從課程改革談數(shù)學(xué)教學(xué)

一、教科書修訂情況介紹

修定原則解決教材實(shí)驗(yàn)中集中反映的問題；參考課程標(biāo)準(zhǔn)的修訂；保持實(shí)驗(yàn)本的基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)和主要內(nèi)容。數(shù)與代數(shù)增加“整式的加減”一章

1用字母表示數(shù)，列式表示數(shù)量關(guān)系，以列式問題為素材引出有關(guān)概念：

2結(jié)合列式問題中的化簡，引出同類項(xiàng)的概念，類比數(shù)的運(yùn)算律引出合并同類項(xiàng)的法則，通過合并同類項(xiàng)進(jìn)行式子化簡.

3結(jié)合列式問題中的化簡，引出去括號(hào)的問題，類比數(shù)的運(yùn)算律得到去括號(hào)的法則；通過去括號(hào)，進(jìn)行式子化簡.4歸納出整式加減法的運(yùn)算法則.

“一次函數(shù)”內(nèi)容的處理

1位置適當(dāng)靠后

2關(guān)于分段函數(shù)的問題

3突出函數(shù)思想教學(xué)中反應(yīng)集中的一些問題問題的實(shí)際背景（如一元一次方程）個(gè)別難題（哪種燈省錢、體育比賽、規(guī)劃問題、剎車問題等）

練習(xí)、習(xí)題中增加基本題目

圖形與幾何保持現(xiàn)有基本結(jié)構(gòu)保持對推理證明的處理循序漸進(jìn)起點(diǎn)早一以貫之適當(dāng)加強(qiáng)對一些內(nèi)容的處理刪去鑲嵌內(nèi)容刪去重心內(nèi)容投影與視圖降低要求

統(tǒng)計(jì)與概率適當(dāng)整合統(tǒng)計(jì)內(nèi)容數(shù)據(jù)的收集與描述（七下）統(tǒng)計(jì)調(diào)查頻數(shù)分布直方圖數(shù)據(jù)的分析（八下）調(diào)整概率內(nèi)容的寫法題目適當(dāng)降低難度古典概率提前，概率的頻率定義在其后

實(shí)踐與綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)活動(dòng)課題學(xué)習(xí)一些整體問題習(xí)題量與難度聯(lián)系實(shí)際問題關(guān)于欄目設(shè)置思考探究歸納反映農(nóng)村背景數(shù)與代數(shù)

數(shù)與式方程

函數(shù)

第1章有理數(shù)七(上)第2章整式的加減七（上）第3章一元一次方程七(上)第6章平面直角坐標(biāo)系七(下)第8章二元一次方程組七(下)第9章不等式與不等式組七(下)第13章實(shí)數(shù)八(上)第14章一次函數(shù)八(上)

課題學(xué)習(xí)選擇方案第15章整式的乘除與因式分解八(上)第16章分式八(下)第17章反比例函數(shù)八(下)第21章二次根式九（上）第22章一元二次方程九(上)第26章二次函數(shù)九(下)第28章銳角三角函數(shù)九（下）圖形與幾何第4章圖形認(rèn)識(shí)初步七（上）

課題學(xué)習(xí)制作長方體形狀包裝盒第5章相交線與平行線七（下）

5.4平移第7章三角形七（下）第11章全等三角形八（上）

第12章軸對稱八（上）

第18章勾股定理八（下）

第19章四邊形八（下）第23章旋轉(zhuǎn)九（上）

課題學(xué)習(xí)圖案設(shè)計(jì)

第24章圓九（上）

第27章相似九（下）第28章銳角三角函數(shù)九（下）第29章視圖與投影課題學(xué)習(xí)制作立體模型統(tǒng)計(jì)與概率第10章數(shù)據(jù)的收集、整理與描述七（下）課題學(xué)習(xí)從數(shù)據(jù)談節(jié)水

