第十一章-動量矩定理(修改)課件

第十一章動量矩定理第十一章動量矩定理質(zhì)點(diǎn)Q的動量對于點(diǎn)O的矩，定義為質(zhì)點(diǎn)對于點(diǎn)O的動量矩。11-1質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動量矩1.質(zhì)點(diǎn)的動量矩質(zhì)點(diǎn)對于點(diǎn)O的動量矩是矢量，垂直于矢徑

r

與

mv

所形成的平面，矢量指向按照右手法則確定。大小為：質(zhì)點(diǎn)動量在Oxy平面內(nèi)的投影：是代數(shù)量：對點(diǎn)O的矩，定義為質(zhì)點(diǎn)動量對于z軸的矩，簡稱對z軸的動量矩。質(zhì)點(diǎn)對點(diǎn)O的動量矩在z軸上的投影，等于對z軸的動量矩。動量矩的量綱：動量矩的單位：例：質(zhì)量為m質(zhì)點(diǎn)在xoy

平面內(nèi)運(yùn)動，運(yùn)動方程為x=acost、y=bsin2t，a、b、為常量。求該質(zhì)點(diǎn)對O點(diǎn)動量矩。解：由定義，可得：或用代數(shù)量方向垂直xoy平面2.質(zhì)點(diǎn)系的動量矩

質(zhì)點(diǎn)系對某點(diǎn)O的動量矩等于各質(zhì)點(diǎn)對同一點(diǎn)O的動量矩的矢量和，或稱為質(zhì)點(diǎn)系動量對O點(diǎn)的主矩。質(zhì)點(diǎn)系對某軸z的動量矩等于各質(zhì)點(diǎn)對同一z軸動量矩的代數(shù)和。即：質(zhì)點(diǎn)系對某點(diǎn)O的動量矩矢在通過該點(diǎn)的z軸上的投影等于質(zhì)點(diǎn)系對于該軸的動量矩?？蓪⑷抠|(zhì)量集中于質(zhì)心，作為一個質(zhì)點(diǎn)計(jì)算其動量矩。剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時：令:-稱對Z軸的轉(zhuǎn)動慣量則:即：繞定軸轉(zhuǎn)動剛體對轉(zhuǎn)軸的動量矩等于剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與轉(zhuǎn)動角速度的乘積。剛體平移時：例：均質(zhì)圓盤質(zhì)量為m，以繞A轉(zhuǎn)動，已知圓盤對A點(diǎn)的轉(zhuǎn)動慣量JA，求圓盤對點(diǎn)A的動量矩。解：定軸轉(zhuǎn)動例：半徑為R的均質(zhì)圓盤質(zhì)量為m，速度V，只滾不滑，已知圓盤對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量Jc，求圓盤對點(diǎn)A的動量矩。解：平面運(yùn)動例：物體質(zhì)量為m，求物體對點(diǎn)A的動量矩。解：物體平移例：半徑為R的均質(zhì)圓盤A、B質(zhì)量為m，A只滾不滑，圓盤對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量JO，C質(zhì)量為m1，以速度V下落。求系統(tǒng)對點(diǎn)O的動量矩。解：A平面運(yùn)動，B定軸轉(zhuǎn)動，C平移例：兩個均質(zhì)繞線輪，質(zhì)量各為m，半徑為R，對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量為mR2/2，圖示瞬時兩輪角速度均為。求系統(tǒng)對固定軸O的動量矩。解：系統(tǒng)對軸O的動量矩為A和B對O動量矩的代數(shù)和。A對O的動量矩，有：B對O的動量矩，B作平面運(yùn)動系統(tǒng)對軸O的動量矩，為：例：球C和D重均為G，桿中點(diǎn)固定在AB上。桿繞AB以勻角速度轉(zhuǎn)動。求質(zhì)點(diǎn)系對轉(zhuǎn)軸的動量矩：(1)不計(jì)桿重；(2)均質(zhì)桿CD重2G。解：質(zhì)點(diǎn)的速度為(1)不計(jì)桿重，動量矩如下：轉(zhuǎn)向?yàn)槟鏁r針(2)均質(zhì)桿CD重2G，動量矩如下：取微元，質(zhì)量和速度為：微元對軸的動量矩：桿對軸的動量矩：質(zhì)點(diǎn)系對軸的動量矩：動量對于點(diǎn)O的矩，定義為質(zhì)點(diǎn)對于點(diǎn)O的動量矩。動量在Oxy平面內(nèi)的投影對點(diǎn)O的矩稱為動量對于z軸的矩：質(zhì)點(diǎn)系的動量矩：小結(jié)一下：剛體作一般運(yùn)動時：質(zhì)點(diǎn)系對任一點(diǎn)A的動量矩等于集中于系統(tǒng)質(zhì)心的動量mvc

