重慶市南開中學高三上學期第一次質(zhì)量檢測數(shù)學試題

重慶市高2024屆高三第一次質(zhì)量檢測數(shù)學試題注意事項：1.本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.2.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.3.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.4.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.已知集合，集合，則集合的子集的個數(shù)是（）A.2 B.4 C.7 D.8【答案】D【解析】【分析】分別求得集合，，得到，進而求得子集的個數(shù)，得到答案.【詳解】由集合，，則，所以中子集的個數(shù)為個.故選：D.2.命題“，的否定是（）A“，” B.“，”C.“，” D.“，”【答案】B【解析】【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定判斷各選項.【詳解】命題“，的否定是，.故選：B.3.設，，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)及對數(shù)函數(shù)性質(zhì)比較大小即可.【詳解】因為，，，所以.故選：D4.已知函數(shù)定義域為，則實數(shù)k的取值范圍為（）A.或 B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，分與討論列出不等式，代入計算，即可得到結果.【詳解】由題意可得，恒成立，當時，即，很顯然不滿足，當時，有，解得.綜上可得，.

故選：B5.某高鐵動車檢修基地庫房內(nèi)有共5條并行的停車軌道線，每條軌道線只能停一列車，現(xiàn)有動車、高鐵共五列車入庫檢修，若已知兩列動車安排在相鄰軌道，則動車停放在道的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件概型以及排列數(shù)的計算求得正確答案.【詳解】記“兩動車相鄰”，“動車停在道”，則.故選：C6.已知函數(shù)，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性化簡，代入計算，即可得到結果.【詳解】由題知，且，所以函數(shù)為奇函數(shù)，又和在單調(diào)遞增，故由故選：B7.已知函數(shù)，若關于x的方程有四個不同的根（），則的最大值是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】數(shù)形結合，把四個不同的根用表示，借助導數(shù)討論函數(shù)的最值解決問題.【詳解】圖，由圖可知當且僅當時，方程有四個不同的根，且，由題：，，設則，令，故在遞增，在遞減，.故選：A.8.已知a，，關于x的不等式在R上恒成立，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】數(shù)形結合，分類討論不成立，則，要最大，需要，，對于取定的b，要最大需要a更大，所以只需過.【詳解】如圖，由圖像可知，不成立，則，要最大，需要，；時，時不成立，則；對于取定的b，要最大需要a更大，所以只需過作的切線，切線斜率即為最大的a.設切點，則，即，.，,當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減.所以在時，取得最大值.故選：B.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯得0分.9.定義在R上的偶函數(shù)滿足，且在單調(diào)遞增，則以下說法一定正確的是（）A.為周期函數(shù) B.C. D.在單調(diào)遞減【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的奇偶性，對稱性、單調(diào)性判斷各選項.【詳解】對于A，因為是偶函數(shù)，，，所以周期為4，故A正確；對于B，由于，得到關于對稱，又因為定義域為R，所以，故B正確；對于C，由于周期性和奇偶性，，故C錯誤；對于D，由于周期為4，在的單調(diào)性與的單調(diào)性相同，由于偶函數(shù)，在的單調(diào)性與的單調(diào)性相反，在單調(diào)遞增，所以在單調(diào)遞減，故D正確.故選：ABD.10.兩個具有相關關系的變量x，y的一組數(shù)據(jù)為，，求得樣本中心點為，回歸直線方程為，決定系數(shù)為；若將數(shù)據(jù)調(diào)整為，，求得新的樣本中心點為，回歸直線方程為，決定系數(shù)為，則以下說法正確的有（）附，，A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)題意，由以及的計算公式，代入計算，逐一判斷，即可得到結果.【詳解】，А錯誤；的計算中，數(shù)據(jù)不變，也不變，所以不變，B正確；，C正確；由于，變成了，，，從而，都不變，所以，D錯誤.故選：BC11.已知離心率為的橢圓的左，右焦點分別為，，過點且斜率為的直線l交橢圓于A，B兩點，A在x軸上方，M為線段上一點，且滿足，則（）A. B.直線l的斜率為C.，，成等差數(shù)列 D.的內(nèi)切圓半徑【答案】AC【解析】【分析】對于A：由得，可證得結論成立；對于B：設，由結合韋達定理可求得的值即得斜率；對于C：可證得A點為橢圓的上頂點，求出，，驗證即可；對于D，可得是以A為直角的直角三角形，根據(jù)直角三角形內(nèi)切圓半徑公式求解即可.