第20章數(shù)據(jù)的分析八（下）課題學(xué)習(xí)體檢后的數(shù)據(jù)分析

第25章概率初步九（上）課題學(xué)習(xí)猜顏色

七年級(jí)上冊（61）第1章有理數(shù)（19）第2章整式的加減（8）第3章一元一次方程（18）第4章圖形認(rèn)識(shí)初步（16）七年級(jí)下冊（62）第5章相交線與平行線（14）第6章平面直角坐標(biāo)系（7）第7章三角形（8）第8章二元一次方程組（12）第9章不等式與不等式組（12）第10章數(shù)據(jù)庫的收集整理與描述（9）八年級(jí)上冊（62）第11章全等三角形（11）第12章軸對稱（13）第13章實(shí)數(shù)（8）第14章一次函數(shù)（17）第15章整式的乘除與因式分解（13）八年級(jí)下冊（61）第16章分式（14）第17章反比例函數(shù)（8）第18章勾股定理（8）第19章四邊形（16）第20章數(shù)據(jù)的分析（15）九年級(jí)上冊（62）第21章二次根式（9）第22章一元二次方程（13）第23章旋轉(zhuǎn)（8）第24章圓（17）第25章概率初步（15）九年級(jí)下冊（48）第26章二次函數(shù)（12）第27章相似（13）第28章銳角三角函數(shù)（12）第29章投影與視圖（11）第1章有理數(shù)（19）

1.1正數(shù)和負(fù)數(shù)（2）

閱讀與思考用正負(fù)數(shù)表示加工允許誤差1.2有理數(shù)（4）1.3有理數(shù)的加減法（4）

實(shí)驗(yàn)與探究填幻方閱讀與思考中國人最先使用負(fù)數(shù)

1.4有理數(shù)的乘除法（4）

觀察與猜想翻牌游戲中的數(shù)學(xué)道理

1.5有理數(shù)的乘方（3）數(shù)學(xué)活動(dòng)小結(jié)（2）計(jì)算器第2章整式的加減（8）2.1整式（2）

單項(xiàng)式多項(xiàng)式系數(shù)次數(shù)項(xiàng)整式閱讀與思考數(shù)字1與字母X的對話2.2整式的加減（5）

合并同類項(xiàng)去括號(hào)整式加減信息技術(shù)應(yīng)用電子表格與數(shù)據(jù)計(jì)算數(shù)學(xué)活動(dòng)小結(jié)（1）第3章一元一次方程（18）3.1從算式到方程（4）

閱讀與思考方程史話3.2解一元一次方程（一）—移項(xiàng)與合并（4）

實(shí)驗(yàn)與探究無線循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)3.3解一元一次方程（二）—去括號(hào)與去分母（4）3.4實(shí)際問題與一元一次方程（4）數(shù)學(xué)活動(dòng)小結(jié)（2）

聯(lián)系實(shí)際個(gè)別問題處理第4章圖形認(rèn)識(shí)初步（16）4.1多姿多彩的圖形（4）閱讀與思考幾何學(xué)的起源4.2直線、射線、線段（3）閱讀與思考長度的測量4.3角（5）4.4課題學(xué)習(xí)：制作長方體形狀的包裝盒（2）數(shù)學(xué)活動(dòng)小結(jié)（2）

幾何語言規(guī)范書寫兩節(jié)合并第5章相交線與平行線（14）5.1相交線（4）觀察與猜想看圖時(shí)的錯(cuò)覺5.2平行線及其判定（3）5.3平行線的性質(zhì)（3）信息技術(shù)應(yīng)用探索兩條直線的位置關(guān)系5.4平移（2）數(shù)學(xué)活動(dòng)小結(jié)（2）

三線八角命題、定理簡單推理第6章平面直角坐標(biāo)系（7）6.1平面直角坐標(biāo)系（3）閱讀與思考用經(jīng)緯度表示地理位置6.2坐標(biāo)方法的簡單應(yīng)用（3）數(shù)學(xué)活動(dòng)小結(jié)（1）第7章三角形（8）7.1與三角形有關(guān)的線段（2）信息技術(shù)應(yīng)用畫圖找規(guī)律7.2與三角形有關(guān)的角（3）閱讀與思考為什么要證明7.3多邊形及其內(nèi)角和（2）實(shí)驗(yàn)與探究多邊形的三角剖分?jǐn)?shù)學(xué)活動(dòng)小結(jié)（1）證明鑲嵌第8章二元一次方程組（12）8.1二元一次方程組（1）8.2消元——二元一次方程組的解法（4）8.3實(shí)際問題與二元一次方程組（3）閱讀與思考一次方程組的古今表示及解法8.4三元一次方程組（2）數(shù)學(xué)活動(dòng)小結(jié)（2）消元思想

