多智能體系統(tǒng)的二階一致性

多智能體系統(tǒng)的二階一致性

近年來，生物科學、信息科學、系統(tǒng)科學和控制科學等領域的科學家越來越重視多智能體系統(tǒng)的合作與協(xié)調。作為多智能體系統(tǒng)合作與協(xié)調的基礎，一致性問題引起了研究人員的注意。在過去十年中，廣泛研究了二階多智能體系統(tǒng)的一致性問題。對于連續(xù)系統(tǒng)，Ren等1多智能體系統(tǒng)模型本文考慮n個智能體組成的二階連續(xù)系統(tǒng):其中:r其中τ得到式(3)的離散形式:其中:R其中:初值為R為描述多智能體系統(tǒng)最終形成的樣式，首先給出如下定義。定義對任意的初始值R則稱多智能體系統(tǒng)式(5)二階一致性達成。先給出后面會用到的基本概念和引理。G=(V,E,A)是由n個節(jié)點組成的有限非空集合V={v對于拉普拉斯矩陣的性質，可以總結為以下引理。引理1對于三維空間中的旋轉矩陣C∈R引理22階一致性的檢驗本節(jié)將通過矩陣特征值分析的方法構建多智能體系統(tǒng)式(5)的二階一致性判據(jù)。記R(k)=[R令Z(k)=[R(k)其中，M是一個12n×12n階矩陣，即:此外，記其中，W是一個12(n-1)×12(n-1)階矩陣，即:其中系統(tǒng)式(6)達成二階一致性當且僅當系統(tǒng)式(8)是漸進穩(wěn)定的。引理3矩陣M如式(7)所定義，則0是拉普拉斯矩陣L的單根，當且僅當1是矩陣M的6重根。證明:計算矩陣M的特征方程，則當i=1時，u可知λ=0,1是特征方程的6重根。反過來，當λ=1是特征方程的6重根，則由于T，τ，c引理4降階拉普拉斯矩陣珘L的特征值包括拉普拉斯矩陣L除0以外的所有特征值，進一步，矩陣M比矩陣W多6個1特征值和6個0特征值。證明:引理的第一部分根據(jù)文獻其中，引理5若0是拉普拉斯矩陣L的單根，則0是矩陣和1特征值相應的廣義左特征向量和左特征向量分別為:其中，l=1,2,3。證明:由克羅克內積性質可知，若0是拉普拉斯矩陣L的單根，則0是矩陣假設w=(w易知w假設接下來，需要一個三階復系數(shù)方程穩(wěn)定的判據(jù)，其中c引理6定理1系統(tǒng)式(5)達成二階一致性，當且僅當矩陣M的1特征值代數(shù)重數(shù)是6，幾何重數(shù)是3，矩陣M的其余特征值在單位圓內，特別地，如果二階一致性達成，則有下式成立:其中，證明(充分性):由引理5，存在一個非奇異矩陣P∈R其中，J是由矩陣M除1以外的特征值組成的約當塊。所以所以即(必要性)通過反證法來證明，假設矩陣M的1特征值代數(shù)重數(shù)為6，幾何重數(shù)為3，矩陣M的其余特征值在單位圓內這一條件不滿足。由于矩陣L至少有一個0特征值，由引理3，矩陣M至少有6個1特征值，代數(shù)重數(shù)為6，幾何重數(shù)為3，所以，有以下三種情況需要討論:第一種情況:矩陣M的1特征值代數(shù)重數(shù)是6，幾何重數(shù)是3，存在至少一個特征值不在單位圓內;第二種情況:矩陣M的1特征值代數(shù)重數(shù)大于6，其余特征值均在單位圓內;第三種情況:矩陣M的1特征值代數(shù)重數(shù)大于6，還至少存在一個1特征值不在單位圓內。對第一種情況，由引理4，若矩陣M有一個特征值不在單位圓內，則矩陣W也有一個特征值不在單位圓內，系統(tǒng)式(8)的漸進穩(wěn)定性不能達成，系統(tǒng)式(6)的二階一致性不能達成，與已知矛盾。同樣可以證明第二、三種情況?！醵ɡ?中的代數(shù)條件不容易被驗證。對于一個給定的網(wǎng)絡結構，提出了如下選擇定理來選擇適當?shù)目刂茀?shù)和離散步長，確保達成二階一致性。定理2令T，τ>0，系統(tǒng)式(5)達成二階一致性，當且僅當有向圖G具有有向生成樹，同時滿足以下條件:證明(充分性):若系統(tǒng)式(5)能達成二階一致性，由定理1可知，矩陣M的1特征值代數(shù)重數(shù)為6，幾何重數(shù)為3，其余特征值均在單位圓內，由引理3，拉普拉斯矩陣L的0特征值為單根，也就是說，有向圖G具有有向生成樹。由式(9)可知，0是矩陣W的特征值，對剩余的特征多項式應用雙線性變換定義由雙線性函數(shù)的性質可知，式(9)所有的根在單位圓內，當且僅當式(12)的所有根具有負實部對i=2,3，…，n成立，由(12)式可知:固定i，容易得到:由引理4，式(12)所有根具有負實部對i=2,3，…，n，當且僅當條件式(11)成立，所以充分性成立。(必要性)若條件式(11)成立，式(12)的所有根在單位圓內對i=2,3，…，n成立，由引理4可知，矩陣M的特征值除0和1以外，都在單位圓內。此外，由于有向圖G具有有向生成樹，可知拉普拉斯矩陣L的特征值0是單根，由引理3可知，矩陣M的1特征值的代數(shù)重數(shù)是6，幾何重數(shù)是3，由定理1可知，系統(tǒng)式(5)會達成二階一致性?！?拉普拉斯矩陣l本節(jié)通過數(shù)值模擬驗證本文的主要結論，并對結論的應用場景進行分析。例1假設智能體數(shù)n=4，反映系統(tǒng)結構的拉普拉斯矩陣L選取為如下形式:初始位置R(0)和初始速度V(0)選取如下:經(jīng)過計算可知，矩陣L的特征值為u經(jīng)過計算可知，當i=1時，矩陣L的特征值u4構建拉普拉斯矩陣本文討論了帶坐標耦合和處理時滯的二階離散多智能體系統(tǒng)的一致性問題，證明了當0是拉普拉斯矩陣的單根時，旋轉角小于由代數(shù)方程確定的臨界值時，系統(tǒng)會出現(xiàn)二階一致性;而旋轉角、離散步長大于臨界值時，系統(tǒng)發(fā)散。本文針對特征參數(shù)的臨界值結論，可為控制領域一致收斂分析提供理論支撐。Z(k+1)=MZ(k)(6)可將多智能體系統(tǒng)式(5)化為誤差系統(tǒng):R(0)=(4,2,9,1,4,1,3,4,6,3,6,7)V(0)=(7,8,7,4,7,2,7,0,3,0,1,8)例2在數(shù)值模擬中假設智能體數(shù)n=30，構建系統(tǒng)結構的拉普拉斯矩陣L選取為如下形式:初始位置和初始速度取:R(0)=(8,9,1,9,6,1,3,5,10,10,2,10,10,5,8,1,4,9,8,10,7,0,8,9,7,8,7,4,7,2,7,0,3,0,1,8,7,3,10,0,4,4,8,8,2,5,4,6,7,8,3,7,7,2,1,5,10,3,6,2,8,3,5,7,9,10,5,1,1,3,8,3,8,2,9,3,2,3,6,5,4,8,6,5,9,3,8,8,4,6)V(0)=(5,3,7,2,7,2,4,6,8,1,9,8,5,4,4,3,5,5,8,8,6,4,8,5,4,9,