江西省九江市2022-2023學年高二第二次階段模擬（期末）數(shù)學試題

2022－2023學年度下學期第二次階段性模擬試卷高二數(shù)學一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題意．）1.下列各對函數(shù)中，圖像完全相同的是（）A.與 B.與C.與 D.與【答案】B【解析】【分析】分別分析各個選項中函數(shù)的定義域和對應關系，即可選出正確答案.【詳解】A：定義域為，定義域為，對應關系不同，故A不正確；B：，，定義域均為，B正確.C：定義域為，定義域為，故C不正確；D：定義域為，對于，令，則定義域為，故D不正確.故選：B.【點睛】本題考查了函數(shù)定義域的求解，考查了函數(shù)相等的判定，屬于基礎題.2.不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法，可直接得出結果.【詳解】由得，解得或，即原不等式的解集為.故選：C.【點睛】本題主要考查解一元二次不等式，屬于基礎題型.3.已知集合，，則（）A.或 B.或C.或 D.或【答案】D【解析】【分析】應用集合的交、補運算求即可.【詳解】由題設，或，∴.故選：D4.命題“”，命題“”，則p是q的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)命題求出的范圍，再根據(jù)充分性和必要性的定義得答案.【詳解】對于命題，，得，可以推出，但是不能推出，p是q的充分不必要條件.故選：A.5.若，則的最小值為A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由基本不等式可得，即可求解，得到答案.【詳解】因為，由基本不等式可得，當且僅當，即，即時，等號成立.故選A.【點睛】本題主要考查了利用基本不等式求最值問題，其中解答中熟記基本不等式的使用條件“一正、二定、三相等”，合理準確運算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.6.數(shù)列中的前n項和，數(shù)列的前n項和為，則＝（）A.190 B.192 C.180 D.182【答案】B【解析】【分析】利用求的通項公式，進而可得的通項公式，應用分組求和求即可.【詳解】當n＝1時，，當n≥2時，，經(jīng)檢驗不滿足上式，所以，設，則，所以.故選：B.7.已知函數(shù)，則不等式解集是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)，分或兩種情況，分別根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質求解即可.【詳解】當時，由得，兩邊取以e為底的對數(shù)得：，當時，由得，解得，綜上或.故選：A.8.若存在，使不等式成立，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】，令，構造函數(shù)，從而問題轉化為存在，使得成立.求導判斷單調性求得當時，，進而得到且，即可求解.【詳解】令，即，因為，所以，令.則原問題等價于存在，使得成立.令，即解得，令，即解得，所以在上單調遞增，在上單調遞減.又因為而，當時，.若存在，使得成立.只需且，解得且，所以.故的取值范圍為.故選：D【點睛】思路點睛：構造函數(shù)是基本的解題思路，因此觀察題目所給的數(shù)的結構特點，以及數(shù)與數(shù)之間的內在聯(lián)系，合理構造函數(shù)，利用導數(shù)判斷單調性是解題的關鍵.二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題意．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．）9.關于函數(shù)，下列判斷正確的是（）A.上單調遞減 B.在上單調遞增C.在上單調遞減 D.在上單調遞增【答案】AC【解析】【分析】由題可得，進而即得.【詳解】因為，所以在和上單調遞減，則A，C正確，B，D錯誤.故選：AC.10.下列結論錯誤的有（）A.若，則B.函數(shù)最小值為2C.D.，，則的取值范圍是【答案】AB【解析】【分析】由可判斷A，由雙勾函數(shù)的知識可判斷B，，然后可判斷C，由可判斷D.【詳解】對于A，當時不成立，故A錯誤；對于B，，故B錯誤；對于C，，因為，所以，即C正確；對于D，設，可得解得，因為，所以，故D正確故選：AB11.已知定義在上的奇函數(shù)滿足，若，則（）A.4為的一個周期 B.的圖象關于直線對稱C. D.【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的基本性質對選項AB進行驗證，根據(jù)函數(shù)周期結合函數(shù)奇偶性對選項CD進行驗證，即可得出答案.【詳解】對于A：函數(shù)為奇函數(shù)，則，則，則的一個周期為4，故A正確；對于B：，則函數(shù)關于對稱，故B正確；對于C：的一個周期為4，，令中的，則，函數(shù)為定義在上奇函數(shù)，，，故C正確；對于D：的一個周期為4，，函數(shù)為奇函數(shù)，，，故D錯誤；故選：ABC.12.已知數(shù)列滿足，，，為數(shù)列的前n項和，則下列說法正確的有（）A.n為偶數(shù)時， B.C. D.的最大值為20【答案】AC【解析】【分析】對選項A，偶數(shù)項構成等比數(shù)列，即可求得通項；對選項B，檢驗當時，所給表達式不滿足；對選項C，按照n為奇數(shù)和偶數(shù)分別討論，根據(jù)，可直接求得；對選項D，的最大值為【詳解】根據(jù)遞推關系可知，n為奇數(shù)時，n為偶數(shù)時，，故A對；根據(jù)奇數(shù)項構成等差數(shù)列可得：而又：則有：，故B錯誤；，故C對；根據(jù)中的奇數(shù)項構成等差數(shù)列，而偶數(shù)項之和不是1就是0，因此根據(jù)特點可知：的最大值在奇數(shù)項之和取得最大值的附近，，，，，，，的最大值為，故D錯故選：AC三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡中相應的橫線上．）