角動量和角動量守恒

角動量和角動量守恒第一頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五只有動量橫向分量具有角動量，說明角動量是描述旋轉(zhuǎn)強(qiáng)弱的物理量第二頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五第三頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五例：自由下落質(zhì)點(diǎn)的角動量任意時刻t，有（1）對A點(diǎn)的角動量（2）對O點(diǎn)的角動量第四頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五5P*O:力臂剛體繞Oz軸旋轉(zhuǎn)作用在點(diǎn)P,

P的徑矢.對轉(zhuǎn)軸Z的力矩一力矩5.1.2、質(zhì)點(diǎn)的角動量定理第五頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五6剛體內(nèi)作用力和反作用力的力矩O（一對內(nèi)力）互相抵消第六頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五7O討論1）若力不在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)，把力分解為平行和垂直于轉(zhuǎn)軸方向的兩個分量

2）合力矩等于各分力矩的矢量和其中對轉(zhuǎn)軸的力矩為零，故對轉(zhuǎn)軸的力矩第七頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五8質(zhì)點(diǎn)的角動量定理質(zhì)點(diǎn)對某固定點(diǎn)所受的合外力矩等于它對該點(diǎn)角動量的時間變化率二、質(zhì)點(diǎn)的角動量定理或沖量矩對同一參考點(diǎn)O,質(zhì)點(diǎn)所受的沖量矩等于質(zhì)點(diǎn)角動量的增量。第八頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五95.1.3、質(zhì)點(diǎn)角動量守恒定律及其應(yīng)用則或若對某一固定點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)所受合外力矩為零,則質(zhì)點(diǎn)對該固定點(diǎn)的角動量矢量保持不變。若質(zhì)點(diǎn)做勻速直線運(yùn)動中，對O點(diǎn)角動量是否守恒？例：質(zhì)點(diǎn)的角動量定理第九頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五10證明關(guān)于行星運(yùn)動的開普勒定律:任一行星和太陽之間的聯(lián)線,在相等的時間內(nèi)掃過的面積相等,即掠面速度不變.1)行星對太陽O的角動量的大小為其中是徑矢r與行星的動量p或速度v之間的夾角.表示時間內(nèi)行星所走過的弧長,則有若用表示從O到速度矢量v

的垂直距離,則有用[證明]θ第十頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五11其中d/dt稱為掠面速度.由于萬有引力是有心力,它對力心O的力矩總是等于零,所以角動量守恒,L=常量,行星作平面運(yùn)動,而且這就證明了掠面速度不變,也就是開普勒第二定律.第十一頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五(2)角動量守恒說明天體系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)盤狀結(jié)構(gòu)天體系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)盤狀結(jié)構(gòu)第十二頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五5.2質(zhì)點(diǎn)系角動量5.2.1、質(zhì)點(diǎn)系角動量選原點(diǎn)O0C質(zhì)心以上兩式先后代入前式質(zhì)心相對于c的位矢=0

質(zhì)心在c第十三頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五自旋角動量也叫固有角動量例,地球繞太陽轉(zhuǎn).電子繞原子核轉(zhuǎn)軌道角動量第十四頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五分離出系統(tǒng);代表系統(tǒng)內(nèi)的質(zhì)點(diǎn),代表系統(tǒng)外的質(zhì)點(diǎn).0質(zhì)點(diǎn)系的角動量定理對應(yīng)5.2.2、質(zhì)點(diǎn)系的角動量定理第十五頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五5.2.3、質(zhì)點(diǎn)系的角動量守恒定律;討論;1)不要求系統(tǒng)孤立,只要求 2)矢量式有3個分量式,即 的某個分量=0,則相應(yīng)角動量的分量守恒 3)系統(tǒng)守恒條件;第十六頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五17當(dāng)木塊靜止于A處時,彈簧保持原長,設(shè)一質(zhì)量為m的子彈以初速v0水平射向M并嵌在木塊中.當(dāng)木塊運(yùn)動到B(OBOA)時,彈簧的長度為L.求木塊在B點(diǎn)的速度vB的大小和方向.解:m和M相撞時,系統(tǒng)的動量守恒例.光滑水平桌面上放著一質(zhì)量為M的木塊,木塊與一原長為L0,勁度系數(shù)為k的輕彈簧相連,彈簧另一端固定于O點(diǎn).

