2022-2023學(xué)年上海市楊浦區(qū)重點(diǎn)中學(xué)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

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一、單選題（本大題共4小題，共18.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.已知常數(shù)，直線：，：，則是的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.已知常數(shù)，如果函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對稱，那么的最小值為()

A.B.C.D.

3.若直線與圓：相交，則點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是()

A.在圓內(nèi)B.在圓上C.在圓外D.以上都有可能

4.在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，點(diǎn)在直線上運(yùn)動，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為的重心，則、、中正數(shù)的個(gè)數(shù)為，則的值的集合為()

A.B.C.D.

二、填空題（本大題共12小題，共54.0分）

5.半徑為，弧長為的扇形的圓心角為______弧度．

6.函數(shù)的最小正周期是______．

7.向量的單位向量為______．

8.若角的終邊過點(diǎn)，則的值為．

9.如果復(fù)數(shù)其中為虛數(shù)單位，則______．

10.已知直角坐標(biāo)平面上兩點(diǎn)、，若滿足，則點(diǎn)的坐標(biāo)為______．

11.在中，角，，所對的邊為，，，若，，，則角______．

12.直線：繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)與直線重合，則的斜截式方程是______．

13.已知函數(shù)的最大值為______．

14.直角三角形中，，，，點(diǎn)是三角形外接圓上任意一點(diǎn)，則的最大值為______．

15.已知常數(shù)，若關(guān)于的方程有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解，則的取值范圍是______．

16.已知常數(shù)，集合，，若，則的取值范圍是______．

三、解答題（本大題共5小題，共78.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.本小題分

已知直線：．

若直線：，求直線與直線的夾角；

若直線與直線的距離等于，求直線的一般式方程．

18.本小題分

設(shè)常數(shù)，已知關(guān)于的方程．

若，求該方程的復(fù)數(shù)根；

若方程的兩個(gè)復(fù)數(shù)根為、，且，求的值．

19.本小題分

記

求關(guān)于的方程的解集；

求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間．

20.本小題分

如圖，設(shè)是半徑為的圓的內(nèi)接正六邊形，是圓上的動點(diǎn)．

求的最大值；

求證：為定值；

對于平面中的點(diǎn)，存在實(shí)數(shù)與，使得，若點(diǎn)是正六邊形內(nèi)的動點(diǎn)包含邊界，求的最小值．

21.本小題分

設(shè)是一個(gè)關(guān)于復(fù)數(shù)的表達(dá)式，若其中，，，，為虛數(shù)單位，就稱將點(diǎn)“對應(yīng)”到點(diǎn)例如：將點(diǎn)“對應(yīng)”到點(diǎn)．

若，點(diǎn)“對應(yīng)”到點(diǎn)，點(diǎn)“對應(yīng)”到點(diǎn)，求點(diǎn)、的坐標(biāo)．

設(shè)常數(shù)，，若直線：，，是否存在一個(gè)有序?qū)崝?shù)對，使得直線上的任意一點(diǎn)“對應(yīng)”到點(diǎn)后，點(diǎn)仍在直線上？若存在，試求出所有的有序?qū)崝?shù)對；若不存在，請說明理由．

設(shè)常數(shù)，，集合且和且，若滿足：對于集合中的任意一個(gè)元素，都有；對于集合中的任意一個(gè)元素，都存在集合中的元素使得請寫出滿足條件的一個(gè)有序?qū)崝?shù)對，并論證此時(shí)的滿足條件．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，則直線：，：，

這兩條直線的斜率都為，且不重合，則，

反之，若，則，，

當(dāng)時(shí)直線：，：，

此時(shí)兩條直線的斜率都為，且不重合，則，

則是的充分不必要條件．

故選：．

兩條不重合的直線，若斜率相等，則平行，由此可判斷．

本題考查兩條直線的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．

2.【答案】

【解析】解：函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對稱，

，，

即，，

當(dāng)，，

即的最小值為，

故選：．

根據(jù)函數(shù)的對稱性，求出的表達(dá)式，然后進(jìn)行求解即可．

本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)，利用余弦函數(shù)的對稱性進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．

3.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查直線和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，是基礎(chǔ)題．

先求圓心到直線的距離，通過關(guān)系判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．

【解答】

解：直線與圓：相交，

圓心到直線距離，得，

則點(diǎn)到圓心距離為．

點(diǎn)與圓的位置關(guān)系為：在圓外．

故選：．

4.【答案】

【解析】解：設(shè)，，

因?yàn)闉榈闹匦?，所以，即?/p>

令，則；

令，則；

令恒成立，

所以當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

綜上，的值的集合為．

故選：．

利用重心坐標(biāo)公式表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，再結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算法則，并解不等式，分類討論，即可．

本題考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，重心坐標(biāo)公式，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．

5.【答案】

【解析】解：因?yàn)樯刃蔚陌霃綖?，弧長為，

所以扇形的圓心角弧度．

故答案為：．

利用扇形的弧長公式即可求解．

本題考查了扇形的弧長公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

6.【答案】

【解析】解：函數(shù)的最小正周期是，

故答案為：．

由題意，利用正切函數(shù)的周期性，得出結(jié)論．

本題主要考查正切函數(shù)的周期性，屬于基礎(chǔ)題．

7.【答案】

【解析】解：，

，

．

故答案為：．

可求出，從而得出，代入坐標(biāo)即可．

本題考查了單位向量的定義及求法，根據(jù)向量的坐標(biāo)求向量的長度的方法，向量坐標(biāo)的數(shù)乘運(yùn)算，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

8.【答案】

【解析】

【分析】

利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式以及三角函數(shù)的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．