【詳解】如圖1：因為，設，則，所以，所以，故，故A正確.設，，，由橢圓離心率為可得：，，故橢圓方程可化為：，聯(lián)立直線l方程整理得：.設，，則有：，，又，所以，，所以，解得：，故，故B錯誤.如圖2：設橢圓上頂點為，則，因為所以，所以與重合，所以為上頂點，故，，，易知滿足，故C正確對于D：由知：是以A為直角的直角三角形，故內(nèi)切圓半徑，故D錯誤.故選：AC.12.已知實數(shù)a，b滿足，函數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)）的極大值點和極小值點分別為，且，則下列說法正確的有（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】對A：，由的單調(diào)性知；對C：令，根據(jù)，得的符號，根據(jù)得；對B：由得從而可判斷符號；對D：化簡，可判斷符號.【詳解】由題知方程有兩不等實根，且在，上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，令，，則方程有兩個不等正實根，，其中，，若，則，則不可能有兩個解，所以.若，為開口向下的二次函數(shù)，當即時，，則在上單調(diào)遞增不成立，故，故A正確.對C：，，又，，故，故C錯誤.對B：，，故B正確，對于D：，故D正確.故選：ABD【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵是令，將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)與二次方程的問題解決，充分利用，求得參數(shù)的范圍.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知隨機變量X服從二項分布，若，則______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)已知條件列方程，化簡求得的值.【詳解】X服從二項分布，則，，所以，解得.故答案為：14.已知實數(shù)a，b滿足，則的最小值為______【答案】##【解析】【分析】根據(jù)絕對值、對數(shù)運算等知識化簡已知條件，求得，利用基本不等式求得的最小值.【詳解】因為，則，若，則，不符合題意，若，則，，，所以，當且僅當，即時，等號成立.所以最小值為.故答案為：15.隨著全球的經(jīng)濟發(fā)展和人口增長，資源消耗和環(huán)境問題日益凸顯，為了實現(xiàn)可持續(xù)發(fā)展，我國近年來不斷推出政策促進再生資源的回收利用.某家冶金廠生產(chǎn)的一種金屬主要用于電子設備的制造，2023年起該廠新增加了再生資源的回收生產(chǎn)，它每年的金屬產(chǎn)量將由兩部分構成：一部分是由采礦場新開采的礦石冶煉，每年可冶煉3萬噸金屬；另一部分是從回收的電子設備中提煉的再生資源，每年可生產(chǎn)的金屬約占該廠截止到上一年末的累計金屬總產(chǎn)量的10%.若截止2022年末這家冶金廠該金屬的累計總產(chǎn)量為20萬噸，則估計該廠2024年的金屬產(chǎn)量為______萬噸，預計到______年，這家廠當年的金屬產(chǎn)量首次超過15萬噸.（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】①.②.2035【解析】【分析】設2023年為第一年，第n年該廠的金屬產(chǎn)量為，截止第n年末這家冶金廠該金屬的累計總產(chǎn)量為，由初始數(shù)據(jù)求得，，利用題意得出關系式，用作差法求得，然后解不等式可得結論．【詳解】設2023年為第一年，第n年該廠的金屬產(chǎn)量為，截止第n年末這家冶金廠該金屬的累計總產(chǎn)量為，，，，故2024年產(chǎn)量為萬噸，，作差得，所以，也成立，所以，由得，，則n取13，為2035年故答案：；2035.16.已知拋物線焦點為F，斜率為k的直線過F交拋物線于A，B，中點為Q，若圓上存在點P使得，則k的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，設直線，然后聯(lián)立拋物線方程，然后列出不等式，代入計算，即可得到結果.【詳解】設中點為，即，P在為直徑的圓上，所以只需該圓與為直徑的圓有公共點即可.設直線，聯(lián)立得解得，，所以圓心距，即可（不可能內(nèi)含）則化簡得，代入得，故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知數(shù)列是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且，.（1）求數(shù)列、的通項公式；（2）設數(shù)列的前n項和為，求證：.【答案】（1），（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)等差、等比公式法求得數(shù)列的通項公式；（2）利用裂項相消法求和，再根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性證得結果.【小問1詳解】由題意可得，解得，，因為數(shù)列的公差為3，數(shù)列的公比為2，所以，【小問2詳解】由（1）知：易知在單調(diào)遞增，故，取最小值，又，恒成立.故成立.18.如圖，多面體中，平面，且，，，M是的中點.（1）求證：平面平面；（2）若，求直線與平面所成角的大小.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由線面垂直與面面垂直的判定定理證明，（2）建立空間直角坐標系，由空間向量求解．