13.若“”是“”的充分條件，則實數(shù)的取值范圍為___________．【答案】【解析】【分析】由充分條件定義直接求解即可.【詳解】“”是“”的充分條件，，，即實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.14.已知公比大于的等比數(shù)列滿足，，則的公比______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意可得出關于的方程，結合可求得的值.【詳解】由題意可得，則，上述兩個等式作商可得，即，因為，解得.故答案為：.15.若函數(shù)的值域是，則實數(shù)的取值范圍是__．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)基本不等式求出時的取值范圍，然后根據(jù)的范圍得出在上的單調性，求出值域．根據(jù)題意，即可得出答案.【詳解】因為函數(shù).當時，有，當且僅當時等號成立.當，即時，有，不滿足題意；當，即時，在上單調遞減，有，不滿足題意；當，即時，在上單調遞增，有.要使的值域是，則應有，所以.綜上所述，當時，的值域是.故答案為：.16.已知函數(shù)，若存在實數(shù)，滿足，則的最大值是______．【答案】【解析】【分析】作出的函數(shù)圖象，得出，，將化簡為，構造函數(shù)，，由得出單調遞增，求出的最大值，即可求得答案．【詳解】解：作出的函數(shù)圖象如圖所示：∵存在實數(shù)，滿足，，，由圖可知，，，設，其中，，顯然在單調遞增，，，，在單調遞增，在的最大值為，的最大值為，故答案為：．四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17.化簡與求值.（1）化簡：；（2）已知，其中，的值.【答案】（1）；（2）1.【解析】【分析】（1）利用指數(shù)冪的運算性質即可得出.（2）先利用平方差公式化簡，再利用指數(shù)冪的運算性質即可得出.【詳解】（1）原式；（2）由可知，原式.【點睛】本題考查指數(shù)冪的化簡，要對分式進行正確運算得到最簡結果.18.習近平總書記提出：“綠水青山就是金山銀山”的重要理念，說明呵護地球，人人有責.某省為響應該理念，計劃每年都增長相同百分比的綠化面積，且年時間綠化面積增長，（參考數(shù)據(jù)：，，，）試求：（1）求每年綠化面積的增長率；（2）按此增長率，若年年初時，該省的綠地面積是提出該理念時的倍，請問習近平總書記最遲是哪一年首次提出該理論.【答案】（1）約為；（2）年.【解析】【分析】（1）設每年綠化面積的增長率為，可得出，求出的值即可；（2）設經(jīng)過年后該省的綠地面積是提出該理念時的倍，可得出，利用對數(shù)的運算求出的值，即可得解.【小問1詳解】解：設每年綠化面積的增長率為，則，則，故每年綠化面積的增長率約為.【小問2詳解】解：設經(jīng)過年后該省的綠地面積是提出該理念時的倍，則，則，而，因此，習近平總書記最遲在年首次提出該理論.19.已知函數(shù)f(x)＝x3(a＞0，且a≠1)．（1）討論f(x)的奇偶性；（2）求a的取值范圍，使f(x)＞0在定義域上恒成立．【答案】（1）函數(shù)f(x)是偶函數(shù)（2）∈(1，＋∞)【解析】【分析】（1）先求函數(shù)f(x)的定義域，再判斷f(－x)與f(x)是否相等即可得到結果；（2）由f(x)是偶函數(shù)可知只需討論x＞0時的情況，則有x3＞0，從而求得結果.【詳解】（1）由于ax－1≠0，則ax≠1，得x≠0，∴函數(shù)f(x)的定義域為{x|x≠0}．對于定義域內任意x，有f(－x)＝(－x)3＝(－x)3＝(－x)3＝x3＝f(x)，∴函數(shù)f(x)是偶函數(shù)．（2）由（1）知f(x)為偶函數(shù)，∴只需討論x＞0時的情況，當x＞0時，要使f(x)＞0，則x3＞0，即＋＞0，即＞0，則ax＞1.又∵x＞0，∴a＞1.∴當a∈(1，＋∞)時，f(x)＞0.【點睛】本題考查判斷函數(shù)奇偶性的方法和恒成立問題，判斷函數(shù)的奇偶性先求定義域，再判斷f(－x)與f(x)是否相等或者互為相反數(shù)，相等即為偶函數(shù)，互為相反數(shù)則為奇函數(shù)，屬中檔題.20.設數(shù)列是等差數(shù)列，已知，公差為，為其前n項和，且，，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，證明：數(shù)列的前n項和.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列前n項和的基本量的計算以及等比中項，列方程即可求解，進而可求通項，（2）根據(jù)裂項求和可得的前n項和，進而可求.【小問1詳解】在等差數(shù)列中，，公差，為其前n項和，∴，，，又，，成等比數(shù)列，∴，即，由于,解得，∴小問2詳解】證明：由（Ⅰ）知，∴，則，∵，∴，，∴21.已知函數(shù)．（1）求在上的極值；（2）若，求的最小值．【答案】（1）為極小值，無極大值.（2）【解析】【分析】(1)求導后，借助導數(shù)分析單調性，借助單調性分析極值的情況；(2)令,令，設，再借助導函數(shù)的正負性，分析原函數(shù)的單調性確定極值，再反推的單調性，判斷極大值情況.【小問1詳解】，令，得，在為負，單調遞減，在為正，單調遞增，故為極小值，無極大值.【小問2詳解】由題知,令，令，則，設則，，為正，在單調遞增，，為負，在單調遞減，故極大值，若，即，此時，則在單調遞減，又，所以時，在單調遞增，時，，在單調遞減，故為極大值，所以，則當時，符合條件；，即此時，存在，在上；，則在單調遞增，又，則在區(qū)間上所以在區(qū)間上，單調遞減，則，不滿足條件.綜上所述的最小值為.22.已知函數(shù)，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)．（1）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間