《高等應用數(shù)學》016-0（曾慧平）課件 03-第三章 導數(shù)的應用

高等應用數(shù)學目錄CONTENTS前言0002第2章導數(shù)與微分第4章不定積分04第1章函數(shù)與極限01第3章導數(shù)的應用03第5章微分方程05第6章微分方程06第7章多元函數(shù)微積分07導數(shù)的應用第3章3.1微分中值定理與洛必達法則3.2函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值3.3函數(shù)圖形的描繪3.4曲率導學4上一章介紹了導數(shù)和微分的概念、運算法則等．本章將應用導數(shù)來研究函數(shù)的性質(zhì)及其圖形的形態(tài)．在此之前，要先介紹微分中值定理及洛必達法則，它們是導數(shù)應用的理論基礎。導學學習目標5理解微分中值定理；掌握使用洛必達法則求極限的方法；理解函數(shù)單調(diào)性和極值的概念；掌握求函數(shù)單調(diào)區(qū)間和極值的方法；掌握利用導數(shù)求解最大值、最小值的應用問題；理解曲線凹凸性和拐點的概念，掌握凹凸區(qū)間和拐點的判定方法；理解三類曲線漸近線的概念，會描繪函數(shù)圖形；理解曲率的概念，熟練掌握曲率的計算公式。素質(zhì)目標6培養(yǎng)數(shù)學素質(zhì)，提高運算能力和數(shù)學建模能力。培養(yǎng)觀察能力、空間想象能力、分析與解決問題能力、數(shù)學思維能力。養(yǎng)成良好的學習習慣、實事求是的科學態(tài)度。微分中值定理與洛必達法則3.13.1.1微分中值定理81.羅爾中值定理如果函數(shù)y=f(x)滿足下列條件，當那么在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ，使得f’(ξ)=0。（1）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；（2）在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導；（3）在區(qū)間端點處的函數(shù)值相等，即f(a)=f(b)。定理1羅爾中值定理3.1.1微分中值定理92.拉格朗日中值定理

定理2拉格朗日中值定理

3.1.1微分中值定理10推論1如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)滿足f’(x)=0,則在(a,b)內(nèi)有f(x)=C(C為常數(shù))。推論2如果對(a,b)內(nèi)的任意x，均有f’(x)=g’(x)，則在(a,b)內(nèi)有f(x)

=g(x)+C(C為常數(shù))。2.拉格朗日中值定理3.1.1微分中值定理11

例1證：

由推論1可知f(x)=C（C為常數(shù))，即

取x=1，有

因此

3.1.1微分中值定理123.柯西中值定理

定理3柯西中值定理羅爾中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理統(tǒng)稱為微分中值定理。3.1.2洛必達法則13

定理4洛必達法則洛必達法則

在一定條件下，通過分子、分母分別求導再求極限來計算未定式極限的方法，稱為洛必達法則。3.1.2洛必達法則14

例2

例3

3.1.2洛必達法則15

例4

0

例5

0洛必達法則其他類型3.1.2洛必達法則16

例6

例7

0課堂小結(jié)17微分中值定理洛必達法則函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值3.2如果函數(shù)y=f(x)在[a，b]上單調(diào)增加，那么它的切線斜率f’(x)是非負的。3.2.1函數(shù)的單調(diào)性19函數(shù)在區(qū)間[a，b]上的單調(diào)性和它的導數(shù)有密切關系。如果函數(shù)y=f(x)在[a，b]上單調(diào)減少，那么它的切線斜率f’(x)是非正的。3.2.1函數(shù)的單調(diào)性20定理1因此，我們有如下定理：設函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導，則有(1）如果在(a，b)內(nèi)f'(x)≥0，且等號僅在有限多個點處成立，則函數(shù)f(x)在[a,b]上單調(diào)增加；(2）如果在(a，b)內(nèi)f’(x)≤0，且等號僅在有限多個點處成立，則函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)減少。要確定可導函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，首先要求出使f’(x)=0點(駐點)；然后用這些駐點將f(x)定義域分成若干個子區(qū)間，最后在每個子區(qū)間上用定理1判斷函數(shù)的單調(diào)性。3.2.1函數(shù)的單調(diào)性21確定函數(shù)單調(diào)性的一般步驟如下:(1）確定函數(shù)f(x)的定義域；(2）求出使函數(shù)f’(x)=0和f’(x)不存在的點，并以這些點為分界點，將定義域劃分成若干個子區(qū)間。(3）確定f’(x)在各個子區(qū)間的符號（正或負），從而確定f(x)的單調(diào)性。3.2.1函數(shù)的單調(diào)性22討論函數(shù)f(x)=3x2-x3的單調(diào)性。例1

