浙教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)第2章特殊三角形微專題-折疊問題訓(xùn)練1（含解析）VIP

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第2章特殊三角形微專題——折疊問題訓(xùn)練1

一、單選題

1．如圖，在中，，M是邊上一點(diǎn)，將沿折疊，點(diǎn)B恰好能與的中點(diǎn)D重合，若，則M點(diǎn)到的距離是（）

A．3B．4C．5D．6

2．如圖，在等邊中，已知，，將沿折疊，點(diǎn)與點(diǎn)對(duì)應(yīng)，且，則等邊的邊長為（）

A．B．4C．D．

3．如圖，將一個(gè)直角三角形紙片，沿線段折疊，使點(diǎn)B落在處，若，則的度數(shù)為（）

A．B．C．D．

4．如圖，把長方形紙條沿折疊，若，則的度數(shù)為（）

A．B．C．D．

5．如圖，射線與射線平行，點(diǎn)F為射線上的一定點(diǎn)，作直線，點(diǎn)P是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)C），將沿折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)E處．若，當(dāng)點(diǎn)E到點(diǎn)A的距離最大時(shí)，的度數(shù)為（）

A．B．C．D．

6．如圖，在中，點(diǎn)D，E分別在邊，上，將沿折疊至的位置，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F．若，，則的度數(shù)為()

A．B．C．D．

7．如圖，在中，，，為上一點(diǎn)，將沿折疊，使落在斜邊上，點(diǎn)與點(diǎn)重合，則的長為（）

A．B．C．D．

8．如圖，在中，已知，點(diǎn)分別在邊上，現(xiàn)將沿直線折疊，使點(diǎn)恰好落在點(diǎn)處，若將線段向左平移剛好可以與線段重合，連接，若，則的值為（）

A．B．C．D．

二、填空題

9．在中，點(diǎn)、分別在、邊上，將沿直線折疊，點(diǎn)落在邊上的處，且，如果，則的度數(shù)為．

10．如圖，將矩形紙片沿折疊后，點(diǎn)D、C分別落在點(diǎn)、的位置，的延長線交于點(diǎn)G，若，則度．

11．如圖，三角形紙片中，．沿過點(diǎn)C的直線折疊這個(gè)三角形，使點(diǎn)A落在邊上的點(diǎn)E處，折痕為，則的周長是．

12．如圖，在平行四邊形中，，，，連結(jié)，將沿折疊得到，交于點(diǎn)，則的長度是．

13．如圖，將等邊三角形沿著折疊，點(diǎn)落到點(diǎn)處，連接．若，則．

14．如圖，在矩形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊，上，將矩形沿直線折疊，點(diǎn)B恰好落在邊上的點(diǎn)P處，連接，過E作交于G，交于點(diǎn)H，若，，則．

三、解答題

15．如圖，是的中線，將沿折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，連接．若，，求的長．

16．如圖，長方形紙片中有，，現(xiàn)將紙片沿對(duì)角線折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，交于點(diǎn)，連接．

(1)求證：是等腰三角形；

(2)求的長．

17．如圖，在中，．

(1)如圖（1），把沿直線折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，求的長；

(2)如圖（2），把沿直線折疊，使點(diǎn)C落在邊上G點(diǎn)處，請(qǐng)直接寫出的長．

18．如圖，把一張長方形紙片折疊起來，為折痕，使其對(duì)角頂點(diǎn)與重合，與重合．若長方形的長為，寬為．

(1)求的長；

(2)求的長；

(3)求陰影部分的面積．

19．如圖，折疊等腰三角形紙片，使點(diǎn)落在邊上的處，折痕為，已知，于．

(1)求證：．

(2)若，，求的長．

20．如圖，將一張長方形紙片沿折疊后，點(diǎn)D、C分別落在點(diǎn)、的位置，的延長線與相交于點(diǎn)G．

(1)如圖（1），，求的度數(shù)；

(2)如圖（2），延長、交于點(diǎn)M，若，求的度數(shù)．

參考答案：

1．B

【分析】過點(diǎn)M作于E，過點(diǎn)M作于F，由折疊的性質(zhì)可得：，，進(jìn)而得到，再根據(jù)三角形面積之間的關(guān)系即可求解．

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)M作于E，過點(diǎn)M作于F，

由折疊的性質(zhì)可得：，，

，

∵D是的中點(diǎn)，

，

，

即，

，

解得：，

∴點(diǎn)M到的距離是4．

故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，掌握三角形等面積法及合理作出輔助線是解題的關(guān)鍵．