本題主要考查三角函數(shù)值的計(jì)算，結(jié)合三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式以及三角函數(shù)的定義是解決本題的關(guān)鍵．

【解答】

解：，

角的終邊過點(diǎn)，

，

則，

故答案為：

9.【答案】

【解析】解：復(fù)數(shù)其中為虛數(shù)單位，

．

故答案為：．

利用共軛復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則即可得出．

本題考查了共軛復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題．

10.【答案】

【解析】解：設(shè)點(diǎn)，

、，

，，

，

，解得，

故答案為：

設(shè)點(diǎn)，求出，的坐標(biāo)，再結(jié)合，求出，的值即可．

本題主要考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．

11.【答案】

【解析】解：中，，，，

由余弦定理得，

有，

所以．

故答案為：．

利用余弦定理求出，再根據(jù)反余弦函數(shù)求出的值．

本題考查了余弦定理和反余弦函數(shù)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．

12.【答案】

【解析】解：直線：繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)與直線重合，

設(shè)直線的斜率為，則，解得，

所以直線的點(diǎn)斜式方程為：，

化為斜截式方程是．

故答案為：．

根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形利用直線到直線的角正切公式求出直線的斜率，再寫出點(diǎn)斜式方程，化為斜截式方程．

本題考查了直線的方程與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．

13.【答案】

【解析】解：，

，

所以函數(shù)的最大值為：．

故答案為：．

根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，利用輔助角公式，即可求出答案．

本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．

14.【答案】

【解析】解：如圖建立平面直角坐標(biāo)系，，，，

三角形外接圓，

設(shè)，則，，

，

故答案為：．

建立坐標(biāo)系，設(shè)，則，，

本題考查了圓的參數(shù)方程、三角函數(shù)的單調(diào)性、數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題。

15.【答案】

【解析】解：由，可得，

由題意可得，

即直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，

又因?yàn)榍€表示以原點(diǎn)為圓心，為半徑且位于軸上及上方的半圓，

如圖所示：

當(dāng)直線過時(shí)，，此時(shí)直線與半圓只有一個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)直線與半圓有兩個(gè)交點(diǎn)，

結(jié)合圖象，當(dāng)直線與半圓相切時(shí)，，

綜上所述，的取值范圍是

故答案為：

將問題轉(zhuǎn)化為直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，作出圖象，結(jié)合圖象求解即可．

本題考查了轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想及直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．

16.【答案】

【解析】解：設(shè)，則，

，由，有，

，整理得，

所以集合表示以為圓心，為半徑的圓及其內(nèi)部，

而集合表示以為圓心，為半徑的圓或其內(nèi)部，如圖所示，

若，則兩圓內(nèi)含或內(nèi)切，

，

，解得，

即的取值范圍是

故答案為：

從復(fù)數(shù)模的幾何意義進(jìn)行分析，將的集合關(guān)系轉(zhuǎn)化為圓的內(nèi)切或內(nèi)含問題，利用半徑關(guān)系即可求解．

本題考查了復(fù)數(shù)的幾何意義，圓與圓的位置關(guān)系，屬中檔題．

17.【答案】解：因?yàn)橹本€：，斜率為，

直線：，，

計(jì)算，所以，

即直線與直線的夾角為；

若直線與直線的距離等于，則，

設(shè)直線的一般式方程為，則，

解得，

所以直線的一般式方程為．

【解析】求出直線的斜率，利用斜率判斷兩直線垂直，從而得出兩直線的夾角；

根據(jù)題意判斷兩直線平行，利用兩平行直線間的距離公式求解即可．

本題考查了直線方程的應(yīng)用問題，也考查了運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．

18.【答案】解：若，

則，即，解得；

方程的兩個(gè)復(fù)數(shù)根為、，

則，，

，

，解得．

【解析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，即可求解；

根據(jù)已知條件，結(jié)合韋達(dá)定理，即可求解．

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．

19.【答案】解：，

令，即，

即，

即，

解得或，，

故關(guān)于的方程的解集是或，．

，

，

令，即，

解得：，，

故的遞減區(qū)間是．

【解析】解方程，求出方程的解集即可；求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的遞減區(qū)間即可．

本題考查了三角函數(shù)問題，考查函數(shù)的單調(diào)性，方程的解，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是中檔題．

20.【答案】解：因?yàn)?，均在圓上運(yùn)動，

則

，圓上兩點(diǎn)間直徑最長；

證明：因?yàn)?、為圓直徑的兩端，為圓上的動點(diǎn)，

所以，

故

．

即為定值；

建立如圖所示的坐標(biāo)系，則，，

則由

，即，

要使最小，只需使最大，即點(diǎn)的縱坐標(biāo)最大，

由點(diǎn)在正六邊形上及其內(nèi)部運(yùn)動，

則，，從而，

即的最小值為．

【解析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算及圓上兩點(diǎn)直徑最短可求得；

由、在直徑兩端點(diǎn)上，在圓上運(yùn)動，可知所證式等于直徑的平方，為定值；

建立坐標(biāo)系，將的幾何意義找出來，從而求得最小值．

本題考查平面向量的基本運(yùn)算，坐標(biāo)法解決平面向量相關(guān)問題，屬中檔題．

21.【答案】解：由知，則，故，

設(shè)，則，

由知，，則，，即；

直線上的任意一點(diǎn)“對應(yīng)”到點(diǎn)，

所以，，且，

所以，，即，

由題意，點(diǎn)仍在直線上，

則，又，

則，

展開整理得，

則，解得，

所以，所求的有序?qū)崝?shù)對為；

滿足條件的一個(gè)有序?qū)崝?shù)對為，

即，，，證明如下：