x(0，2)f’(x)-+-f(x)單調(diào)減少單調(diào)增加單調(diào)減少

3.2.2函數(shù)的極值23定義設函數(shù)f(x)在點x0的某鄰域內(nèi)有定義，若對此鄰域內(nèi)任一點x(x≠0,)，均有f(x)<f(x0)，則稱f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極大值。同樣，若對此鄰域內(nèi)任一點x(x≠x0，均有f(x)>f(x0)，則稱f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極小值。函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值。使函數(shù)取得極值的點x0稱為極值點。3.2.2函數(shù)的極值24定理2由上圖可知，可導函數(shù)在取得極值處的切線是水平的，即在極值點x0處，必有f’(x0)=0。設f(x)在點x0處具有導數(shù)，并且在點x0處取得極值,那么f’(x0)=0。極值存在的必要條件由定理2可知，可導函數(shù)f(x)的極值點必是f(x)的駐點，反之，駐點卻不一定是f(x)的極值點。對于一個連續(xù)函數(shù)，它的極值點還可能是使其導數(shù)不存在的點，這種點稱為尖點。3.2.2函數(shù)的極值25定理3連續(xù)函數(shù)f(x)的極值點只能是其駐點或尖點，極值點可以通過以下定理進行判斷求函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)，且在點x0的某去心鄰域內(nèi)可導。當x由小到大經(jīng)過點x0時，存在以下三種情況：極值存在的第一充分條件(1）如果f’(x)由正變負，那么點x0是極大值點；(2）如果f’(x)由負變正，那么點x0是極小值點；(3）如果f’(x)不變號，那么點x0不是極值點。3.2.2函數(shù)的極值26綜上可知，求函數(shù)極值的一般步驟如下:確定函數(shù)f(x)的定義域求出,f(x)的所有駐點、尖點判斷,f(x)所有駐點、尖點兩側(cè)一階導數(shù)的符號，確定極值點求出極值點處的函數(shù)值，得到極值（1）（2）（3）（4）3.2.2函數(shù)的極值27求函數(shù)y=1-x2的極值。例2

x0y’+0-y單調(diào)增加極大值y|x=0=1單調(diào)減少由表可知，函數(shù)y=1-x在x=0處取得極大值y=1。3.2.2函數(shù)的極值28定理4極值點還可以通過以下定理進行判斷設f(x)在點x0處具有二階導數(shù)，且f’(x0)=0,f’’(x0)≠0，則存在以下兩種情況：極值存在的第二充分條件(1）當f’’(x0)<0時，f

(x)在點x0處取得極大值；(2）當f’’(x0)>0時，f

(x)在點x0處取得極小值。3.2.2函數(shù)的極值29求函數(shù)f(x)=x3-6x2+9x的極值。例3

x1(1,3)3y’+0-0y單調(diào)增加極大值f(1)=4單調(diào)減少極大值f(3)=0單調(diào)增加f(1)=4為函數(shù)f(x)的極大值，f(3)=0為函數(shù)f(x)的極小值。3.2.2函數(shù)的極值30求函數(shù)f(x)=x3-6x2+9x的極值。例3

因為f“(0)=-6<0，所以f4)=4為f(x)的極大值;因為f”(3)=6>0,所以，f(3)=0為f(x)的極小值。3.2.3函數(shù)的最值31函數(shù)f(x)在其定義域上的最大值與最小值統(tǒng)稱為函數(shù)f(x)的最值。若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則在該區(qū)間上一定存在最大值和最小值。一般情況下，將函數(shù)所有的極大值、極小值與區(qū)間[a，b]的端點函數(shù)值f(a)，f(b)相比較，這些值中的最大者就是函數(shù)f(x)在[a，b]上的最大值，最小者就是函數(shù)f(x)在[a，b]上的最小值。定理13.2.3函數(shù)的最值32求函數(shù)f(x)=2x3+3x2-12x在區(qū)間[-3,4]上的最大值和最小值。例4解：

因為函數(shù)f(x)=2x3+3x2-12x在區(qū)間[-3,4]上連續(xù)，所以在該區(qū)間上一定存在最大值和最小值。該函數(shù)的導數(shù)為f’(x)=6x2+6x-12=6(x+2)(x-1),令f’(x)=0，得駐點x1=-2，x2=1。因為f(-2)=20，f(1)=-7，f(-3)=9，f(4)=128，所以，比較各值，可知函數(shù)f(x)在區(qū)間[-3,4]上的最大值為f(4)=128，最小值為f(1)=-7。課堂小結(jié)33函數(shù)的和、差、積、商的求導法則反函數(shù)的求導法則復合函數(shù)的求導法則導數(shù)公式函數(shù)圖形的描繪3.33.3.1曲線的凹凸性35定義1設y=f(x)在區(qū)間（a，b）內(nèi)各點均有切線，如果曲線段總是位于切線的上方，則稱該曲線段在(a，b）內(nèi)是凹的，區(qū)間（a，b)稱為凹區(qū)間；如果曲線段總是位于切線的下方，則稱該曲線段在(a，b)內(nèi)是凸的，區(qū)間（a，b)稱為凸區(qū)間。曲線段AB是凸的，曲線段BC是凹的3.3.1曲線的凹凸性36判別曲線凹凸性的法則：定理1設函數(shù)y=f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b）內(nèi)具有一階和二階導數(shù)，那么存在以下兩種情況：(1）若在(a,b)內(nèi)f"(x)>0，則曲線y=f(x)在(a，b)內(nèi)是凹的；(2）若在(a，b)內(nèi)f“(x)<0，則曲線y=f(x)在(a,b)內(nèi)是凸的。定理1中的區(qū)間改為無窮區(qū)間，結(jié)論仍然成立。3.3.1曲線的凹凸性37判別曲線凹凸性的法則：定理1設函數(shù)y=f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b）內(nèi)具有一階和二階導數(shù)，那么存在以下兩種情況：(1）若在(a,b)內(nèi)f"(x)>0，則曲線y=f(x)在(a，b)內(nèi)是凹的；(2）若在(a，b)內(nèi)f“(x)<0，則曲線y=f(x)在(a,b)內(nèi)是凸的。定理1中的區(qū)間改為無窮區(qū)間，結(jié)論仍然成立。3.3.1曲線的凹凸性38判定曲線y=lnx的凹凸性。例1