2．A

【分析】設(shè)于G,交于H，由等邊三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，根據(jù)垂直的定義得到，根據(jù)勾股定理得到，設(shè),根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)列方程求解即可．

【詳解】解：設(shè)于G,交于H，

∵是等邊三角形，

∴，

∵將沿折疊，點(diǎn)與點(diǎn)對(duì)應(yīng)，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴

∴，

設(shè),

∴，

∴

∴，

∴．

故選：A．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了翻折變換（折疊問題）、等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

3．A

【分析】根據(jù)，求出即可解答．

【詳解】解：，，

，

由翻折的性質(zhì)可知：，

，

故選：A．

【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換，三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握折疊的性質(zhì)．

4．A

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，得；再根據(jù)折疊的性質(zhì)，得，即可求出的角度．

【詳解】解：∵四邊形是長方形，

∴，

∴，，

由折疊的性質(zhì)，得，

∵，

∴，

故選：A．

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．

5．B

【分析】由平行線的性質(zhì)得，由，當(dāng)點(diǎn)E在上時(shí)，點(diǎn)E到點(diǎn)A的距離最大，然后可求出的度數(shù)．

【詳解】解：∵，，

∴，

∵，

∴當(dāng)點(diǎn)E在上時(shí)，點(diǎn)E到點(diǎn)A的距離最大，如圖，

由折疊可知，，

∴，

故選B．

【點(diǎn)睛】本題考查了折疊性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是確定E點(diǎn)的位置．

6．C

【分析】首先由圖形折疊性質(zhì)得，再利用三角形外角的性質(zhì)求出．

【詳解】∵

∴

由折疊的性質(zhì)可得，

∵

∴

故選：C．

【點(diǎn)睛】本題考查圖形折疊的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)，熟練運(yùn)用三角形外角的性質(zhì)（三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和）是解題的關(guān)鍵．

7．C

【分析】根據(jù)勾股定理易求．根據(jù)折疊的性質(zhì)有，從而得到的長度,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．

【詳解】解：根據(jù)題意作圖，設(shè)點(diǎn)落在上的點(diǎn)為，

根據(jù)題意，，

由勾股定理得．

根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：，

∴．

∵，

∴

在△中，，

則，

故選：C．

【點(diǎn)睛】本題考查圖形的翻折變換，解題過程中應(yīng)注意折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，如本題中折疊前后對(duì)應(yīng)邊、角相等．

8．B

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)及平移的性質(zhì)可知四邊形是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知即可解答．

【詳解】解：∵現(xiàn)將沿直線折疊，使點(diǎn)恰好落在點(diǎn)處，

∴由折疊的性質(zhì)可得：，

∵將線段向左平移剛好可以與線段重合，

∴由平移的性質(zhì)可得：，，

∴四邊形是平行四邊形，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

故選．

【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，線段和差倍關(guān)系，掌握折疊的性質(zhì)及平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

9．/70度

【分析】由折疊的性質(zhì)可知，，再利用平行線的性質(zhì)，得出，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可求出的度數(shù)．

【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可知，，

，

，

，

，

，

，

，

故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)解決問題是解題關(guān)鍵．

10．132

【分析】根據(jù)矩形性質(zhì)和平行線性質(zhì)得到，再根據(jù)折疊性質(zhì)得到，然后利用平行線的性質(zhì)求解即可．

【詳解】解：∵四邊形是矩形，

∴，又，

∴，，

根據(jù)折疊性質(zhì)得，

則，

∴，

故答案為：132．

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、折疊性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)和折疊性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．

11．19

【分析】由翻折得，，則的周長為，代入即可．

【詳解】解：∵沿過點(diǎn)C的直線折疊這個(gè)三角形，使點(diǎn)A落在邊上的點(diǎn)E處，

∴，，

∵，

∴，

∴的周長為，

故答案為：19．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了翻折的性質(zhì)，明確翻折前后對(duì)應(yīng)線段相等是解題的關(guān)鍵．

12．/2.8

【分析】見詳解的作圖，欲求的長，猜想構(gòu)造直角，依據(jù)勾股定理求解．因是含角的直角三角形，故可求得的長，進(jìn)一步求得的長，由全等三角形及折疊性可證得，則，于是將直角三角形中的已知與待求的通過勾股定理聯(lián)系起來了，即可求得的長．

