越”。(-1,j0)正穿越：自上而下，相位增加負穿越：自下而上，相位減小第五十七頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日特殊的：當Nyquist曲線從負實軸出發(fā)時，沿ω增加的方向，開環(huán)Nyquist曲線自(-1,j0)點左邊的負實軸向下為半次正穿越；自(-1,j0)點左邊的負實軸向上為半次負穿越。總結(jié)：(-1,j0)正穿越半次正穿越半次負穿越負穿越第五十八頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日例：a點、b點：正穿越；c點：負穿越；第五十九頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日比較不同K值的三個系統(tǒng)K很小，負穿越一次順時針包圍2圈，N=-2不穩(wěn)定K較大，負、正穿越各一次順時針包圍1圈、逆時針包圍1圈，N=0穩(wěn)定K更大,正穿越一次、負穿越二次順時針包圍2圈，N=-2不穩(wěn)定

第六十頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日分析圖可知：正穿越一次，Nyquist曲線就逆時針包圍(-1,j0)點一圈；負穿越一次，Nyquist曲線就順時針包圍(-1,j0)點一圈；因此，開環(huán)Nyquist曲線逆時針包圍(-1,j0)點的圈數(shù)等于正、負穿越次數(shù)之差。第六十一頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日Nyquist穩(wěn)定判據(jù)的推導利用穿越的概念對系統(tǒng)進行穩(wěn)定性判斷：Nyquist曲線逆時針包圍(-1,j0)點的圈數(shù)N=N+-N-（N+正穿越次數(shù)，N-負穿越次數(shù)），如果Z=P/2-N=0，則系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。其中P為系統(tǒng)開環(huán)位于S右半平面的極點數(shù)，Z為系統(tǒng)閉環(huán)位于S右半平面的極點數(shù)。：0+第六十二頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日舉例系統(tǒng)開環(huán)頻率特性分別為如圖所示，試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。第六十三頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日用Nyquist穩(wěn)定判據(jù)穿越次數(shù)來判穩(wěn)：Nyquist圖N+=1，N-=1，N=N+-N-=0若開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定即P=0，則系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定；若系統(tǒng)開環(huán)不穩(wěn)定即P≠0，則系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。第六十四頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日Nyquist圖與Bode圖的關(guān)系Nyquist圖中的單位圓對應到Bode圖中是對數(shù)幅頻特性曲線中的0dB線即為橫軸；Nyquist圖中的負實軸對應到Bode圖中是對數(shù)相頻特性曲線中的-180?線；Nyquist曲線與單位圓的交點對應到Bode圖中是對數(shù)幅頻特性曲線與橫軸的交點；(-1,j0)-180?第六十五頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日ReImNyquist曲線與單位圓的交點處所對應的頻率為C，稱為剪切頻率或幅值穿越頻率；Nyquist曲線與負實軸的交點處所對應的頻率為g，稱為相位穿越頻率；穿越頻率(-1,j0)-180?20lgA()()ωCωgCg第六十六頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日Nyquist圖中的正穿越在Bode圖中為相頻特性曲線沿ω增加的方向、自下而上的穿過-180?線；反之，相頻特性曲線沿ω增加的方向、自上而下的穿過-180?線，稱為負穿越；若對數(shù)相頻特性曲線自-180?線開始向上，稱為半次正穿越；自-180?線開始向下，稱為半次負穿越。-180-90GH-270半次負穿越半次正穿越w正穿越負穿越第六十七頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日Bode穩(wěn)定判據(jù)判據(jù)內(nèi)容：閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：在Bode圖上，當ω由0變到+∞時，在開環(huán)對數(shù)幅頻特性為正值的頻率范圍內(nèi)，開環(huán)對數(shù)相頻特性對-180?線正穿越與負穿越次數(shù)之差為P/2時，閉環(huán)穩(wěn)定；否則不穩(wěn)定。其中P為系統(tǒng)開環(huán)位于［S］右半平面的極點數(shù)。第六十八頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日Bode穩(wěn)定判據(jù)推論：對于最小相位系統(tǒng)，P=0，若ωC<ωg，即對數(shù)幅頻特性曲線比對數(shù)相頻特性曲線先交于橫軸，則系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定；若ωC>ωg，則系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定；若ωC=ωg，則系統(tǒng)閉環(huán)臨界穩(wěn)定。如果系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線有多個幅值穿越頻率ωC，則取最大的ωC進行判斷。說明：當ωC<ωg

，Nyquist曲線與負實軸的交點在單位圓內(nèi)，不可能圍繞(－1，j0)點，所以系統(tǒng)穩(wěn)定。第六十九頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日半次穿越：第七十頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日舉例已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：試對系統(tǒng)進行穩(wěn)定性判斷。1.Nyquist穩(wěn)定判據(jù)判穩(wěn)：Nyquist曲線由圖可知：N=-2，而P=0，所以Z=P-N=2，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定，且有2個不穩(wěn)定的閉環(huán)極點。100/6-10/6-1第七十一頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日2.Bode穩(wěn)定判據(jù)判穩(wěn)：畫Bode曲線比較ωC與ωg可知ωC>ωg根據(jù)Bode穩(wěn)定判據(jù)，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。ω1248163102030104060ωC-180?-45?-90?-135?-270?ωgωL(ω)φ(ω)第七十二頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日三種穩(wěn)定判據(jù)的比較已知某單位負反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試分析K取不同值時系統(tǒng)的穩(wěn)定性。1.應用Routh穩(wěn)定判據(jù)求閉環(huán)傳遞函數(shù)：求特征方程：列Routh表：根據(jù)Routh判據(jù)，找不等式組，求參數(shù)取值范圍欲使系統(tǒng)穩(wěn)定，則有：S218-KSK-6s08-K第七十三頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日2.Nyquist穩(wěn)定判據(jù)：求開環(huán)頻率特性：幅頻、相頻實頻、虛頻畫Nyquist曲線：起始點：終止點：與軸的交點：第七十四頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日比較實軸交點與(-1,j0)點的位置關(guān)系：(-1,j0)(-1,j0)(-1,j0)第七十五頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日3.Bode穩(wěn)定判據(jù)：開環(huán)傳遞函數(shù)化為標準形式：畫Bode圖：特別注意相頻特性曲線！-180-90124第七十六頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日K值變化時，幅頻特性曲線則上下移動，但不影響相頻特性曲線；有三種情況：①②之間：半次負穿越、一次正穿越；②③之間：一次正穿越；③④之間及④以下：沒有穿越④①②③-180-90124第七十七頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日①②之間：半次負穿越、一次正穿越-180-90124①②第七十八頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日②③之間：一次正穿越

代入幅頻特性可得:-180-90124②③第七十九頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日③④之間及④以下：