3.3.2曲線的拐點39定義2若連續(xù)曲線y=f(x)上的點P是曲線凹凸的分界點，則稱點P是曲線y=f(x)的拐點。通過以下步驟來求連續(xù)曲線y=f(x)在區(qū)間(a,b)的拐點:(1）求f“(x)。(2)求出在(a,b)內(nèi)使f“(x)=0和f”(x)不存在的點，用這些點將(a，b)分成若干子區(qū)間判斷每個子區(qū)間上f“(x)的符號。(3）若f“(x)在某點xi兩側(cè)異號，則點(xi，f(xi))是曲線y=f(x)的拐點。3.3.2曲線的拐點40判定曲線y=x3的凹凸性，并求其拐點。例2

y’’>0，曲線y=x3是凹的。所以，點(0,0)為曲線y=x3的拐點。3.3.3曲線的漸近線41對于一般曲線的漸近線，有如下定義。定義3若曲線C上的動點P沿著曲線無限遠離原點時，點P與某一固定直線L的距離趨于0，則稱直線L為曲線C的漸近線，如圖所示。3.3.3曲線的漸近線42定義4斜漸近線1.斜漸近線若曲線y=f(x)滿足下列條件，則曲線y=f(x)有

斜漸近線

y=kx+b。

3.3.3曲線的漸近線43

例3解：

根據(jù)定理2有

因此，曲線f(x)的斜漸近線為y=x-2。3.3.3曲線的漸近線44定義4垂直漸近線2.垂直漸近線

3.3.3曲線的漸近線45定義5水平漸近線3.水平漸近線

y=0為曲線y=ex-2的水平漸近線3.3.4函數(shù)圖形描繪的一般步驟46(1）確定函數(shù)f(x)的定義域及函數(shù)所具有的某些特性（如奇偶性、周期性等)。(2）求出函數(shù)f(x)的一階導數(shù)f“(x)、二階導數(shù)f”(x)，然后求出使f‘(x)，f“(x)等于零或不存在的點，并求出函數(shù)f(x)的間斷點，用這些點將函數(shù)定義域劃分為若干個子區(qū)間。(3）確定各個子區(qū)間內(nèi)f‘(x)，f“(x）的符號，由此確定函數(shù)f(x)的升降、凹凸、極值點及拐點等。3.3.4函數(shù)圖形描繪的一般步驟47(4）確定函數(shù)f(x)的漸近線。(5）算出使f‘(x)，f“(x)等于零或不存在的點所對應的函數(shù)值，定出圖形上相應的點。（6）根據(jù)以上信息聯(lián)結(jié)各點畫出函數(shù)的圖形。3.3.4函數(shù)圖形描繪的一般步驟48

例4解：

3.3.4函數(shù)圖形描繪的一般步驟49

例4(3）各個子區(qū)間內(nèi)f’(x)，f’’(x)的符號及相應曲線弧的升降、凹凸等如表所示。x36f’(x)_+0___f’’(x)____0+極大值點拐點注：表示曲線弧是下降且凸的，

表示曲線弧是上升且凸的，

表示曲線弧是下降且凹的。3.3.4函數(shù)圖形描繪的一般步驟50

例4

(5）算出x=3，x=6處的函數(shù)值，即

課堂小結(jié)51曲線的凹凸性曲線的拐點曲線的漸近線函數(shù)圖形描繪的一般步驟曲率3.43.4.1曲率的概念與曲率的計算公式531.曲率的概念

3.4.1曲率的概念與曲率的計算公式541.曲率的概念

3.4.1曲率的概念與曲率的計算公式55例1

3.4.1曲率的概念與曲率的計算公式56例1

3.4.1曲率的概念與曲率的計算公式572.曲率的計算公式如圖所示，設曲