【詳解】過點(diǎn)A作延長線的垂線，垂足為H，見下圖．

∵四邊形為平行四邊形，

∴，

∴由得，，

∵，

∴．

∴．

則．

∵平行四邊形，

∴，又，

∴，

∴

∴（等角對(duì)等邊）．

設(shè)，則，

在直角△AEH中，

即：，

解得：

故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形、折疊圖形、勾股定理、等角對(duì)等邊等性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求證，并運(yùn)用勾股定理求解．

13．

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及折疊的性質(zhì)，，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理即可解答．

【詳解】解：∵是等邊三角形，

∴，，

∴由折疊的性質(zhì)：，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

故答案為；

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，掌握等邊三角形的性質(zhì)及折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

14．

【分析】由折疊的性質(zhì)可證，，從而可證，，設(shè)，可求，在中用勾股定理即可求解．

【詳解】解：四邊形為矩形，

，

由折疊得：，，，

，

，，

，，

，，

設(shè)，則，

，

，

，

，

，

在中

，

在中

，

，

解得：，(舍去)，

．

故答案：．

【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，掌握折疊的性質(zhì)，用勾股定理求解是解題的關(guān)鍵．

15．．

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，根據(jù)點(diǎn)D是的中點(diǎn)，得出是等邊三角形，據(jù)此即可解得的長．

【詳解】解：∵是的中線，，

∴，

∵沿折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)E處，

∴，，

∴，

∵，

∴是等邊三角形，

∴．

【點(diǎn)睛】本題考查的是折疊變換，解題的關(guān)鍵是利用折疊的性質(zhì)，得出是等邊三角形．

16．(1)見解析

(2)

【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)得出，根據(jù)等角對(duì)等邊，即可得證；

（2）令，則，，在中，，勾股定理建立方程，解方程即可求解．

【詳解】（1）證明：如圖所示，

將紙片沿對(duì)角線折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，交于點(diǎn)，

為等腰三角形

（2）解：令，

∵是等腰三角形，

∴，

在中，

即

解得：

．

【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，等腰三角形的判定，勾股定理，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．

17．(1)

(2)

【分析】（1）設(shè)x，則，在中用勾股定理求解即可；

（2）設(shè)x，則，先根據(jù)勾股定理求出，再在中，用勾股定理求解即可．

【詳解】（1）解：∵直線是對(duì)稱軸，

∴，

∵，設(shè)，則

在中，，

∴，

∴，

解得，

∴

（2）解：∵直線是對(duì)稱軸，

∴，，

∵，設(shè)，則，

∴在中，，，

∴，

在中，，

∴，

∴，

解得，

∴．

【點(diǎn)睛】本題考查了折疊與三角形的問題，勾股定理，掌握折疊性質(zhì)以及勾股定理是解題的關(guān)鍵．

18．(1)

(2)

(3)陰影部分的面積為

【分析】（1）由折疊可知，設(shè)，則，在中，根據(jù)，求出的長即可；

（2）過點(diǎn)作于，在中，由勾股定理的長，在中，由勾股定理即可得出答案；

（3）過點(diǎn)作于，根據(jù)三角形面積不變性，，求出的長，根據(jù)三角形面積求出結(jié)果即可．

【詳解】（1）解：由折疊可知．

設(shè)，則

在中，，

，

解得：，

；

（2）過點(diǎn)作于，則，

在中，

，由勾股定理：，即

．

，

，

，

（3）過點(diǎn)作于，

，

，，

，

，

．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了折的性質(zhì)、勾股定理以及三角形面積不變性，靈活運(yùn)用折疊的性質(zhì)、勾股定理等幾何知識(shí)點(diǎn)來分析、判斷、推理是解題的關(guān)鍵．

19．(1)見詳解

(2)

【分析】（1）由易得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)可得，即可證明；

（2）設(shè)，則，由折疊的性質(zhì)可得，，結(jié)合（1），在中，利用勾股定理求解即可獲得答案．

【詳解】（1）證明：∵，

∴，

∵，

∴，

根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，

∴，

∴，

∴．

（2）解：∵，，

∴，

設(shè)，則，

由折疊的性質(zhì)可得，，

∵，

∴在中，可有，

∴，解得，

∴的長為．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．

20．(1)

(2)

【分析】（1）利用折疊的性質(zhì)得