第十七頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五18解:

AB,只有彈力作功,機(jī)械能守恒

AB,彈力對O點(diǎn)的力矩為零,對O點(diǎn)角動量守恒第十八頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五5-3.剛體的定軸轉(zhuǎn)動ABA’B’B”A”1.平動:在運(yùn)動過程中若剛體上的任意一條直線在各個時刻的位置都相互平行,任意質(zhì)元運(yùn)動都代表整體運(yùn)動2.轉(zhuǎn)動、定軸轉(zhuǎn)動剛體所有質(zhì)元都繞一固定直線做圓周運(yùn)動,該固定直線稱為剛體定軸,這種運(yùn)動稱為剛體的定軸轉(zhuǎn)動

剛體的運(yùn)動 平動+轉(zhuǎn)動只研究剛體繞定軸轉(zhuǎn)動5.3.1剛體的平動和定軸轉(zhuǎn)動第十九頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五5.3.2剛體定軸轉(zhuǎn)動的角量描述1)角位移θ:在t時間內(nèi)剛體轉(zhuǎn)動角度2)角速度

:3)角加速度α:θz剛體定軸轉(zhuǎn)動角速度的方向按右手螺旋法則確定第二十頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五切向分量法向分量zO4.線量與角量關(guān)系勻變速定軸轉(zhuǎn)動第二十一頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的垂直距離剛體到轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量zO5.4剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理角動量守恒5.4.1對定軸的力矩和角動量第二十二頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五質(zhì)點(diǎn)系的角動量定理Z軸分量質(zhì)元對O點(diǎn)的力矩（垂直z軸）zO（垂直z軸）第二十三頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五5.4.2定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量守恒角動量定理1質(zhì)點(diǎn)由微分式積分式2質(zhì)點(diǎn)系由微分式積分式3定軸轉(zhuǎn)動剛體積分這里定軸轉(zhuǎn)動剛體角動量守恒第二十四頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五25O5.5.1剛體的轉(zhuǎn)動定律2）剛體質(zhì)量元受外力，內(nèi)力1）單個質(zhì)點(diǎn)與轉(zhuǎn)軸剛性連接外力矩內(nèi)力矩O5.5定軸轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動定律，轉(zhuǎn)動中的功和能第二十五頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五26剛體定軸轉(zhuǎn)動的角加速度與它所受的合外力矩成正比

，與剛體的轉(zhuǎn)動慣量成反比.

轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量O其中第二十六頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五27轉(zhuǎn)動慣量的物理意義:1.剛體轉(zhuǎn)動慣性大小的量度2.轉(zhuǎn)動慣量與剛體的質(zhì)量有關(guān)3.J

在質(zhì)量一定的情況下與質(zhì)量的分布有關(guān)4.J與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)

5.5.2、轉(zhuǎn)動慣量的計(jì)算對質(zhì)量連續(xù)分布剛體線分布面分布體分布轉(zhuǎn)動慣性的計(jì)算方法：質(zhì)量離散分布剛體第二十七頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五28例:一均勻細(xì)棒長l質(zhì)量為m1)軸Z1過棒的中心且垂直于棒2)軸Z2過棒一端且垂直于棒求:上述兩種情況下的轉(zhuǎn)動慣量oZ