第9章不等式與不等式組（12）9.1不等式（4）

閱讀與思考用求差法比較大小9.2實(shí)際問題與一元一次不等式（4）

實(shí)驗(yàn)與探究水位升高還是降低9.3一元一次不等式組（2）

閱讀與思考用不等關(guān)系分析體育比賽數(shù)學(xué)活動(dòng)小結(jié)（2）

比賽問題第10章數(shù)據(jù)的收集、整理與描述（9）10.1統(tǒng)計(jì)調(diào)查（3）

全面調(diào)查簡單隨機(jī)抽樣分層抽樣

實(shí)驗(yàn)與探究瓶子中有多少粒豆子

10.2用直方圖描述數(shù)據(jù)（2）

直方圖面積表示頻數(shù)信息技術(shù)應(yīng)用利用計(jì)算機(jī)畫統(tǒng)計(jì)圖10.3課題學(xué)習(xí)：從數(shù)據(jù)談節(jié)水（2）數(shù)學(xué)活動(dòng)小結(jié)（2）第11章全等三角形（11）11.1全等三角形（1）11.2三角形全等的條件（6）

閱讀與思考全等與全等三角形11.3角的平分線的性質(zhì)（2）數(shù)學(xué)活動(dòng)小結(jié)（2）第12章軸對稱（13）12.1軸對稱（3）12.2軸對稱變換（3）信息技術(shù)應(yīng)用探索軸對稱的性質(zhì)12.3等腰三角形（5）實(shí)驗(yàn)與探究三角形中邊與角之間的不等關(guān)系數(shù)學(xué)活動(dòng)小結(jié)（2）增加定理證明第13章實(shí)數(shù)（8）13.1平方根（3）13.2立方根（2）13.3實(shí)數(shù)（2）

閱讀與思考為什么說不是有理數(shù)數(shù)學(xué)活動(dòng)小結(jié)（1）第14章一次函數(shù)（17）14.1變量與函數(shù)（5）信息技術(shù)應(yīng)用用計(jì)算機(jī)畫函數(shù)圖象14.2一次函數(shù)（5）

閱讀與思考科學(xué)家如何測算地球的年齡14.3用函數(shù)觀點(diǎn)看方程（組）與不等式（3）14.4課題學(xué)習(xí)選擇方案（2）數(shù)學(xué)活動(dòng)小結(jié)（2）

分段函數(shù)函數(shù)思想第15章整式的乘除與因式分解（13）15.1整式的乘法（4）15.2乘法公式（2）閱讀與思考楊輝三角15.3整式的除法（2）15.3因式分解（3）

觀察與猜想型式子的分解數(shù)學(xué)活動(dòng)小結(jié)（2）第16章分式（14）16.1分式（3）16.2分式的運(yùn)算（6）閱讀與思考容器中的水能倒完嗎？16.3分式方程（3）數(shù)學(xué)活動(dòng)小結(jié)（2）

類比分?jǐn)?shù)最簡分式第17章反比例函數(shù)（8）17.1反比例函數(shù)（3）信息技術(shù)應(yīng)用探索反比例函數(shù)的性質(zhì)17.2實(shí)際問題與反比例函數(shù)（4）閱讀與思考生活中的反比例關(guān)系數(shù)學(xué)活動(dòng)小結(jié)（1）第18章勾股定理（8）18.1勾股定理（4）閱讀與思考勾股定理的證明18.2勾股定理的逆定理（3）閱讀與思考再談面積證法數(shù)學(xué)活動(dòng)小結(jié)（1）

數(shù)學(xué)文化第19章四邊形（16）19.1平行四邊形（6）閱讀與思考平行四邊形法則19.2特殊的平行四邊形（6）實(shí)驗(yàn)與探究巧拼正方形19.3梯形（2）觀察與猜想平面直角坐標(biāo)系中的特殊四邊形數(shù)學(xué)活動(dòng)小結(jié)（2）

