直線與橢圓位置關系

一元二次函數(shù)與橢圓的聯(lián)立運用一元二次函數(shù)與橢圓的聯(lián)立運用#—1在€AFF中，|AFI2?AF|2+\FF|2—2AF||FF|cos—，即(12—m)2?m2+36…3—2…m…6叮3?—；12211211232所以m?￡?同理在€BF1F2中’用余弦定理得n?去’所以"?m+n?48、求中點弦所在直線方程問題x2y2例過橢圓二+罕?1內(nèi)一點（，）引一條弦，使弦被點平分，求這條弦所在的直線方程。164解法一：設所求直線方程為，代入橢圓方程并整理得：（4k2+1）x2-8（2k2-k）x+4（2k-1）2-16?0又設直線與橢圓的交點為（,y）（x,y），則x,x是方程的兩個根，于是1122128（2k2-k）x+x?124k2+1x+x4（2k2一k）-又為B勺中點，所以1c2??2，24k2+11解得k—，故所求直線方程為x+2y-4?0。解法二：設直線與橢圓的交點為（,y）11所以x+x?4故所求直線方程為x+2y-4?0。解法二：設直線與橢圓的交點為（,y）11所以x+x?4，y+y?2，1212又、兩點在橢圓上，則x2+4y2?16,11兩式相減得（x2—x2）+4（y2—y2）?0，1212y—yx+x1,所以12?，12?，，即kx—x4（y+y）2AB1212故所求直線方程為x+2y-4?0。解法三：設所求直線與橢圓的一個交點為、x2,y2)，1）為的中點，則另一個交點為4,2—y因為、、兩點在橢圓上，所以有兩式相減得x+2y一4?0，x22+4y2?16，2(x,y，由于中點為（x2+4y2?16、(4—x)2+4(2—y)2?16由于過、的直線只有一條，故所求直線方程為x+2y-4?0。、求弦中點的軌跡方程問題，1），x2y2例過橢圓64+36?1上一點（，）作直線交橢圓于點，求中點的軌跡方程。解法一：設弦中點（x，y），弦端點（x1，y1），x2,y2)9x2+16y2?576則有｛11，兩式相減得9(x2，x2)+16(y2，y2)?0，19x2+16y2?5761212又因為x+x€2x,12人+y又因為x+x€2x,12人+y2€2y，所以9-2X(3-①+I6-2y(叮打€0，y-y

所以」x—x12竺,而k€_ZZ°_16ypqx一(一8)9x故——故16y化簡可得9x2+72x+16y2=0(x?，8)。解法二：設弦中點（x，y），（xi，yi），由x€寧，y€寧可得xi€2x+8，yi€2八又因為在橢圓上，所以薔+€L4(x+4)2644y2+36（x+4）2y2所以中點的軌跡方程為+咚=1（x?，8）。169三、弦中點的坐標問題例求直線y€x-1被拋物線y2€4x截得線段的中點坐標。解：解法一：設直線y€x-1與拋物線y2€4x交于A(x解：解法一：設直線y€x-1與拋物線y2€4x交于A(x1,NB（x2,y2），其中點P（%，y°〉，由題意y€x-1y2€4x消去得(x—1)2€4x,即x2-6x+1€0，x+x所以xo€」r亠€3，yo€xo—1€2，即中點坐標為（3,2）。解法二：設直線y€x-1與拋物線y2€4x交于A(x,y)，B(x,y)，其中點P(x,y)，由題意得1122ooy2€4x11,兩式相減得y2-y2€4(x-x)，y2€4x212122所以(y—y)(y+y)x一x

21所以y1+y2€4，即yo€2,xo€yo+1€3，即中點坐標為（3,2）。例題5、已知P（4,2）是直線l被橢圓x2y236+&€1所截得的線段的中點，求直線l的方程．分析：本題考查直線與橢圓的位置關系問題.通常將直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去y（或x），得到關于x（或y）的一元二次方程’再由根與系數(shù)的關系’直接求出xi+x2，吧（或叮y2，竽2）的值代入計算即得?并不需要求出直線與橢圓的交點坐標，這種“設而不求”的方法，在解析幾何中是經(jīng)常采用的．解：方法一：設所求直線方程為y-2，k（x-4）.代入橢圓方程，整理得(4k2+1)x2-8k(4k-2)x+4(4k-2)2-36，0①―、…、8k(4k-2)設直線與橢圓的交點為A(x,y),B(x,y)，則x、x是①的兩根，x+x，112212124k2+1x+x4k(4k一2)1p(4,2)為AB中點，4=t缶,,k二一懇..所求直線方程為x+2y一8,0.24k2+12方法二：設直線與橢圓交點A(x,y)，B(x,y).VP(4,2)為AB中點，x+x，8，y+y，4.11221212乂VA，B在橢圓上，???x2+4y2，36，x2+4y2，36兩式相減得(x2—x2)+4(y2—y2)，0，11221212即(x+x)(x一x)+4(y+y)(y-y)=0人^2=[12]=-.：直線方程為x+2y一8,0.12121212x-x4(y+y)21212方法三：設所求直線與橢圓的一個交點為A(x,y)，另一個交點B(8-x,4-y).VA、B在橢圓上，x2+4y2，36①。(8-x)2+4(4-y)2，36從而A，B在方程①一②的圖形x+2y一8,0上，而過A、B的直線只有一條，.?直線方程為x+2y一8,0.說明：直線與圓錐曲線的位置關系是重點考查的解析幾何問題，“設而不求”的方法是處理此類問題的有效方法若已知焦點是（3勇,0）、（-^/3,0）的橢圓截直線x+2y-8，0所得弦中點的橫坐標是4,則如何求橢圓方程？例題6、已知橢圓4x2+y2，1及直線y，x+mD（1）當m為何值時，直線與橢圓有公共點？2JT0（2）若直線被橢圓截得的弦長為5，求直線的方程D解：（1）把直線方程y，x+m代入橢圓方程4x2+y2，1得4x2+（x+，1,即卩5x2即卩5x2+2mx+m2一1，0.A，（2m》-16m2+20…02mm2-1⑵設直線與橢圓的兩個交點的橫坐標為x1，&由⑴得珥+3一〒吧=丁?根據(jù)弦長公式得V1+12?,'1-根據(jù)弦長公式得V1+12?,'1-2m<-4xm2解得m二0