1解:棒質(zhì)量的線密度所以只有指出剛體對某軸的轉(zhuǎn)動慣量才有意義oZ2l第二十八頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五29例:勻質(zhì)圓盤繞垂直于盤面通過中心軸的轉(zhuǎn)動慣量如下圖:解:圓盤半徑為R,總質(zhì)量為m.設(shè)質(zhì)量面密度例:勻質(zhì)圓環(huán)半徑為R,總質(zhì)量為m,求繞垂直于環(huán)面通過中心軸的轉(zhuǎn)動慣量如下圖:ZRdm解:zRrdrdmdSm第二十九頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五例求一質(zhì)量為m的均勻?qū)嵭那驅(qū)ζ湟粭l直徑為軸的轉(zhuǎn)動慣量。解：一球繞Z軸旋轉(zhuǎn)，離球心Z高處切一厚為dz的薄圓盤。其半徑為其體積：其質(zhì)量：其轉(zhuǎn)動慣量：YXZORrdZZ第三十頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五均勻圓盤繞直徑的轉(zhuǎn)動慣量均勻圓環(huán)繞垂直于圓面通過圓心的軸均勻球繞直徑的轉(zhuǎn)動慣量均勻薄球殼繞直徑的轉(zhuǎn)動慣量均勻圓盤繞垂直于盤面且通過中心的軸第三十一頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五3)有關(guān)轉(zhuǎn)動慣量計(jì)算的幾個定理·平行軸定理zh式中:是通過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量m是剛體質(zhì)量,h是c到z的距離是平行于通過質(zhì)心軸的一個軸的轉(zhuǎn)動慣量·垂直軸定理0對于薄板剛體,C薄板剛體對z軸的轉(zhuǎn)動慣量等于對x軸的轉(zhuǎn)動慣量與對y軸的轉(zhuǎn)動慣量之和第三十二頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五·轉(zhuǎn)動慣量疊加,如圖ACz式中:是A球?qū)軸的轉(zhuǎn)動慣量是B棒對z軸的轉(zhuǎn)動慣量是C球?qū)軸的轉(zhuǎn)動慣量·回轉(zhuǎn)半徑任意剛體的回轉(zhuǎn)半徑式中:J是剛體關(guān)于某一軸的轉(zhuǎn)動慣量,m是剛體的質(zhì)量Bo例:G不是質(zhì)心CG第三十三頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五平行軸定理證明：1）薄板質(zhì)心的位矢質(zhì)心相對于質(zhì)心2）任意體；證明方法相同，但要利用第三十四頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五35已知：勻質(zhì)桿M子彈m水平速度求：射入不復(fù)出解：對Mm系統(tǒng)系統(tǒng)角動量守恒勻質(zhì)桿的質(zhì)心速度設(shè)桿長為系統(tǒng)動量守恒對否？OMmc第三十五頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五36圓錐擺子彈擊入桿以子彈和桿為系統(tǒng)機(jī)械能不守恒.角動量守恒；動量不守恒；以子彈和沙袋為系統(tǒng)動量守恒；角動量守恒；機(jī)械能不守恒.圓錐擺系統(tǒng)動量不守恒；角動量守恒；機(jī)械能守恒.討論子彈擊入沙袋細(xì)繩質(zhì)量不計(jì)第三十六頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五37例3：一勻質(zhì)細(xì)棒長為2L,質(zhì)量為m,以與棒長方向相垂直的速度V0在光滑水平面內(nèi)平動時,與前方一固定的光滑支點(diǎn)O發(fā)生完全非彈性碰橦,碰橦點(diǎn)位于棒中心的一方(1/2)L處,如圖所示,求棒在碰橦后的瞬間繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動的角速度.OBAV0V03/2L1/2L解：碰橦前瞬間,桿對O點(diǎn)的角動量為式中為桿的線密度,碰橦后瞬間,桿對O點(diǎn)的角動量為碰橦前后角動量守恒第三十七頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五剛體定軸轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用Rm1m2已知：滑輪M（看成勻質(zhì)圓盤）半徑R物體m1m2求：a=?am1gm2gT解：對否？T1T2T否則滑輪勻速轉(zhuǎn)動，而物體加速運(yùn)動T1T2轉(zhuǎn)動定律線量與角量關(guān)系M1.第三十八頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五已知：2.勻質(zhì)桿m長下落到θ時求：解：C轉(zhuǎn)動定律θmO質(zhì)心運(yùn)動定理第三十九頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五質(zhì)心運(yùn)動定理第四十頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五例：如圖，質(zhì)量為m，長為l

