高數(shù)課件一以2l為周期級(jí)數(shù)

QT2l 2

a02

(an

f(x)2

nxb

l 設(shè)周期為2l的周期函數(shù) f(x)滿(mǎn)足收斂定理的條件,則它的 f(x)2

(an

l

其中系數(shù)

,bn

f(x)sinanl f(x)

bnl

如果f(x)為奇函數(shù) 則f

n 其中系數(shù)b為 2 f(x)

(n 2n如果fx)為偶函數(shù),則fx)a02n

acosa為

2

n

f(x)

(n f(x)a0

b

),

f(x)cosnxdx,

f(x)

l n

fx)以2l為周期.lxl令zx,z設(shè)fx)

f()

(zF(z)2

(ancosnzbnsin

F(z)cosnzdz,

F(z)sinnQz

F(z)

2f(x)2l

(an

xbn 其

f(

nzdz

l

f(x)sinl

f(x)sinanl f(x)

l

bnl

l1fx)4的周期函數(shù),它在 2x氏級(jí)數(shù)

f(x)k

0x

解Ql2滿(mǎn)足狄氏充分條件 x x2

20

f(x)sinanl f(x)

l

bnl

l an

2

xdx

(n

k

bn

0k

xdx

n

當(dāng)n1,3,5,Lx 當(dāng)nf(x)k2k(sinx1sin3x1sin5x ( x; 設(shè)周期為2l的周期函 f(x)滿(mǎn)足收定理的條件,則它的級(jí)數(shù)展 f(x)2

(an

l

其中系數(shù)

,bn

f(x)sinanl f(x)

bnl

l注意：若函數(shù)fx)不是定義在（ll）上，可以通過(guò)變量代換使其定義在（ll）上。fx)定義在（aa2l）txl則fx)f(tl)F(t)，則F(t)定義在（ll）例2將函數(shù)f(x)10x5x15展開(kāi)成 F(z)解作變量代換zx5x 5z f(x)f(z10)zF(z),補(bǔ)充函數(shù)F(z) (5z5)的定義令F(5) 然后將F(z)作周期延拓(T這的周期函數(shù)滿(mǎn)足收斂定理的條件f(x)f(z10)zF(z), 函數(shù)F(z) (5z

f(x)sin

anl f(x)

l an (n (n 25z)sinnz(n5 (1)n10

(n

F

(1)nn

(5z10

10

n

5

n

sin 5(5x

2的區(qū)間[aa2]代替[,],2l的區(qū)間[aa2l]代替[ll],只需將相應(yīng)的積分限改變即可。如：將[aa2l]代替[ll a2

a2

l

f(x)

l

f(x)sin 1 1

f(x)

f(x)

2將函數(shù)

fx)10x5x15展開(kāi)成

(10

5 215cosnxdx

15xcosnxdx0,(n 5 115(10

dx 5 115(10x)sinnxdx(1)n 5 n

(nfx)10

n

sinn (5x51. 2.

x

1x1fx)10x

里葉級(jí)數(shù)1,1

x

f(x)

,0xx x

l

x 2

xx,x三、將函數(shù)f(x)

展開(kāi)成

x,x fx4

1

12cos [n1

]cosnx

(x2k,x2k1,

n22fx