【小問1詳解】證明：取的中點N，連結，因為，所以.因為面，面，所以.又因為，且兩直線在平面內(nèi)，所以平面.因為點M是的中點，所以，且.所以四邊形為平行四邊形，所以，所以面，又平面，從而平面平面.【小問2詳解】設點O，D分別為，的中點，連結，則，因為面，面，所以.因為，由（1）知，又因為所以，所以為正三角形，所以，因為面，所以面.故，，兩兩垂直，以點O為原點，分別以，，的方向為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標系.，，，，設平面的法向量，則所以取，則，設與平面所成的角為，則，因為，所以，故與平面所成角的大小為.19.已知函數(shù)在處的切線和直線垂直.（1）求實數(shù)的值；（2）若對任意的，，都有成立（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），求實數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求得，得到，根據(jù)題意得到，即可求解；（2）不妨設，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為，設，轉(zhuǎn)化為在單調(diào)遞增，即在上恒成立，設，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最小值，即可求解.【小問1詳解】解：由函數(shù)，可得，可得因為函數(shù)在處的切線l和直線垂直，所以，即，解得.【小問2詳解】解：不妨設，則，因為對任意的，，都有成立，可得，即，設，則，故在單調(diào)遞增，從而有，即在上恒成立，設，則，因為，令，即，解得，令，即，解得，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又因為，故在上最小值，所以，實數(shù)的取值范圍是.【點睛】方法技巧：對于利用導數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：1、通常要構造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．20.為了帶動節(jié)能減排的社會風尚，引導居民錯峰用電，某地區(qū)下個月開始將實行分時電價.過去居民用電實行的是階梯電價，每月用電量不超過180度的部分，按照每度電元收取，超過180度的部分，按照每度電元收取.而新的分時電價則是將每日24小時分為峰段、谷段、平段三個時段，按照峰段每度電元，谷段每度電元，平段每度電元收取.該地區(qū)一位居民為了預估自己下個月的用電費用變化，他做了以下工作：首先，為了估計開空調(diào)與不開空調(diào)的用電量，他統(tǒng)計了過去一些天自己家的日均用電情況后得出結論：開空調(diào)時的每日用電量為10度，不開空調(diào)時的每日用電量為5度.然后，他統(tǒng)計了一天中三個時段的用電量比例，在開和不開空調(diào)的情況下分別如下圖：假設下個月一共30天，每天他開空調(diào)的概率均為（）.（1）根據(jù)他統(tǒng)計的每日用電量數(shù)據(jù)，若下個月的某一天用電量為度，求的分布列和期望（用表示）.（2）根據(jù)他統(tǒng)計的各時段用電量比例，使用分時電價計價時，若開空調(diào)時的每日平均用電費用為a元，不開空調(diào)的每日平均用電費用為b元，分別求a，b；若使用分時電價計價時下個月某一天他的用電費用為Y元，求Y的分布列和期望（用p表示）.（3）如果用階梯電價計算全月電費時，將每日用電量視為；用分時電價計算全月電費時，將每日用電費用視為.要使該居民下個月使用分時電價計價的費用不超過使用階梯電價的計價方式的費用，則p的取值范圍為多少?【答案】（1）分布列見解析，（2），，分布列見解析，（3）【解析】【分析】（1）依題意的可能取值為、，即可得到其概率與分布列，從而求出其期望；（2）求出峰段、谷段、平段的點量，即可求出、的值，從而得到分布列與數(shù)學期望；（3）求出分時電價總電費與階梯電價總電費，再作差求出參數(shù)的取值范圍，即可得解.【小問1詳解】依題意的可能取值為、，且，，所以的分布列為：510p所以.【小問2詳解】開空調(diào)時每日用電量：峰段度，谷段度，平段度，則元，不開空調(diào)時每日用電量：峰段度，谷段度，平段度，則元，所以的分布列為：p則.【小問3詳解】分時電價總電費（元），30天總用電量度，由，解得，當時，階梯電價總電費為（元），當時，階梯電價總電費為（元），所以當時，，解得，不成立；當時，，解得，綜上，時，下個月使用分時電價計價的費用不超過使用階梯電價的計價方式的費用.21.已知雙曲線的左、右頂點分別為A、B，漸近線方程為，焦點到漸近線距離為1，直線與C左右兩支分別交于P，Q，且點在雙曲線C上.記和面積分別為，，，的斜率分別為，（1）求雙曲線C的方程；（2）若，試問是否存在實數(shù)，使得，，.成等比數(shù)列，若存在，求出的值，不存在說明理由.【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）利用點到直線距離及漸近線列出a,b方程，求解即可得到雙曲線方程；（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程，韋達定理得坐標關系，利用點到直線距離及弦長公式表示面積，利用面積得到，最后利用等比數(shù)列性質(zhì)建立方程求解即可.【小問1詳解】由題可得，解得，所以雙曲線C的方程為；【小問2詳解】由點在上可得：.聯(lián)立和整理得：，設，，則有：，，，又由直線交左右兩支各一點可得