的均勻直棒用輕繩懸掛起來，棒靜止不動?，F(xiàn)突然把其中的一根繩子剪斷，求剪斷瞬間，另一根繩子中的張力。解:第四十一頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五例：用輕質(zhì)細(xì)繩將小球P拴于鉛直細(xì)桿AB上的B點(diǎn)。給小球以初速度v0，v0的方向垂直于AB平面，小球運(yùn)動使細(xì)線逐漸纏繞于AB桿上。初始時，小球與桿的距離為q0，求距離為q1時小球的速率。解：Z軸方向上角動量守恒第四十二頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五例）質(zhì)量為M、半徑為R的轉(zhuǎn)臺，可繞通過中心的豎直軸轉(zhuǎn)動。質(zhì)量為m的人站在邊沿上，人和轉(zhuǎn)臺原來都靜止。如果人沿臺邊緣奔跑一周，求對地而言，人和轉(zhuǎn)臺各轉(zhuǎn)動了多少角度？已知：求：解：以M。m為研究對象故角動量守恒以地面為參照，建立軸的正方向如圖：+MXm第四十三頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五因人和臺原來都靜止故角動量（初始時刻）（2）式×dt積分：+MXm若人和轉(zhuǎn)臺的角速度分別為第四十四頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五+MXmAAm第四十五頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五例：質(zhì)量為M，半徑為R

的水平均勻圓盤，可繞通過中心的光滑豎直軸自由轉(zhuǎn)動，盤上有一質(zhì)量為m的昆蟲。解:(1)角動量守恒(1)初始時，昆蟲與盤均靜止，問昆蟲沿盤的邊緣爬動一周時，盤相對地面轉(zhuǎn)過的角度有多大？

(2)初始時，昆蟲位于盤中心，盤以角速度w0轉(zhuǎn)動,昆蟲沿盤的一條直徑以恒定的速率u向盤的邊緣爬去，問昆蟲爬到盤的邊緣時，盤相對地面轉(zhuǎn)過的角度有多大第四十六頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五(2)第四十七頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五例：長為l

的均勻細(xì)桿。當(dāng)桿靜止于水平位置時,有一只小蟲以速率

垂直落在距點(diǎn)O為

l/4處,并背離點(diǎn)O

向細(xì)桿的端點(diǎn)A

爬行.設(shè)小蟲與細(xì)桿的質(zhì)量均為m.問:欲使細(xì)桿以恒定的角速度轉(zhuǎn)動,小蟲應(yīng)以多大速率向細(xì)桿端點(diǎn)爬行?解:由角動量定理第四十八頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五例4

M由距水平蹺板高為h

處自由下落到蹺板的一端A,并把蹺板另一端的N彈了起來.設(shè)蹺板是勻質(zhì)的,長度為l,質(zhì)量為

,蹺板可繞C

在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動,人的質(zhì)量均為m.假定M落在蹺板上,與蹺板的碰撞是完全非彈性碰撞.問N可彈起多高?ll/2CABMNh解碰撞前M落在A點(diǎn)的速度碰撞后的瞬間,M、N具有相同的線速度第四十九頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五把M、N和蹺板作為一個系統(tǒng),角動量守恒解得演員N以u

起跳,達(dá)到的高度ll/2CABMNh第五十頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五陀螺儀若轉(zhuǎn)子稍不對稱,就會對各個支撐軸產(chǎn)生巨大的作用力使其損壞,所以設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)子精度要高.應(yīng)用:航海、航空、導(dǎo)彈和火箭等系統(tǒng)的定向、導(dǎo)航和自動駕駛等.它們的轉(zhuǎn)子速度達(dá)萬轉(zhuǎn)每分;常平架陀螺儀mg第五十一頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五北南北南角動量守恒使地球自轉(zhuǎn)軸的方向在空間保持不變,因而產(chǎn)生了季節(jié)變化.第五十二頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五Ⅲ、直升飛機(jī)后面的螺旋漿雙漿直升飛機(jī)第五十三頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五

