專題05指數函數與對數函數（學生版）

專題05指數函數與對數函數（核心考點精講精練）1.近幾年真題考點分布指數函數與對數函數近幾年考情考題示例考點分析關聯(lián)考點2022年全國乙（文科），第16題,5分對數型函數奇偶性求參2022年全國乙（理科），第16題,5分指數型函數根據極值求參2022年全國甲（文科），第12題,5分指數、對數型函數比大小不等式2022年全國甲（理科），第5題,5分指數型函數圖象三角函數2022年全國甲（理科），第6題,5分對數型函數導函數2023年全國甲（文科），第8題,5分指數型函數求切線2023年全國乙（文科），第5題,5分指數型函數奇偶性奇偶性2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】1.本節(jié)內容為高考必考點，考查指數、對數型函數的性質、圖象等；2.和冪函數一起考查比較大小?！緜淇疾呗浴?.了解有理數指數冪的含義，能根據實數指數冪的運算性質進行計算；2.會畫指數函數的圖象，知道圖象與函數之間的對應關系；3.掌握指數函數的單調性、特殊點等性質，并能簡單應用；4.會進行對數的運算；會畫對數函數的圖象，理解對數函數和圖象之間的對應.5.了解指數函數與對數函數互為反函數；6.掌握對數函數的性質與應用?！久}預測】1.利用指數、對數型函數的性質比較大??；2.函數解析式中含有指數、對數型函數，求切線、求極值、求參數；3.根據指數、對數型函數的性質找出正確的函數圖象。知識講解一、根式1.根式的概念若,則x叫作a的n次方根,其中n>1且n∈N*.na叫作根式,這里n叫作根指數,a叫作被開方數2.a的n次方根的表示xn=a?x二、有理數指數冪1.冪的有關概念(1)正分數指數冪:amn=nam(a>0,m,n∈N*,(2)負分數指數冪:a-mn=1nam(a>0,m,n∈N(3)0的正分數指數冪等于0,0的負分數指數冪.

2.實數指數冪的性質(1)aras=(a>0,r,s∈R);

(2)(ar)s=(a>0,r,s∈R);

(3)(ab)r=(a>0,b>0,r∈R).

三、指數函數的圖象與性質函數y=ax(a>0,且a≠1)a>10<a<1圖象圖象特征在x軸,過定點

當x逐漸增大時,圖象逐漸上升當x逐漸增大時,圖象逐漸下降性質定義域R值域

單調性

函數值變化規(guī)律當x=0時,

當x<0時,;

當x>0時,

當x<0時,;

當x>0時,

1.指數函數圖象的畫法畫指數函數y=ax(a>0,且a≠1)的圖象,應抓住三個特殊的點:(1,a),(0,1),-1,12.指數函數的圖象與底數大小的比較指數函數(1)y=ax,(2)y=bx,(3)y=cx,(4)y=dx的圖象如圖所示,底數a,b,c,d與1之間的大小關系為c>d>1>a>b>0.由此我們可得到以下規(guī)律:在第一象限內,指數函數y=ax(a>0,且a≠1)的圖象離x軸越遠,底數越大.3.指數函數y=ax(a>0,且a≠1)的圖象和性質與a的取值有關,要特別注意分a>1與0<a<1來研究.1.指數冪的運算先將根式、分數指數冪統(tǒng)一為分數指數冪,以便利用法則計算,但應注意:(1)必須同底數冪相乘,指數才能相加;(2)運算的先后順序.2.當底數是負數時,先確定符號,再把底數化為正數.3.運算結果不能同時含有根號和分數指數,也不能既含有分母又含有負指數.應用指數函數圖象的3個技巧:(1)畫指數函數y=ax(a>0,且a≠1)的圖象,應抓住三個關鍵點:(1,a)，(0,1)，.(2)已知函數解析式判斷其圖象,一般是取特殊點,判斷所給的圖象是否過這些點,若不滿足則排除.(3)對于有關指數型函數的圖象問題,一般是從最基本的指數函數的圖象入手,通過平移、伸縮、對稱變換而得到的.特別地,當底數a與1的大小關系不確定時應注意分類討論.比較指數式大小的方法:(1)當底數相同,指數不同時,構造指數函數比較大小.(2)當指數相同,底數不同時,構造冪函數比較大小.(3)當底數不同,指數也不同時,常借助1,0等中間量進行比較.1.解指數方程或不等式的依據:①af(x)=ag(x)?f(x)=g(x).②af(x)>ag(x),當a>1時,等價于f(x)>g(x);當0<a<1時,等價于f(x)<g(x).2.解指數方程或不等式的方法先利用冪的運算性質化為同底數冪,再利用函數單調性轉化為一般不等式求解.在研究指數型函數的單調性時,一要考慮復合函數的單調性:同增異減;二要注意當底數a與“1”的大小關系不確定時,要分類討論.涉及指數函數的綜合問題,首先要掌握指數函數的相關性質,其次要明確復合函數的構成,涉及值域、單調區(qū)間、最值等問題時,一般要借助“同增異減”這一性質分析判斷.四、對數概念如果ax=N(a>0,且a≠1),那么數x叫作以a為底N的對數,記作x=logaN,其中a叫作對數的底數,N叫作真數,logaN叫作對數式結論對數式與指數式的互化:ax=N?

