平行線綜合課

等腰三角形的性質(zhì)等腰三角形的性質(zhì)折一折剪一剪DABCBAD展一展等腰三角形定義：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形。相等的兩條邊（AB和AC）叫做腰另一條邊（BC）叫做底邊兩腰所夾的角（∠A）叫做頂角剪一剪設(shè)問1：剛才剪紙得到的△ABC是軸對稱圖形嗎？它的對稱軸是什么？折痕AD所在的直線是它的對稱軸ABCD腰腰底腰:底邊：頂角：

底角：腰與底邊的夾角（∠B和∠C）叫底角ABCD設(shè)問2：通過折疊，你能發(fā)現(xiàn)哪些相等的線段、相等的角？

（1）AB=AC（2）BD=CD

（3）

∠B=∠C（4）∠BAD=∠CAD（5）∠ADC=∠ADB=900猜猜等腰三角形性質(zhì)：性質(zhì)2

等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。（簡寫成“三線合一”）（簡寫成“等邊對等角”）；→兩個底角相等→AD為底邊BC上的中線→AD為頂角∠BAC的平分線→AD為底邊BC上的高→等腰三角形的兩腰相等性質(zhì)1

等腰三角形的兩個底角相等。ABCD等腰三角形性質(zhì)：性質(zhì)1

等腰三角形的兩個底角相等。性質(zhì)2

等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。（可簡記為“三線合一”）（簡寫成“等邊對等角”）；幾何語言表示:∵AB=AC∴∠B=∠C

(等腰三角形的兩個底角相等)∵AB=AC,∠BAD=∠CAD

∴BD=CD,AD⊥BC

(三線合一)等邊對等角

在等腰三角形中,（1）已知頂角為70°，其余兩個角分別為＿＿。（2）已知底角為70°，其余兩個角分別為＿＿。（3）已知一個角為70°,其余兩個角分別為＿＿（4）已知一個角為100°，其余兩個角分別為＿(5)已知等腰三角形的兩邊長分別是4和6，則它的周長是（

）

A、14B、15C、16D、14或1655°、55°70°、40°練一練練習：已知：如圖，房屋的頂角∠BAC=100o,過屋頂A的立柱ADBC,屋椽AB=AC.求頂架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度數(shù).ABDC解：在△ABC中∵AB=AC，∴∠B=∠C（等邊對等角）∴∠B=∠C=1/2(180°－∠A)=40°(三角形內(nèi)角和定理)又∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD（等腰三角形頂角的平分線與底邊上的高互相重合）.∴∠BAD=∠CAD=50°問題：等腰三角形的底角的范圍是什么？頂角呢？等邊三角形1、定義：三條邊都相等的三角形是等邊三角形2、性質(zhì)：等邊三角形的各個角都相等，各個邊都相等，并且每一個角都等于60°，也稱為正三角形等邊三角形也是軸對稱圖形，它有幾條對稱軸（3條）

如圖，在△ABC中，AB=AC，點D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度數(shù)1、圖中有哪幾個等腰三角形？ABCDx⌒2x⌒2x⌒⌒2x應(yīng)用新知，體驗成功?！鰽BC、△ABD、△BDC2、有哪些相等的角？∠ABC=∠ACB=∠BDC、∠

A=∠ABD3、這兩組相等的角之間有什么關(guān)系？∠BDC=2∠

A∠ABC+∠ACB+∠A=180°ABCD已知:如圖，AB=BC=CD=ED=EF.EFMN∠A=15°，試求∠FEM的度數(shù)？

已知:點D、E在△ABC中,AB=AC,AD=AE.求證：BD=CE。ABCDEF

如圖在等腰三角形ABC中，AB=AC.點D為BC的中點．AEDCBF(1)猜想一下：點D到兩腰的距離DE與DF相等嗎？（2）如果DE、DF分別是AB、AC上的中線或∠ADB、∠ADC的平分線，它們還相等嗎？（3）如果將點D沿DA由D向A運動到D′，那么點D′到兩腰的距離還相等嗎？試說明理由．探一探

如圖：把一張長方形紙片按圖中的虛線對折,

并剪去紅線下方的部分,再把它展開,得△ABC

ACDB觀察AC和AB有什么關(guān)系?這個三角形有什么特點?AC=AB,△ABC是等腰三角形心靈手巧相信你：

有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.回憶三角形的中線、角平分線和高線如圖：中線AD,角平分線AE,高AF（1）什么是等腰三角形？（2）等腰三角形的有關(guān)概念（3）三角形中學(xué)過哪些重要線段?