被中香爐慣性導(dǎo)航儀（陀螺）

角動量守恒定律在技術(shù)中的應(yīng)用

應(yīng)用:航海、航空、導(dǎo)彈和火箭等系統(tǒng)的定向、導(dǎo)航和自動駕駛等.它們的轉(zhuǎn)子速度達(dá)萬轉(zhuǎn)每分;若轉(zhuǎn)子稍不對稱,就會對各個支撐軸產(chǎn)生巨大的作用力使其損壞,所以設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)子精度要高.第五十四頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五55力矩的功一力矩作功力的空間累積效應(yīng)

力的功,動能,動能定理.二力矩的功率5.5.3轉(zhuǎn)動的功和能力矩的空間累積效應(yīng)力矩的功,轉(zhuǎn)動動能,動能定理.OθdrP第五十五頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五56三轉(zhuǎn)動動能四剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理合外力矩對繞定軸轉(zhuǎn)動的剛體所作的功等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量.定軸轉(zhuǎn)動動能定理第五十六頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五57五.剛體的重力勢能剛體的重力勢能就是它的各質(zhì)元重力勢能之和。根據(jù)質(zhì)心定義，剛體質(zhì)心的高度應(yīng)為所以剛體勢能寫成

一個不太大剛體的重力勢能和它的全部質(zhì)量集中在質(zhì)心時具有的勢能一樣。六.機(jī)械能守恒定律對于定軸轉(zhuǎn)動剛體，只有保守力做功時，機(jī)械能保持不變。即第五十七頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五58應(yīng)該：0對c點(diǎn)第1題.剛體的勢能等于如圖所示，某人說：剛體的動能等于你同意嗎？對0點(diǎn)C點(diǎn)，相同【答】第五十八頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五59某人說：剛體的角動量就是你同意嗎？應(yīng)該對c點(diǎn)【答】第五十九頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五60第3題.兩個同樣重的小孩，各抓著跨過滑輪的輕繩的一端如圖，他們起初都不動，然后右邊的小孩用力向上爬繩，另一個小孩仍抓住繩子不動。忽略滑輪的質(zhì)量和軸的摩擦。問：哪一個小孩先到達(dá)滑輪？設(shè)滑輪半徑為R，兩小孩的質(zhì)量分別為m1、m2，【解】把小孩看成質(zhì)點(diǎn)，以滑輪中心為“固定點(diǎn)”，m1=m2(爬)(不爬)第六十頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五61對“m1+m2+輕繩+滑輪”系統(tǒng)：外力：條件：所以角動量守恒設(shè)兩小孩分別以速度上升。設(shè)角動量以指向紙內(nèi)為正?！巍危ㄖ赶蚣垉?nèi)）（指向紙外）第六十一頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五62系統(tǒng)的角動量守恒：爬與不爬，兩小孩同時到達(dá)滑輪！有人說該系統(tǒng)機(jī)械能守恒，對不對？有人說該系統(tǒng)動量守恒，對不對？思考：（啟動前）（啟動后）若，此時系統(tǒng)的角動量也不守恒了，會出現(xiàn)什么情況？討論不對。不對。第六十二頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五63系統(tǒng)所受的合外力矩為由角動量定理初始時小孩未動，。(爬)(不爬)系統(tǒng)總角動量若有輕的升得快；以向紙內(nèi)為正輕的升得快。則第六十三頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五64當(dāng)較輕的人爬到滑輪處，較重的人離滑輪還有多高的距離？若開始時離滑輪的距離均為h。設(shè)m:較輕人的質(zhì)量，

m+M:較重人的質(zhì)量。由牛頓第二定律，得整理得(爬)(不爬)hmm+MhxTTmg(m+M)g第六十四頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五65對t積分再對t積分解得即是較重的人離滑輪的距離。(爬)(不爬)hmm+MhxTTmg(m+M)gmm+Ml第六十五頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期五一）何謂進(jìn)動（旋進(jìn)）陀螺的運(yùn)動進(jìn)動演示儀的運(yùn)動G遠(yuǎn)離O點(diǎn)，從頂部看順時針轉(zhuǎn)動G靠近O點(diǎn)，從頂部看逆時針轉(zhuǎn)動OZGBCC’OZFV進(jìn)