loga1=0,logaa=1,alogaN=運算性質loga(M·N)=

a>0,且a≠1,M>0,N>0logaMN=logaMn=(n∈R)

換底公式logab=logcblogca(a>0,且a≠1;b>0;c>換底公式的三個重要結論(1)logab=1lo(2)logambn=nmlog(3)logab·logbc·logcd=logad.五、對數函數的圖象與性質函數y=logax(a>0,且a≠1)a>10<a<1圖象圖象特征在y軸,過定點(1,0)

當x逐漸增大時,圖象是的

當x逐漸增大時,圖象是的

性質定義域(0,+∞)值域R單調性在(0,+∞)上是

在(0,+∞)上是

函數值變化規(guī)律當x=1時,

當x>1時,y>0;當0<x<1時,

當x>1時,y<0;當0<x<1時,

對數函數圖象的特點(1)對數函數y=logax的圖象恒過點(1,0),(a,1),1a,-1,(2)函數y=logax與y=log1ax(a>0,且a≠1)的圖象關于x(3)對數函數的圖象與底數大小的比較.如圖,作直線y=1,則該直線與四個函數圖象交點的橫坐標為相應的底數.故0<c<d<1<a<b.由此我們可得到以下規(guī)律:在第一象限內從左到右底數逐漸增大.六、反函數指數函數y=ax與對數函數y=logax(a>0,且a≠1)互為反函數,它們的圖象關于直線對稱.1.在對數運算中,先利用冪的運算把底數或真數進行變形,化成分數指數冪的形式,使冪的底數最簡,然后用對數運算法則化簡合并.2.先將對數式化為同底數對數的和、差、倍數運算,然后逆用對數的運算法則,轉化為同底對數真數的積、商、冪再運算.3.ab=N?b=logaN(a>0,且a≠1)是解決有關指數、對數問題的有效方法,在運算中應注意互化.利用對數函數的圖象解決的兩類問題及技巧(1)對一些可通過平移、對稱變換作出其圖象的對數型函數,在求解其單調性(單調區(qū)間)、值域(最值)、零點時,常利用數形結合思想;(2)對一些對數型方程、不等式問題常轉化為相應的函數圖象問題,利用數形結合法求解.比較對數值大小的常見類型及解題方法常見類型解題方法底數為同一常數可由對數函數的單調性直接進行判斷底數為同一字母需對底數進行分類討論底數不同,真數相同可以先用換底公式化為同底后,再進行比較底數與真數都不同常借助1,0等中間量進行比較解對數不等式的類型及方法:①形如logax>logab的不等式,借助y=logax的單調性求解,如果a的取值不確定,那么需分a>1與0<a<1兩種情況討論;②形如logax>b的不等式,需先將b化為以a為底的對數式的形式再進行求解.已知f(x)=loga[g(x)]在區(qū)間[m,n]上是單調遞增函數,對于這類問題,應從兩個方面考慮:一是根據a與1的大小關系確定g(x)在[m,n]上的單調性;二是g(x)>0在x∈[m,n]時恒成立,此時只需g(x)min>0即可.利用對數函數的性質,求與對數函數有關的函數值域和復合函數的單調性問題,必須弄清三方面的問題:一是定義域,所有問題都必須在定義域內討論;二是底數與1的大小關系;三是復合函數的構成,即它是由哪些基本初等函數復合而成的.另外,解題時要注意數形結合、分類討論、轉化與化歸思想的使用.考點一、指數冪運算1．(2023年杭州模擬)化簡的結果是（

）.A． B．C． D．2．（2023年浙江省模擬）已知函數，則________，________.1．(1)計算:

.(2)若,則.