對于點(diǎn)A的動量矩和此系統(tǒng)對于質(zhì)心C的動量矩的矢量和。可將全部質(zhì)量集中于質(zhì)心，作為一個質(zhì)點(diǎn)計(jì)算其動量矩。剛體繞定軸轉(zhuǎn)動：剛體平移：1.質(zhì)點(diǎn)的動量矩定理質(zhì)點(diǎn)對定點(diǎn)O的動量矩為Mo(mv)作用力F對同一點(diǎn)的矩為Mo(F)

將動量矩對時間取一次導(dǎo)數(shù)，根據(jù)質(zhì)點(diǎn)動量定理：且11-2動量矩定理質(zhì)點(diǎn)動量矩定理：質(zhì)點(diǎn)對某定點(diǎn)的動量矩對時間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用力對同一點(diǎn)的矩。實(shí)際應(yīng)用取在直角坐標(biāo)軸上的投影式，由對點(diǎn)的動量矩與對軸的動量矩的關(guān)系，得：即：質(zhì)點(diǎn)對某定軸動量矩對時間一階導(dǎo)數(shù)等于作用力對于同一軸的矩。2.質(zhì)點(diǎn)的動量矩守恒定律如果作用于質(zhì)點(diǎn)的力對于某定點(diǎn)的矩恒等于零，則質(zhì)點(diǎn)對該點(diǎn)的動量矩保持不變，=恒矢量如果作用于質(zhì)點(diǎn)的力對于某定軸的矩恒等于零，則質(zhì)點(diǎn)對該軸的動量矩保持不變，=恒量3.質(zhì)點(diǎn)系的動量矩定理質(zhì)點(diǎn)上作用外力和內(nèi)力；n個質(zhì)點(diǎn)，有：質(zhì)點(diǎn)系動量矩定理：質(zhì)點(diǎn)系對于某定點(diǎn)O動量矩對時間導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對于同一點(diǎn)矩的矢量和（外力對點(diǎn)O的主矩）。內(nèi)力成對出現(xiàn)：應(yīng)用時，取投影式：即：質(zhì)點(diǎn)系對于某定軸的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對同一定軸的矩的代數(shù)和。注意：