把剪出的等腰三角形ABC沿折痕對折，找出其中重合的線段和角.找一找

等腰三角形是軸對稱圖形嗎？思考是重合的線段重合的角

ACBDAB＝ACBD＝CD

AD＝AD∠B＝

∠C.∠BAD＝∠CAD∠ADB＝

∠ADC

等腰三角形除了兩腰相等以外,

你還能發(fā)現(xiàn)它的其他性質(zhì)嗎?

大膽猜想猜想與論證等腰三角形的兩個底角相等。已知：△ABC中，AB=AC求證：∠B=C分析：1.如何證明兩個角相等？

2.如何構(gòu)造兩個全等的三角形？猜想ABCDABC則有∠1＝∠2D12在△ABD和△ACD中證明:

作頂角的平分線AD，AB＝AC

∠1＝∠2

AD＝AD

（公共邊）

∴

△ABD≌

△ACD

（SAS）

∴

∠B＝∠C

（全等三角形對應(yīng)角相等）

方法一ABC則有BD＝CDD在△ABD和△ACD中證明:

作△ABC

的中線ADAB＝AC

BD＝CDAD＝AD

（公共邊）

∴

△ABD≌

△ACD

（SSS）

∴

∠B＝∠C

（全等三角形對應(yīng)角相等）

方法二ABC則有∠ADB＝∠ADC＝90oD在Rt△ABD和Rt△ACD中證明:

作△ABC

的高線ADAB＝AC

AD＝AD

（公共邊）

∴Rt△ABD≌Rt△ACD

（HL）

∴

∠B＝∠C

（全等三角形對應(yīng)角相等）

方法三歸納結(jié)論等腰三角形的兩個底角相等。性質(zhì)1(等邊對等角)用符號語言表示為：在△ABC中，∵AC=AB（已知）∴∠B=∠C

（等邊對等角）ABC看誰算得快如圖，在下列等腰三角形中，分別求出它們的底角的度數(shù)。ABC120°ABC36°⒈等腰三角形一個底角為75°,它的另外兩個角為_____

__；⒉等腰三角形一個角為70°,它的另外兩個角為___________________；⒊等腰三角形一個角為110°,它的另外兩個角為________。75°,30°70°,40°或55°,55°35°,35°鞏固練習(1)想一想:

剛才的證明除了能得到∠B＝∠C你還能發(fā)現(xiàn)什么?重合的線段重合的角

ABDCAB＝ACBD＝CD

AD＝AD∠B＝

∠C.∠BAD＝∠CAD

∠ADB＝∠ADC=90°猜想：等腰三角形的頂角平分線,底邊上的中線，底邊上的高互相重合ABC則有∠1＝∠2D12在△ABD和△ACD中證明:

作頂角的平分線AD，AB＝AC

∠1＝∠2

AD＝AD

（公共邊）

∴

△ABD≌

△ACD

（SAS）

∴

BD＝CD∠ADB＝∠ADC=90°論證猜想思考：

(2)等腰三角形底角的平分線與它所對邊上的中線和高線重合么？(1)等腰三角形的對稱軸是什么？等腰三角形是軸對稱圖形.對稱軸是底邊上的中線(頂角平分線,底邊上的高)所在直線

4：△ABC是等腰直角三角形（AB=AC，∠BAC=90°），AD是底邊BC上的高，標出∠B，∠C，

∠BAD，∠DAC的度數(shù)？

5：在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=16°，求∠B和∠C的度數(shù)BACDBDCA鞏固練習（2）

答：∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°

答：∠B=82°

，∠C=41°1.判斷：等腰三角形的角平分線、中線和高線互相重合（）2.如圖,AB=AC,AD⊥BC交BC于點D,BD=5cm,那么BC的長度為（)

小試身手×10cm例1、如圖，在△ABC中，AB=AC，點D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度數(shù)。ABCD解：∵AB=AC，BD=BC=AD，∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD（等邊對等角)設(shè)∠A=x,則∠BDC=∠A+∠ABD=2x,從而∠ABC=∠C=∠BDC=2x,于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，解得x=36°，在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°x⌒2x⌒2x⌒⌒2xACBD如圖，是西安半坡博物館屋頂?shù)慕孛鎴D，已經(jīng)知道它的兩邊AB和AC是相等的.建筑工人師傅對這個建筑物做出了兩個判斷:①工人師傅在測量了∠B為37°以后，并沒有測量∠C，就說∠C的度數(shù)也是37°.

②工人師傅要加固屋頂，他們通過測量找到了橫梁BC的中點D，然后在AD兩點之間釘上一根木樁，他們認為木樁是垂直橫梁的.請同學(xué)們想想,工人師傅的說法對嗎？請說明理由.（學(xué)以致用）

如圖，已知AB=AC，∠BAC=1100，AD是△ABC的中線。（1）求∠1和∠2的度數(shù)；（2）AD⊥BC嗎？為什么？ABCD12（1）解：在△ABC