平行線間距離重心第20章數(shù)據(jù)的分析（15）20.1數(shù)據(jù)的代表（6）20.2數(shù)據(jù)的波動(dòng)（5）信息技術(shù)應(yīng)用用計(jì)算機(jī)求幾種統(tǒng)計(jì)量閱讀與思考數(shù)據(jù)波動(dòng)的幾種度量20.3課題學(xué)習(xí)體質(zhì)健康測試的數(shù)據(jù)分析（2）數(shù)學(xué)活動(dòng)小結(jié)（2）

統(tǒng)計(jì)思想第21章二次根式（9）21.1二次根式（2）21.2二次根式的乘除（2）21.3二次根式的加減（3）閱讀與思考海倫——秦九韶公式數(shù)學(xué)活動(dòng)小結(jié)（2）

最簡根式同類根式第22章一元二次方程（13）22.1一元二次方程（2）22.2降次——一元二次方程的解法（6）閱讀與思考黃金分割數(shù)22.3實(shí)際問題與一元二次方程（3）數(shù)學(xué)活動(dòng)小結(jié)（2）

判別式根與系數(shù)的關(guān)系第23章旋轉(zhuǎn)（8）23.1圖形的旋轉(zhuǎn)（2）23.2中心對稱（3）信息技術(shù)應(yīng)用探索旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)23.3課題學(xué)習(xí)圖案設(shè)計(jì)（2）數(shù)學(xué)活動(dòng)小結(jié)（1）第24章圓（17）24.1圓（5）24.2與圓有關(guān)的位置關(guān)系（6）24.3正多邊形（2）閱讀與思考圓周率π24.4弧長及扇形的面積（2）實(shí)驗(yàn)與探究設(shè)計(jì)跑道數(shù)學(xué)活動(dòng)小結(jié)（2）

有關(guān)定理證明與相似的前后位置第25章概率初步（15）25.1隨機(jī)事件（2）閱讀與思考概率論的起源25.2簡單事件的概率（6）閱讀與思考概率與中獎(jiǎng)25.3頻率與概率（3）25.4課題學(xué)習(xí)猜顏色（2）數(shù)學(xué)活動(dòng)小結(jié)（2）

題目難度概率意義第26章二次函數(shù)（12）

26.1二次函數(shù)（6）實(shí)驗(yàn)與探究推測植物生長量與溫度的關(guān)系

26.2用函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程（1）信息技術(shù)應(yīng)用探索二次函數(shù)的性質(zhì)26.3實(shí)際問題與二次函數(shù)（3）數(shù)學(xué)活動(dòng)小結(jié)（2）第27章相似（13）

27.1圖形的相似（2）27.2相似三角形（6）閱讀與思考奇妙的分形圖形27.3位似（3）信息技術(shù)應(yīng)用探索位似的性質(zhì)數(shù)學(xué)活動(dòng)小結(jié)（2）

平行線分線段成比例問題有關(guān)定理證明第28章銳角三角函數(shù)（12）28.1銳角三角函數(shù)（6）28.2解直角三角形（4）

閱讀與思考一張古老的三角函數(shù)表數(shù)學(xué)活動(dòng)小結(jié)（2）

函數(shù)思想第29章投影與視圖（11）29.1投影（2）29.2三視圖（5）

閱讀與思考視圖的產(chǎn)生與應(yīng)用29.3課題學(xué)習(xí)制作立體模型（2）數(shù)學(xué)活動(dòng)小結(jié)（2）

適當(dāng)降低要求二、改革背景下的數(shù)學(xué)教學(xué)1、國際數(shù)學(xué)課程改革的大背景教育現(xiàn)代化→新數(shù)運(yùn)動(dòng)→回到基礎(chǔ)→問題解決→課程聚焦1980《行動(dòng)議程——80年代數(shù)學(xué)教育的建議》提出“解決問題”的口號(hào)，強(qiáng)調(diào)必須把解決問題作為80年代中學(xué)數(shù)學(xué)的核心1989《學(xué)校數(shù)學(xué)課程和評估標(biāo)準(zhǔn)》將1980年《行動(dòng)議程》的建議發(fā)展為詳細(xì)的數(shù)學(xué)教學(xué)和學(xué)習(xí)要求。它是美國很多州制定數(shù)學(xué)教學(xué)標(biāo)準(zhǔn)、設(shè)定學(xué)生學(xué)習(xí)要求的重要指南?；緝?nèi)容