上述動量矩定理的表達(dá)形式只適用于對固定點(diǎn)或固定軸4.質(zhì)點(diǎn)系動量矩守恒定律由質(zhì)點(diǎn)系動量矩定理：內(nèi)力不能改變質(zhì)點(diǎn)系的動量矩，外力才能使質(zhì)點(diǎn)系的動量矩發(fā)生變化。質(zhì)點(diǎn)系動量矩守恒定律：當(dāng)外力對于某定點(diǎn)（或某定軸）的主矩（或力矩的代數(shù)和）等于零時，質(zhì)點(diǎn)系對于該點(diǎn)（或該軸）的動量矩保持不變。例11-1：高爐運(yùn)送礦石用的卷揚(yáng)機(jī)。已知鼓輪的半徑為R，質(zhì)量為m1，輪繞O軸轉(zhuǎn)動。小車和礦石總質(zhì)量為m2。作用在鼓輪上的力偶為M，鼓輪對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為J，軌道的傾角為θ。設(shè)繩的質(zhì)量和各處摩擦均不計(jì)。求小車的加速度a。解：小車與鼓輪組成質(zhì)點(diǎn)系，以順時針為正，此質(zhì)點(diǎn)系對O軸的動量矩為：受力分析：P1、Fx、Fy對O軸的矩為零。PN、Pn對O的矩相消。flash系統(tǒng)外力對O軸的矩為：由質(zhì)點(diǎn)系對O軸的動量矩定理解得小車的加速度沿斜坡向上。例11-3：小球A、B以細(xì)繩相連，質(zhì)量皆為m，其余構(gòu)件質(zhì)量不計(jì)。忽略摩擦，系統(tǒng)繞z軸自由轉(zhuǎn)動，初始時系統(tǒng)的角速度為0。當(dāng)細(xì)繩拉斷后，求各桿與鉛垂線成θ角時系統(tǒng)的角速度ω。解：此系統(tǒng)所受的重力和軸承支反力對于轉(zhuǎn)軸的矩都等于零，因此系統(tǒng)對于轉(zhuǎn)軸的動量矩守恒。flash11-3剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動微分方程1.剛體繞定軸轉(zhuǎn)動剛體上作用有主動力和軸承約束反力。根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系對于z軸的動量矩定理有：或：也可寫成：或：—剛體繞定軸的微分方程即：剛體對定軸的轉(zhuǎn)動慣量與角加速度的乘積，等于作用于剛體的主動力對該軸的矩的代數(shù)和。結(jié)論：(1)作用于剛體的主動力對轉(zhuǎn)軸的矩使剛體的轉(zhuǎn)動狀態(tài)發(fā)生變化；(2)如果作用于剛體的主動力對轉(zhuǎn)軸的矩的代數(shù)和等于零，則剛體作勻速轉(zhuǎn)動；如果主動力對轉(zhuǎn)軸的矩的代數(shù)和為恒量，則剛體作勻變速轉(zhuǎn)動(3)在一定時間間隔內(nèi)，當(dāng)主動力對轉(zhuǎn)軸的矩相同時，剛體的轉(zhuǎn)動慣量越大，轉(zhuǎn)動狀態(tài)變化越小；轉(zhuǎn)動慣量越小，轉(zhuǎn)動狀態(tài)變化越大。剛體轉(zhuǎn)動慣量的大小表現(xiàn)了剛體轉(zhuǎn)動狀態(tài)改變的難易程度。即：轉(zhuǎn)動慣量是剛體轉(zhuǎn)動時慣性的度量。例11-4：滑輪半徑為R，轉(zhuǎn)動慣量為J，膠帶拉力為F1和F2。求滑輪的角加速度。解：根據(jù)剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動微分方程，有：可得：只有勻速轉(zhuǎn)動時，或轉(zhuǎn)動慣量可忽略即不計(jì)質(zhì)量時：拉力F1和F2時才相等例11-6：飛輪重P，半徑R，對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量JZ，以0轉(zhuǎn)動。制動時閘塊對輪緣的法向壓力為Q，動摩擦系數(shù)f不變，不計(jì)軸承摩擦。求制動所需時間。解：可通過求得外力只有F對Z軸有矩：剛體轉(zhuǎn)動微分方程：飛輪從00，需知和t的關(guān)系例11-7：軸系Ⅰ和軸系Ⅱ的轉(zhuǎn)動慣量為J1和J2，傳動比i12=R2/R1，R1、R2為輪1和輪2的半徑，軸Ⅰ上有主動力矩M1，軸Ⅱ上有阻力矩M2。求軸Ⅰ的角加速度。解：可通過轉(zhuǎn)動微分方程求。分別取兩軸系研究，有：重力、軸承反力和Fn無矩軸系Ⅰ：軸系Ⅱ：又：可得：M1、M2是常數(shù)時，為常數(shù)。如初始及末時的角速度已知，由：可解得1進(jìn)而可解得M1、M2及F2剛體的轉(zhuǎn)動慣量是剛體轉(zhuǎn)動時慣性的度量各質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與質(zhì)點(diǎn)到軸的垂直距離平方的乘積之和轉(zhuǎn)動慣量與質(zhì)量大小有關(guān)，且與質(zhì)量的分布情況有關(guān)。轉(zhuǎn)動慣量的單位：解決工程中剛體轉(zhuǎn)動問題，必須理解轉(zhuǎn)動慣量的概念，并會計(jì)算或測定轉(zhuǎn)動慣量。1.簡單形狀物體的轉(zhuǎn)動慣量計(jì)算(1)均質(zhì)細(xì)直桿對于z軸的轉(zhuǎn)動慣量—單位長度的質(zhì)量11-4剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量(2)均質(zhì)薄圓環(huán)對于中心軸的轉(zhuǎn)動慣量圓環(huán)質(zhì)量為m，半徑為R圓環(huán)沿圓周分成許多微段，每段質(zhì)量為mi微段到中心軸的距離都等于半徑R圓環(huán)對于中心軸z的轉(zhuǎn)動慣量為：(3)均質(zhì)圓板對于中心軸的轉(zhuǎn)動慣量圓板的半徑為R，質(zhì)量為m，分為無數(shù)同心的薄圓環(huán)。任一圓環(huán)的半徑為ri，寬度為dr，則圓環(huán)的質(zhì)量為：——均質(zhì)圓板單位面積的質(zhì)量?；?.慣性半徑（或回轉(zhuǎn)半徑）對于均質(zhì)物體，其轉(zhuǎn)動慣量與質(zhì)量的比值僅與物體的幾何形狀和尺寸有關(guān)。細(xì)直桿均質(zhì)圓環(huán)均質(zhì)圓板形狀相同而材料不同的物體，上列比值是相同的。令——慣性半徑（或回轉(zhuǎn)半徑）形狀相同的均質(zhì)物體，慣性半徑是一樣的若已知慣性半徑，則物體的轉(zhuǎn)動慣量：即：物體的轉(zhuǎn)動慣量等于該物體的質(zhì)量與慣性半徑平方的乘積3.平行軸定理定理：剛體對于任一軸的轉(zhuǎn)動慣量，等于剛體對于通過質(zhì)心、并與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動慣量，加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離d平方的乘積，即

