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一個幾何模型在中考題中的變式拓展1.(2008鄂州)如圖，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于D點，已知，BD=6，CD=4，則高AD的長為().2.（2009益陽）如圖，△ABC中，已知∠BAC=45°,AD⊥BC于D，BD=2,DC=3，求AD的長．

小萍同學靈活運用軸對稱知識，將圖形進行翻折變換，巧妙地解答了此題．

請按照小萍的思路，探究并解答下列問題：

（1）分別以AB、AC為對稱軸，畫出△ABD、△ACD的軸對稱圖形，D點的對稱點為E、F，延長EB、FC相交于G點，證明四邊形AEGF是正方形；

（2）設AD=x，利用勾股定理，建立關于x的方程模型，求出x的值．3.（2010寧夏）在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于D，將△ABD沿AB所在的直線折疊，使點D落在點E處；將△ACD沿AC所在的直線折疊，使點D落在點F處，分別延長EB、FC使其交于點G．（1）判斷四邊形AEMF的形狀，并給予證明；

（2）若BD=1，CD=2，試求四邊形AEGF的面積．，3.（2011湖南永州）探究問題：

（1）方法感悟：

如圖①，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點，且滿足∠EAF=45°，連接EF，求證DE+BF=EF．感悟解題方法，并完成下列填空：

將△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，此時AB與AD重合，由旋轉(zhuǎn)可得：

AB=AD，BG=DE，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°，

∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，

因此，點G，B，F(xiàn)在同一條直線上．

∵∠EAF=45°∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．

∵∠1=∠2，∴∠1+∠3=45°．

即∠GAF=∠------．又AG=AE，AF=AF

∴△GAF≌-------∴------=EF，故DE+BF=EF．

（2）方法遷移：

如圖②，將Rt△ABC沿斜邊翻折得到△ADC，點E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點，且∠EAF=∠DAB．試猜想DE，BF，EF之間有何數(shù)量關系，并證明你的猜想．

12（3）問題拓展：

如圖③，在四邊形ABCD中，AB=AD，E，F(xiàn)分別為DC，BC上的點，滿足∠EAF=∠DAB，試猜想當∠B與∠D滿足什么關系時，可使得DE+BF=EF．請直接寫出你的猜想（不必說明理由）．

4.(2012年海南省萬寧市)已知：正方形中，∠MAN=45°，∠MAN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB、DC（或它們的延長線）于點M、N．(1).當∠MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到BM=DN時，（如圖1），求證：BBMBCNCNMCNM圖1圖2圖3AAADDDBBMBCNCNMCNM圖1圖2圖3AAADDD（2）當∠MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到時（如圖2），線段BM、DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關系？寫出猜想，并加以證明．

BBMBCNCNMCNM圖1圖2