線性代數(shù)二階三階行列式

關(guān)于線性代數(shù)二階三階行列式第1頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三一、行列式的性質(zhì)性質(zhì)1

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.行列式稱為行列式的轉(zhuǎn)置行列式.記第2頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三性質(zhì)2

互換行列式的兩行（列）,行列式變號.說明行列式中行與列具有同等的地位,因此行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立.例如推論如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零.第3頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三性質(zhì)3

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)，等于用數(shù)乘此行列式.推論

行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面．第4頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三性質(zhì)４

行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零．證明第5頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三性質(zhì)5若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和.則D等于下列兩個行列式之和：例如第6頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三性質(zhì)６

把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列(行)對應(yīng)的元素上去，行列式不變．例如第7頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三

利用行列式的上述性質(zhì)，往往可以使行列式的計算簡化，但我們知道階數(shù)越低的行列式越容易計算。比如二階行列式比三階行列式要容易計算得多。因此，我們自然地提出，能否把行列式轉(zhuǎn)化為一些階數(shù)較低的行列式來計算？為此先給出余子式和代數(shù)余子式的概念。第8頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三二、余子式與代數(shù)余子式在階行列式中，把元素所在的第行和第列劃去后，留下來的階行列式叫做元素的余子式，記作例如叫做元素的代數(shù)余子式．第9頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三第10頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三引理一個階行列式，如果其中第行所有元素除外都為零，那末這行列式等于與它的代數(shù)余子式的乘積，即．例如第11頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三定理行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即證三、行列式按行（列）展開法則第12頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三推論

行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即第13頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三四、行列式的計算1、將行列式化成三角行列式計算例１計算行列式第14頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三解第15頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三例2

計算階行列式解將第都加到第一列得第16頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三各行都減去第一行行列式特點主對角線元素相同，主對角線以外元素相同基本思路把各列（行）都加到第一列（行）上，提公因式，各行(列)都減去第一行（列）,化三角行列式。第17頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三例3計算行列式解第18頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三行列式特點基本思路第一列（行）的元素相同，第二列（行）的相鄰元素等差下一行（列）減上一行（列），化三角行列式第19頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三例42、行列式按行（列）展開降階計算解第20頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三第21頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三例5計算n階行列式解將按第一列展開方法一第22頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三這個n－1階行列式與Dn有相同的形式，把它記作Dn-1這是一個n－1階的下三角行列式等于第23頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三這個式子對于任何n都成立，是一個遞推公式，因此有且所以第24頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三方法二從第一列開始，前一列乘加到后一列第25頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三行列式特點兩對角線一條邊類似的還有基本思路：按行按列展開第26頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三解例6計算范德蒙(Vandermonde)行列式第27頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三按第一列展開第28頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三

n-1階范德蒙行列式第29頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三如此下去最后得到通常簡記作第30頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三五、行列式的乘法公式