Z’軸通過質(zhì)心C，且C在Y軸上，剛體對Z’軸的轉(zhuǎn)動慣量為JZC，對Z軸的轉(zhuǎn)動慣量為JZ。由圖：在Cx’yz’坐標(biāo)系中，又故：

當(dāng)物體由幾個幾何形狀簡單的物體組成時，計(jì)算整體的轉(zhuǎn)動慣量可先分別計(jì)算每一部分的轉(zhuǎn)動慣量，然后再合起來。如果物體有空心的部分，可把這部分質(zhì)量視為負(fù)值處理。例11-9：

沖擊擺由均質(zhì)桿OA和圓盤組成，已知桿長L，質(zhì)量M1。圓盤半徑R，質(zhì)量M2。求擺對OZ軸（垂直版面）轉(zhuǎn)動慣量。解：由定義桿對軸的轉(zhuǎn)動慣量：盤對軸的轉(zhuǎn)動慣量：于是得：

動量對于點(diǎn)O的矩，定義為質(zhì)點(diǎn)對于點(diǎn)O的動量矩。動量在Oxy平面內(nèi)的投影，對點(diǎn)O的矩為動量對于z軸的矩。

質(zhì)點(diǎn)系的動量矩：可將全部質(zhì)量集中于質(zhì)心，作為一個質(zhì)點(diǎn)計(jì)算其動量矩。剛體繞定軸轉(zhuǎn)動：剛體平移：小結(jié)：剛體作一般運(yùn)動時：質(zhì)點(diǎn)系對任一點(diǎn)A的動量矩等于集中于系統(tǒng)質(zhì)心的動量mvc

對于點(diǎn)A的動量矩和此系統(tǒng)對于質(zhì)心C的動量矩的矢量和。質(zhì)點(diǎn)動量矩定理：質(zhì)點(diǎn)對某定點(diǎn)的動量矩對時間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用力對同一點(diǎn)的矩。即：質(zhì)點(diǎn)對某定軸的動量矩對時間的一階導(dǎo)數(shù)等于作用力對于同一軸的矩。質(zhì)點(diǎn)動量矩守恒定律：如果作用于質(zhì)點(diǎn)的力對于某定點(diǎn)的矩恒等于零，則質(zhì)點(diǎn)對該點(diǎn)的動量矩保持不變；=恒量如果作用于質(zhì)點(diǎn)的力對于某定軸的矩恒等于零，則質(zhì)點(diǎn)對該軸的動量矩保持不變。=恒量剛體的轉(zhuǎn)動慣量：令——慣性半徑（或回轉(zhuǎn)半徑）平行軸定理：具體運(yùn)用時質(zhì)心運(yùn)動定理使用投影式：或質(zhì)點(diǎn)系動量矩定理：

質(zhì)點(diǎn)系對于某定點(diǎn)O的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對于同一點(diǎn)的矩的矢量和（外力對點(diǎn)O的主矩）。應(yīng)用時，取投影式即：質(zhì)點(diǎn)系對于某定軸的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對同一定軸的矩的代數(shù)和。注意：上述動量矩定理的表達(dá)形式只適用于對固定點(diǎn)或固定軸。質(zhì)點(diǎn)動量矩定理：質(zhì)點(diǎn)系的動量矩定理：質(zhì)點(diǎn)系動量矩守恒定律：當(dāng)外力對于某定點(diǎn)（或某定軸）的主矩（或力矩的代數(shù)和）等于零時，質(zhì)點(diǎn)系對于該點(diǎn)（或該軸）的動量矩保持不變。根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系對于z軸的動量矩定理有：或即：剛體對定軸的轉(zhuǎn)動慣量與角加速度的乘積，等于作用于剛體的主動力對該軸的矩的代數(shù)和。剛體繞定軸的微分方程：剛體對于z軸的轉(zhuǎn)動慣量Jz，是剛體轉(zhuǎn)動慣性的度量，定量式為：剛體對于兩平行軸的轉(zhuǎn)動慣量的關(guān)系為：式中，Jzc是剛體對于通過質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動慣量。剛體的運(yùn)動分解為隨質(zhì)心的平移

繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動兩部分。取質(zhì)心為基點(diǎn)

Cx’y’為固連于質(zhì)心C的平移參考系，剛體相對于此動系的運(yùn)動就是繞質(zhì)心C的轉(zhuǎn)動。剛體對質(zhì)心的動量矩為：剛體的位置可由xC、yC和確定。設(shè)剛體上的外力可向質(zhì)心所在平面簡化為一平面力系。應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動定理和相對質(zhì)心的動量矩定理，得：即剛體的平面運(yùn)動微分方程11-5剛體的平面運(yùn)動微分方程具體運(yùn)用時質(zhì)心運(yùn)動定理使用投影式：或質(zhì)點(diǎn)系對于質(zhì)心的動量矩定理：質(zhì)點(diǎn)系相對于質(zhì)心的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對質(zhì)心的主矩。即剛體的平面運(yùn)動微分方程：具體運(yùn)用時質(zhì)心運(yùn)動定理使用投影式：或例：均質(zhì)桿長L，重P，懸掛在O軸上，處在鉛垂位置。給B端一與桿垂直的速度V0時，桿與O軸脫離。求脫離O軸后的運(yùn)動方程。解：桿作平面運(yùn)動，要求xc、yc和。平面運(yùn)動微分方程：初始條件，t=0時：位移：xc=L/2，yc=0，=0速度：xc=0，yc=V0/2，=V0/L得：C1=0，C2=L/2，C3=V0/2，C4=0，C5=V0/L，C6=0。有運(yùn)動方程：例：半徑為R，重量為G的均質(zhì)輪，對質(zhì)心軸c的慣性半徑為c，其上半徑為r的鼓輪繞以繩索，水平力T作用于繩索。求輪所受的摩擦力和質(zhì)心的加速度，不計(jì)滾動摩擦。解：輪平面運(yùn)動，設(shè)方向。有：由運(yùn)動學(xué)知，只滾動不滑動：解得：輪純滾動條件：即例：置于墻角的均值圓柱半徑為r，重力為FQ。圓柱初始角速度為0，動摩擦系數(shù)為f

。求使圓柱停止轉(zhuǎn)動所需的時間。解：質(zhì)心不動，剛體繞C轉(zhuǎn)動，平面運(yùn)動微分方程解。受力分析：另有:(1)(2)(3)(4)(5)得：得：將(4)、(5)代入(1)、(2)得：將FA、FB代入(3)例：已知軌道傾角=20，直徑為50mm的軸無初速純滾動，質(zhì)心5秒鐘下移的距離s=3m。求輪子對輪心的回轉(zhuǎn)半徑。解:輪子受力及運(yùn)動分析，運(yùn)動微分方程為：得：可知輪心作等加速運(yùn)動：得：代入

的表達(dá)式，得：例：均質(zhì)滾子，質(zhì)量m，半徑R，對中心軸(過質(zhì)心)的轉(zhuǎn)動慣量，且回轉(zhuǎn)半徑已知。滾軸半徑r，受常力F作用由靜止開始沿水平面純滾動。求：(1)滾子質(zhì)心加速度；(2)滾子受到滑動摩擦力；(3)滾子保持純滾動條件。解：受力分析、運(yùn)動分析(1)由平面運(yùn)動微分方程(2)代入①得：②①③①×R+③，有：得:得(3)滾子純滾動條件：由②基本要求：(1)要求理解和熟練計(jì)算質(zhì)點(diǎn)系對固定點(diǎn)的動量矩。(2)掌握剛體轉(zhuǎn)動慣量的計(jì)算公式及方法，會用平行移軸定理計(jì)算簡單組合形體的轉(zhuǎn)動慣量。(3)能熟練地應(yīng)用動量矩定理、定軸轉(zhuǎn)動微分方程、平面運(yùn)動微分方程求解動力學(xué)問題。(4)了解相對于質(zhì)心的動量