2．化簡求值:(1)；(2)（，）.3．（2023年浙江省模擬）設函數，若，則__________.考點二、指數函數的性質及應用1．（2023年陜西省部分名校模擬）已知函數,若，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2023年朔州市名校模擬）若函數，在R上單調遞增，則實數a的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2023年高考全國甲卷（文科）真題）已知函數．記，則（

）A．B． C． D．1．已知函數，若，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．若函數是R上的增函數，則實數的取值范圍為__________.3．已知，則（）A． B．C． D．考點三、對數的運算1．(1)(2020年全國Ⅰ卷)設,則（

）.A． B． C． D．(2)計算:.

(3)計算:.

2．(2022年浙江卷)已知,,則（

）.A．25 B．5 C． D．3．（2023年浙江省模擬）已知函數，則_______，_________.1．計算：（1）；（2）.（3）.2．（2023年北京高考數學真題）已知函數，則____________．3．已知函數．則______；若，則實數m的值為______．考點四、指數、對數函數的圖象1．(2023年寧波適應性考試)若,則函數的圖象大致是（

）.ABCD2．（2022年全國高考甲卷（理）高考真題）函數在區(qū)間的圖象大致為（

）A． B．C． D．3．(2023年山東二模)已知函數的圖象如圖所示,則a,b滿足的關系是（

）.A．B．C．D．1．(2023年山東滕州模擬)函數的圖象大致為（

）.ABCD2．（2023年新高考天津數學高考真題）函數的圖象如下圖所示，則的解析式可能為（

）

A． B．C． D．3．已知函數（且）的圖象如圖所示，則下列結論錯誤的是（）

A． B． C． D．考點五、對數函數的性質及應用1．（2023年陜西省模擬）已知集合，，則（

）A． B．C． D．2．(2023年四川綿陽三模)已知,,,則,,的大小關系為（

）.A． B． C． D．3．（2023年浙江省模擬）函數的單調遞增區(qū)間為（

）A． B．C．和 D．和1．設函數是定義在上的偶函數,當時,,則不等式的解集為（

）.A． B．C． D．2．已知,,,則（

）.A． B． C． D．3．設函數在上是增函數,則的取值范圍是（

）.考點六、指數、對數函數的綜合應用1．若函數有最小值,則實數的取值范圍是.

2．（2023重慶市名校模擬）已知正數、滿足，則的最小值為（

）A． B．C． D．3．（2023昆明市名校模擬）已知函數，若，，，則（

）A． B．C． D．1．設函數，若實數a，b，c滿足，且.則下列結論不成立的是（

）A． B．C． D．2．甲、乙兩人解關于x的方程,甲寫錯了常數b,得到的根為,乙寫錯了常數c,得到的根為,則原方程的根為().A． B．C． D．3．已知，，，則，，的大小關系為（

）A． B．C． D．考點七、情景設置1．（2023年新課標全國Ⅰ卷數學真題）噪聲污染問題越來越受到重視．用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓級，其中常數是聽覺下限閾值，是實際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級：聲源與聲源的距離聲壓級燃油汽車10混合動力汽車10電動汽車1040已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車處測得實際聲壓分別為，則錯誤的是（

）A． B．C． D．2．（2023湖南省名校模擬）著名田園詩人陶淵明也是一個大思想家，他曾言：勤學如春起之苗，不見其增，日有所長；輟學如磨刀之石，不見其損，日有所虧.今天，我們可以用數學觀點來對這句話重新詮釋，我們可以把“不見其增”量化為每天的“進步率”都是，一年后是；而把“不見其損”量化為每天的“落后率”都是，一年后是.可以計算得到，一年后的“進步”是“落后”的倍.那么，如果每天的“進步率”和“落后率”都是20%，要使“進步”是“落后”的倍，大約需要經過（，）（