“問題解決”為學(xué)校教學(xué)核心強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用性降低內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)滿足個(gè)人興趣愛好降低課程的統(tǒng)一性，增加多樣性、選擇性強(qiáng)調(diào)探究、合作的學(xué)習(xí)方式評價(jià)方式多樣化改革中出現(xiàn)的問題教學(xué)內(nèi)容“寬一英里、深一英寸”過分強(qiáng)調(diào)問題解決導(dǎo)致“雙基”不落實(shí)，教學(xué)質(zhì)量嚴(yán)重下降。過分強(qiáng)調(diào)應(yīng)用，導(dǎo)致破壞知識(shí)系統(tǒng)性，應(yīng)用情景復(fù)雜，導(dǎo)致知識(shí)學(xué)習(xí)困難。過分的多樣性和選擇性導(dǎo)致數(shù)學(xué)課程沒有標(biāo)準(zhǔn)，教學(xué)隨意性大，使教學(xué)整體水平下降。過分強(qiáng)調(diào)自主建構(gòu)，使學(xué)習(xí)目標(biāo)不明確，學(xué)習(xí)效率、效果不理想。合作交流組織困難，導(dǎo)致學(xué)生依賴心理，責(zé)任心和思考能力下降。評價(jià)無據(jù)可循、隨意，信度低。2000《中小學(xué)數(shù)學(xué)的原則和標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)了學(xué)校數(shù)學(xué)教育的基本原則，對1989年制定的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行了澄清和細(xì)化，并為幼兒園到12年級(jí)的學(xué)生制定了詳細(xì)的教學(xué)要求。2006《幼兒園到八年級(jí)數(shù)學(xué)課程焦點(diǎn)：尋求一致性》確定了學(xué)生必須掌握的關(guān)鍵數(shù)學(xué)技能與知識(shí)，提出每個(gè)年級(jí)學(xué)生需要掌握的核心思想和概念，使學(xué)校把數(shù)學(xué)的重點(diǎn)放在基本技能上。調(diào)整“問題解決”作為過程目標(biāo)之一把握基本技能、理解和問題解決的平衡學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不可能總是好玩的精心選擇有效組織教學(xué)內(nèi)容，保證課程內(nèi)容內(nèi)在的一致性平衡講授、引導(dǎo)、提問和總結(jié)重新審視考試的作用改革中永恒的主題“大眾教育”與“精英教育”數(shù)學(xué)課程的統(tǒng)一性和選擇性數(shù)學(xué)教育的“學(xué)術(shù)性”和“社會(huì)性”數(shù)學(xué)的實(shí)用性和數(shù)學(xué)的思維性書本知識(shí)的系統(tǒng)學(xué)習(xí)與應(yīng)用知識(shí)的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能與創(chuàng)新能力探究式學(xué)習(xí)與接受式學(xué)習(xí)學(xué)生自主學(xué)習(xí)與教師指導(dǎo)幫助

2、正確認(rèn)識(shí)我國數(shù)學(xué)教育的現(xiàn)狀

教育改革是時(shí)代發(fā)展的需要。盲目地跟風(fēng)和頑固地抱殘守缺都是不可取的。理性地思考，為什么要變和怎樣變；正確地分析、思考自己教學(xué)中存在的問題，積極地想辦法解決問題。

