2021-2022學(xué)年廣東省梅州市蕉嶺城鎮(zhèn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析

2021-2022學(xué)年廣東省梅州市蕉嶺城鎮(zhèn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在極坐標(biāo)系中，圓的圓心的極坐標(biāo)為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A2.過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F斜率為1的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，向量共線，則該橢圓的離心率為

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B3.在△ABC中，若，b=4，B=2A，則sinA的值為（）A．

B．

C．

D．參考答案：D4.函數(shù)的反函數(shù)是（

）A．

B．C．

D．參考答案：D5.函數(shù)在（0，1）上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）

A．

B．（1，2）

C．

D．參考答案：C略6.函數(shù)，則的最大值是（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：C略7.已知點(diǎn)P（x，y）滿足為坐標(biāo)原點(diǎn)，則使的概率為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】CF：幾何概型．【分析】作出圖形，求出相應(yīng)區(qū)域的面積，即可求出概率．【解答】解：如圖所示，點(diǎn)P（x，y）滿足的區(qū)域面積為=，使成立的區(qū)域如圖中陰影部分，面積為﹣=1，∴所求概率為=，故選：D．8.函數(shù)的定義域?yàn)镈，若滿足：①在D內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②存在，使得在上的值域?yàn)?，那么就稱函數(shù)為“優(yōu)美函數(shù)”，若函數(shù)是“優(yōu)美函數(shù)”，則t的取值范圍為（）A.（0，1）

B.

C.

D.（0，）參考答案：D略9.直線的傾斜角等于（）A． B． C． D．0參考答案：D考點(diǎn)： 直線的傾斜角．專題： 計(jì)算題；直線與圓．分析： 化簡(jiǎn)得直線即y=，表示一條與x軸平行的直線，利用傾斜角的定義可得直線傾斜角的大?。獯穑?解：∵∴即y=，表示一條與x軸平行的直線因此，直線的傾斜角等于0故選：D點(diǎn)評(píng)： 本題給出直線方程，求直線的傾斜角大?。乜疾榱酥本€的基本量與基本形式等概念，屬于基礎(chǔ)題．10.一天有語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、物理、化學(xué)、生物、體育七節(jié)課，體育不在第一節(jié)上,數(shù)學(xué)不在第六、七節(jié)上，這天課表的不同排法種數(shù)為

（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.過(guò)原點(diǎn)作曲線的切線，則切線的方程為___________.參考答案：y=ex略12.展開式中不含項(xiàng)的系數(shù)的和為

▲

參考答案：0采用賦值法，令x=1得：系數(shù)和為1，減去項(xiàng)系數(shù)即為所求，故答案為0.13.函數(shù)在處的切線與y軸的交點(diǎn)為

。參考答案：14.已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.參考答案：.當(dāng)，當(dāng)，故.15.函數(shù)的定義域?yàn)開____▲____．參考答案：16.數(shù)列{14－2n}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{︱14－2n︱}的前n項(xiàng)和為Sn′，若Sn的最大值為Sm，則n≥m時(shí)，Sn′＝

參考答案：

17.直線（為參數(shù)）被圓所截得的弦長(zhǎng)為_________。參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.設(shè)函數(shù)．(1)若函數(shù)在上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的最小值；(2)若存在，使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．參考答案：(1)(2)

【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．B11B12解析：(1)由已知得x＞0，x≠1．因f(x)在上為減函數(shù)，故在上恒成立．…1分所以當(dāng)時(shí)，．又，………2分故當(dāng)，即時(shí)，．所以于是，故a的最小值為．

……………4分(2)命題“若存在使成立”等價(jià)于“當(dāng)時(shí)，有”．………5分由（Ⅰ），當(dāng)時(shí)，，．問(wèn)題等價(jià)于：“當(dāng)時(shí)，有”．…6分①當(dāng)時(shí)，由（1），在上為減函數(shù)，則=，故．

