簡諧震動簡正坐標(biāo)

簡諧震動簡正坐標(biāo)第一頁，共十一頁，編輯于2023年，星期五物理背景和固體物理中解決問題的思路：原子的振動——晶格振動在晶體中形成了各種模式的波——簡諧近似下，系統(tǒng)哈密頓量是相互獨立簡諧振動哈密頓量之和——這些諧振子的能量量子，稱為聲子——晶格振動的總體可看作是聲子的系綜

——用一系列獨立的簡諧振子來描述這些獨立而又分立的振動模式——這些模式是相互獨立的，模式所取的能量值是分立的第二頁，共十一頁，編輯于2023年，星期五§3.1簡諧近似和簡正坐標(biāo)

簡諧近似——將原子在平衡位置的振動看成簡諧振動

（線性近似），并且只考慮最近鄰原子之間的相互作用研究對象——由N個質(zhì)量為m的原子組成的晶體偏離平衡位置的位移矢量原子的瞬時位置：第n個原子的平衡位置（格點位置）3個方向上的分量原子位移宗量第三頁，共十一頁，編輯于2023年，星期五N個原子的位移矢量N個原子體系的勢能函數(shù):（用標(biāo)量表示）。在平衡位置按泰勒級數(shù)展開取平衡位置——不計高階項系統(tǒng)的勢能函數(shù)第四頁，共十一頁，編輯于2023年，星期五系統(tǒng)的哈密頓量系統(tǒng)的勢能函數(shù)系統(tǒng)的動能函數(shù)第五頁，共十一頁，編輯于2023年，星期五引入簡正坐標(biāo)（

原子的坐標(biāo)和簡正坐標(biāo)通過正交變換聯(lián)系起來假設(shè)存在線性變換（實際上是存在?。┫到y(tǒng)的哈密頓量：拉格朗日函數(shù)：正則動量：第六頁，共十一頁，編輯于2023年，星期五系統(tǒng)的哈密頓量正則方程——3N個獨立的方程簡正坐標(biāo)方程解簡正振動——晶體中所有原子參與振動，振動頻率相同

振動?！喺鴺?biāo)代表所有原子共同參與的一個振動正則動量第七頁，共十一頁，編輯于2023年，星期五只考察某一個振動?？梢钥闯觯?.固體中的原子是一個具有相互作用的多粒子復(fù)雜系統(tǒng)，通過引入簡正坐標(biāo)，而將系統(tǒng)簡化為3N個相互獨立的震動模式。2.之所以能有采取“簡諧近似”，或者說之所以“簡諧近似”有

效，是因為晶體中原子實際是在平衡位置附近做微小的振動，使得能夠進行這種線性的近似！這種“脫耦”的方法在具有相互作用的多粒子體系中十分的常用（處理低激發(fā)態(tài)時的常用方法）第八頁，共十一頁，編輯于2023年，星期五正則動量算符系統(tǒng)薛定諤方程相關(guān)量子理論第九頁，共十一頁，編輯于2023年，星期五任意一個簡正坐標(biāo)——諧振子方程能量本征值本征態(tài)函數(shù)—厄密多項式第十頁，共十一頁，編輯于2023年，星期五系統(tǒng)能量本征值系統(tǒng)本征態(tài)函