）A．17天B．19天 C．23天 D．25天3．（2020年新課標Ⅲ（理科）高考真題）Logistic模型是常用數學模型之一，可應用于流行病學領域．有學者根據公布數據建立了某地區(qū)新冠肺炎累計確診病例數I(t)(t的單位：天)的Logistic模型：，其中K為最大確診病例數．當I(時，標志著已初步遏制疫情，則約為（

）（ln19≈3）A．60 B．63 C．66 D．691．蘇格蘭數學家納皮爾（J.Napier，1550-1617）發(fā)明的對數及對數表（如下表），為當時的天文學家處理“大數”的計算大大縮短了時間.即就是任何一個正實數N可以表示成，則，這樣我們可以知道N的位數.已知正整數是35位數，則M的值為（）N23451112131415A．3B．12 C．13 D．142．（2023年重慶市部分名校模擬）2020年12月17日凌晨，嫦娥五號返回器攜帶月球樣品在內蒙古四子王旗預定區(qū)域安全著陸，嫦娥五號返回艙之所以能達到如此高的再入精度，主要是因為它采用彈跳式返回彈道，實現(xiàn)了減速和再入階段彈道調整，這與“打水漂”原理類似.現(xiàn)將石片扔向水面，假設石片第一次接觸水面的速率為，這是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率為上一次的，若要使石片的速率低于，則至少需要“打水漂”的次數為（

）（參考數據：?。〢．9 B．10 C．11 D．123．設，用表示不超過x的最大整數，則稱為高斯函數，例如:，．已知函數，若，，則函數的值域為（

）A．B． C． D．【基礎過關】1．（2023年安徽省部分名校模擬）集合，集合，全集，則為（

）A． B．C． D．2．盡管目前人類還無法準確預報地震，但科學家通過研究，已經對地震有所了解.例如，地震時釋放出的能量（單位：焦耳）與地震里氏震級之間的關系為.據此，地震震級每提高1級，釋放出的能量是提高前的（參考數據：）（

）A．倍B．倍 C．倍 D．倍3．（

）. 4．（2023河南省部分名校模擬）設，，，則a，b，c的大小關系為（

）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a5．著名數學家、物理學家牛頓曾提出：物體在空氣中冷卻，如果物體的初始溫度為℃，空氣溫度為℃，則分鐘后物體的溫度（單位：℃，滿足：)若常數，空氣溫度為℃，某物體的溫度從℃下降到℃，大約需要的時間為（

）（參考數據：）A．39分鐘B．41分鐘 C．43分鐘 D．45分鐘6．（2023年浙江省部分名校模擬）已知，則（

）A． B．C． D．7．（陜西省咸陽市武功縣普集高級中學2023屆高三下學期5月八模文科數學試題）函數的圖象大致為（

）A．

B．

C．

D．

8．（2002年普高招生考試理科）函數在上的最大值與最小值的和為3，則______________．9．函數的值域為______．10．已知函數,,則（

）. D.-311．（2023年廣西河池市模擬）已知函數其中，若函數無最大值，則實數a的取值范圍是______．12．（2023年天津市部分名校模擬）已知，，，則（

）A． B． C． D．13．（2023太原市名校模擬）已知函數，若，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【能力提升】1．(2023年陜西西安模擬)已知函數,則是（

）.A．非奇非偶函數,且在上單調遞增B．奇函數,且在上單調遞增C．非奇非偶函數,且在上單調遞減D．偶函數,且在上單調遞減2．（2023河南省名校模擬）已知函數的最大值為0，則實數a的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．（2023年河南省部分名校模擬）已知，，，則（

）A． B．C． D．4．如圖所示，函數的圖象是（

）A．

B．

C．

D．

5．定義域為的函數滿足，且當時，恒成立，設，，，則，，的大小關系為（

）A．B． C． D．6．（2023年浙江省部分名校聯(lián)考試題）已知實數，其中，則的大小關系是（

）A． B．C． D．7．（2023江蘇省部分名校模擬）已知函數若，則（

）A． B． C． D．8．（2001年普高招生考試（廣東卷））若定義在區(qū)間內的函數滿足，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．9．（2023海南省模擬）下列四個函數中的某個函數在區(qū)間上的大致圖象如圖所示，則該函數是（

）

A． B． C． D．10．已