我國數(shù)學(xué)教育的優(yōu)勢要堅(jiān)持重視雙基，重視培養(yǎng)學(xué)生能力；數(shù)學(xué)課程教材具有體系結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)，邏輯性強(qiáng)，語言敘述條理清晰，文字簡潔、流暢，有利于教師組織教學(xué)，注重對學(xué)生進(jìn)行基礎(chǔ)訓(xùn)練等優(yōu)點(diǎn)；數(shù)學(xué)教學(xué)強(qiáng)調(diào)對概念的理解和基本技能的訓(xùn)練，強(qiáng)調(diào)為學(xué)生鋪設(shè)合理的認(rèn)知臺(tái)階，強(qiáng)調(diào)變式訓(xùn)練等；學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)扎實(shí)，運(yùn)算能力和邏輯推理能力強(qiáng)。我國數(shù)學(xué)教育存在的問題要正視數(shù)學(xué)教學(xué)“不自然”，強(qiáng)加于人；缺乏問題意識(shí)；重結(jié)果輕過程，“掐頭去尾燒中段”；重解題技能技巧輕普適性思考方法的概括，方法論層次的內(nèi)容滲透不夠，機(jī)械模仿多獨(dú)立思考少，數(shù)學(xué)思維層次不高；“講邏輯而不講思想”。強(qiáng)調(diào)細(xì)枝末節(jié)多關(guān)注基本概念、核心數(shù)學(xué)思想少，對學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高不利。

學(xué)生學(xué)習(xí)方法單一，被動(dòng)。學(xué)生自主歸納抽象結(jié)論少，不利于創(chuàng)新精神的培養(yǎng)。數(shù)學(xué)課改中應(yīng)處理好的幾個(gè)關(guān)系學(xué)生主體與教師主導(dǎo)接受學(xué)習(xí)與發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)與創(chuàng)新數(shù)學(xué)知識(shí)、能力與情感態(tài)度數(shù)學(xué)化與情境化（直觀與邏輯、形象與抽象等）獨(dú)立思考與合作交流過程與結(jié)果面向全體與因材施教書本知識(shí)與數(shù)學(xué)應(yīng)用3、注意突出背景，強(qiáng)調(diào)本質(zhì)，注重應(yīng)用。知識(shí)的引入強(qiáng)調(diào)背景，使教學(xué)生動(dòng)、自然而親切，讓學(xué)生感到知識(shí)的發(fā)展水到渠成而不是強(qiáng)加于人。注意把握數(shù)學(xué)概念和重要數(shù)學(xué)思想；把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，保證科學(xué)性；強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)形式下的思考和推理訓(xùn)練。通過解決具有真實(shí)背景的問題，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的作用與力量，發(fā)展應(yīng)用意識(shí)。（1）從典型實(shí)例出發(fā)引出函數(shù)概念目的：加強(qiáng)背景，體現(xiàn)“函數(shù)模型”思想加強(qiáng)概念形成過程在學(xué)生頭腦中形成豐富的函數(shù)例證

抽象概念的學(xué)習(xí)要從具體例證開始理解抽象概念需要具體例證的支持

函數(shù)概念的處理（2）實(shí)例的選擇

解析式、圖象、表格目的：形成正確的函數(shù)概念函數(shù)——描述變量間依賴關(guān)系的法則不一定都有解析式y(tǒng)=f(x)可能是解析式，也可能是圖象或表格強(qiáng)調(diào)函數(shù)的三要素（3）函數(shù)性質(zhì)的討論

——加強(qiáng)幾何直觀、數(shù)形結(jié)合

“三步曲”觀察圖象，描述變化規(guī)律（上升、下降）結(jié)合圖、表，用自然語言描述變化規(guī)律（y隨x的增大而增大或減?。┯脭?shù)學(xué)符號(hào)語言描述變化規(guī)律推廣

