高等數(shù)學自學課件19

第九節(jié)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)一連續(xù)函數(shù)的運算性質(zhì)二閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)三小結(jié)與思考判斷題定理1例如,1、四則運算的連續(xù)性一、連續(xù)函數(shù)的運算性質(zhì)定理2嚴格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴格單調(diào)的連續(xù)反函數(shù).例如,反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).2、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理3證將上兩步合起來:意義1.極限符號可以與函數(shù)符號互換;例1解例2解同理可得定理4注意定理4是定理3的特殊情況.例如,三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的.（1）（2）（3）3、初等函數(shù)的連續(xù)性定理5基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的.定理6一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.(均在其定義域內(nèi)連續(xù))（4）例如,這些孤立點的鄰域內(nèi)沒有定義.在0點的鄰域內(nèi)沒有定義.1.初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù),在其定義域內(nèi)不一定連續(xù);注意

注意

2.初等函數(shù)求極限的方法可用代入法.例3解例4解解

由初等函數(shù)分段定義的函數(shù)，在分段區(qū)間的內(nèi)部（開區(qū)間）函數(shù)是連續(xù)的，但對各段分界點處可能連續(xù)，可能間斷.需要從計算左右極限入手進行討論.由于例5

研究函數(shù)的連續(xù)性，并求出連續(xù)區(qū)間.分界點為.所以在處間斷.

所以在處連續(xù),從而函數(shù)在連續(xù)區(qū)間和.二閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)：在(a,b)內(nèi)連續(xù)，在a點右連續(xù)，在b點左連續(xù).１閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的定義２、最大值和最小值定理定義:例如,定理1(最大值和最小值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值.注意:1.若區(qū)間是開區(qū)間,定理不一定成立;2.若區(qū)間內(nèi)有間斷點,定理不一定成立.定理2(有界性定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界.證二、介值定理定義:.內(nèi)至少存在一個實根在即方程幾何解釋:幾何解釋:MBCAmab證由零點定理,例1證由零點定理,推論在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值與最小值之間的任何值.證由零點定理,例７例８

證明：若在上連續(xù)， 則在上必有，使證因為在閉區(qū)間上連續(xù)，由最大值最小值定理可知存在顯然

根據(jù)介質(zhì)定理的推論，至少存在一點使三、小結(jié)與思考判斷題小結(jié)連續(xù)函數(shù)的和差積商的連續(xù)性反函數(shù)的連續(xù)性，復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性，利用連續(xù)性求極限有界性定理，最值定理，