…8分②當(dāng)<時(shí)，由于在上的值域?yàn)椋á。?，即，在恒成立，故在上為增函?shù)，于是，，矛盾．…10分（ⅱ），即，由的單調(diào)性和值域知，存在唯一，使，且滿足：當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)；所以，，……12分所以，，與矛盾．綜上得……………13分【思路點(diǎn)撥】(1)由已知得f（x）的定義域?yàn)椋?，1）∪（1，+∞），在（1，+∞）上恒成立，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出a的最大值；(2)命題“若存在x1，x2∈[，e2]，使f（x1）≤f′（x2）﹣a成立”，等價(jià)于“當(dāng)時(shí)，有f（x）min≤f′（x）max﹣a”，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)結(jié)合分類討論思想能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．19.已知函數(shù)，其中．（1）討論f（x）的單調(diào)性；（2）當(dāng)a=1時(shí)，證明：；（3）求證：對(duì)任意正整數(shù)n，都有（其中e≈2.7183為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）參考答案：（1）見解析（2）見解析（3）見解析【分析】（1）分別在和兩段范圍內(nèi)討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，從而得到單調(diào)區(qū)間；（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明，通過(guò)導(dǎo)數(shù)求得，從而證得所證不等式；（3）根據(jù)（2）可知，令，則可得，再通過(guò)進(jìn)行放縮，證得，從而得到所證結(jié)論.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，①?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增②當(dāng)時(shí)，令，解得：當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增（2）當(dāng)時(shí)，要證明，即證，即設(shè)則，令得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以為極大值點(diǎn)，也為最大值點(diǎn)所以，即故（3）由（2）（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）令，則所以即所以【點(diǎn)睛】本題考查討論含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)最值證明不等式問(wèn)題、與自然數(shù)相關(guān)的不等式的證明問(wèn)題.對(duì)于導(dǎo)數(shù)中含自然數(shù)的問(wèn)題的證明，關(guān)鍵是對(duì)已知函數(shù)關(guān)系中的自變量進(jìn)行賦值，進(jìn)而得到與相關(guān)的不等關(guān)系，利用放縮的思想進(jìn)行證明.20.本小題滿分14分)設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與軸交于，焦點(diǎn)為；以為焦點(diǎn)，離心率的橢圓與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)為.（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，直線經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，與拋物線交于，如果弦長(zhǎng)等于三角形的周長(zhǎng)，求直線的斜率.（Ⅱ）求最小實(shí)數(shù)，使得三角形的邊長(zhǎng)是自然數(shù)．參考答案：解：（Ⅰ）已知，故橢圓方程為，即.依題意知直線存在斜率，設(shè)：

聯(lián)立

得

…………3分

直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)，弦的中點(diǎn)，由韋達(dá)定理得

…………..5分則

………8分三角形的周長(zhǎng)由解得.

………9分（Ⅱ）設(shè)橢圓長(zhǎng)半軸為，半焦距為，由題設(shè)有.又設(shè)，有設(shè)，對(duì)于拋物線，；對(duì)于橢圓，，即

…..12分由

解得

從而因此，三角形的邊長(zhǎng)分別是

.…………………13分使得三角形的邊長(zhǎng)是連續(xù)的自然數(shù)的最小實(shí)數(shù).

…….…………14分21.（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，，∥，且，，為的中點(diǎn)．（Ⅰ）設(shè)與平面所成的角為，二面角的大小為，求證：；（Ⅱ）在線段上是否存在一點(diǎn)（與兩點(diǎn)不重合），使得∥平面?若存在，求的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：解法一：(1)證明：又

1分又平面，,面

2分∴

3分

,

5分

6分(2)取的中點(diǎn)，連交于,由與相似得，,

7分

在上取點(diǎn),使,則,

8分

在上取點(diǎn)使,由于平行且等于,

故有平行且等于，

9分四邊形為平行四邊形，所以,

10分而,故有∥平面,

11分所以在線段上存在一點(diǎn)使得∥平面，的長(zhǎng)為.

12分解法二：（1）同解法一；（2）如圖，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立直角坐標(biāo)系，則,為的中點(diǎn),則

7分假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)，則共面，故存在實(shí)數(shù)，使得

9分

即，故有即

11分即存在符合條件的點(diǎn)，的長(zhǎng)為.

12分22.（本小題滿分12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）令，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．參考答案：解析：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，∴，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故．·····························································································4分（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，∴·······················5分令，則，兩式相減得∴，·························································································7分故，··········