類比當(dāng)前內(nèi)容聯(lián)系

特殊化突出數(shù)學(xué)思考方法的引導(dǎo)數(shù)系擴(kuò)張度量的實(shí)際需要——具有實(shí)際意義；實(shí)踐中，需要度量像長度、面積、重量和時(shí)間這樣的量。為了能自由地度量這種能任意細(xì)分的量，需要對算術(shù)的范圍進(jìn)行擴(kuò)張。其過程大致是：第一步，把度量的問題變?yōu)橛?jì)數(shù)的問題：先任意地選擇一個(gè)度量單位（如米、千克、時(shí)等等），并規(guī)定它為1。如果被度量的量恰好是單位的整數(shù)倍，則完成度量。被度量的量不是單位的整數(shù)倍，這時(shí)就進(jìn)行第二步：把原單位分成n等分，引進(jìn)一個(gè)新的小單位——分?jǐn)?shù)概念的引入。數(shù)學(xué)概念發(fā)展的內(nèi)在需要核心：運(yùn)算的封閉性，保持運(yùn)算律不變。在自然數(shù)的范圍內(nèi)，符號(hào)b－a僅在b＞a時(shí)有意義。通過a－a=0引進(jìn)符號(hào)0，不僅消除了這個(gè)限制，更重要的是由此引進(jìn)了符號(hào)－1，－２，－3，…以及對b＜a的情況定義：b－a=－（a－b）。這樣就保證了減法在整數(shù)集內(nèi)的封閉性如何定義整數(shù)集內(nèi)的乘法運(yùn)算，才能保證自然數(shù)范圍內(nèi)的運(yùn)算律保持不變？例如，為什么規(guī)定

(－1)(－1)=1？——希望保持分配律a（b+c）=ab+ac的結(jié)果。（－1）×（－1）＝（－1）×（0－1）＝（－1）×0－（－1）×1

＝0－（－1）＝1讓(－1)(－1)=－1行不行？會(huì)出現(xiàn)矛盾：令a=－1，b=1，c=－1，就會(huì)有－1·(1－1)=－1－1=－2。而另一方面又有－1·(1－1)=－1·0=0。正如引進(jìn)負(fù)整數(shù)和0擴(kuò)張了減法運(yùn)算的范圍一樣，分?jǐn)?shù)的引進(jìn)為除法消除了類似的算術(shù)上的障礙。突出知識(shí)之間的聯(lián)系橫向聯(lián)系縱向聯(lián)系內(nèi)部聯(lián)系外部聯(lián)系函數(shù)橫向聯(lián)系——方程、不等式縱向聯(lián)系——正比例函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)、三角函數(shù)等函數(shù)性質(zhì)的討論

研究內(nèi)容：自變量的取值范圍、函數(shù)的圖像、函數(shù)的增減性等。

研究方法：畫函數(shù)圖像，觀察歸納，數(shù)形結(jié)合等。

相關(guān)的問題：圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、何時(shí)函數(shù)值大于零或小于零等。與圓有關(guān)的位置關(guān)系

點(diǎn)與圓直線與圓圓與圓

圖形上數(shù)量上4．準(zhǔn)確把握教學(xué)要求，循序漸進(jìn)地教學(xué)

不搞“一步到位”；刪減的內(nèi)容不要隨意補(bǔ)充；教輔材料不能作為教學(xué)的依據(jù)；把更多的注意力放在核心概念、基本數(shù)學(xué)思想方法上；找好的問題；追求通性通法，不追求“特技”……對絕對值的要求（字母問題）對三視圖的要求對推理證明的要求（循序漸進(jìn)、控制難度）對代數(shù)式運(yùn)算的要求（乘法、因式分解）對函數(shù)的要求（定義域、值域、螺旋上升）對概率運(yùn)算的要求5．搞好課堂教學(xué)設(shè)計(jì)，提高教學(xué)質(zhì)量和效益

保持學(xué)生高水平的數(shù)學(xué)思維根據(jù)學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展水平和認(rèn)知規(guī)律，數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程設(shè)計(jì)課堂教學(xué)進(jìn)程，以問題引導(dǎo)學(xué)習(xí)，盡量采用“歸納式”，讓學(xué)生經(jīng)歷概念的概括過程，思想方法的形成過程，這是最基本的。要做到“講邏輯又講思想”，引導(dǎo)學(xué)生通過類比、推廣、特殊化等思維活動(dòng)，促使他們找到研究的問題，形成研究的方法；促進(jìn)他們在建立知識(shí)之間內(nèi)在聯(lián)系的過程中領(lǐng)悟本質(zhì)。

理解數(shù)學(xué)——對數(shù)學(xué)的思想、方法及其精神的理解；理解學(xué)生——對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)規(guī)律的理解，核心是理解學(xué)生的數(shù)學(xué)思維規(guī)律；理解教學(xué)——對數(shù)學(xué)教學(xué)規(guī)律、特點(diǎn)的理解。