第二十七節(jié) 指對共生式技巧之分離雙函數(shù)-解析版

第二十七節(jié)指對共生式技巧之分離雙函數(shù)知識與方法當(dāng)要證明的不等式中既含有，又含有時，一般我們形象地稱之為指對共生式，這類問題直接構(gòu)造差函數(shù)（單個函數(shù)）進行研究可能會較為困難，突破這一困難一般采用指對放縮、分離雙函數(shù)、同構(gòu)等技巧.這一小節(jié)主要針對分離雙函數(shù)的技巧，具體方法是將要證明的不等式進行等價變形，將與分離到不等號的兩端，再分別研究兩側(cè)函數(shù)的最值，解決不等式證明問題．常見的模型是如下圖所示的水平分界模型，即將要證明的不等式轉(zhuǎn)化為只需證，通過論證得出且兩函數(shù)不在同一位置取得最值，從而得出，證得原不等式．一般我們將稱為上函數(shù)，稱為下函數(shù).在兩個函數(shù)的選取上，上函數(shù)一般選取、、這些有唯一極小值點的函數(shù)，下函數(shù)則選取、、等有唯一極大值點的函數(shù).典型例題【例題】（2014·新課標(biāo)Ⅰ卷）函數(shù)，曲線在處的切線為.（1）求a、b的值；（2）證明：.【解析】（1）的定義域為，且，由題意，，，所以.（2）證法1：由（1）可得，所以，令，則，所以，，從而在上單調(diào)遞誠，在上單調(diào)遞增，故在處取得最小值，令，則，所以，，從而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故在處取得最大值，所以恒成立，故.證法2：由（1）可得，所以，易證，所以當(dāng)時，，故當(dāng)時，，下面先證，只需證，令，則，所以，，從而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，即，所以，兩個不等號取等號的條件分別為和，從而，故不等式成立.強化訓(xùn)練1.設(shè)函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若，證明：.【解析】（1）由題意，的定義域是，且，當(dāng)時，，所以，故在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，令可得：或，且，或，所以在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，令可得：或（舍去）且，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）證法1：若，則，所以，要證，只需證，即證，也即證，設(shè)，則，所以，，從而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，設(shè)，則，所以，，從而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，顯然，所以，故，即，所以.證法2：若，則，所以，要證，只需證，易證，所以當(dāng)時，，從而，設(shè)，則，所以，，從而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，即，又，所以，故.2．已知函數(shù)，（1）求函數(shù)的極值；（2）求證：當(dāng)時，.【解析】（1）由題意，，所以，從而，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以有極小值，無極大值.（2）等價于，令，則由（1）知當(dāng)時，，所以，令，則，所以，，從而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，因為，所以，故恒成立，從而恒成立，所以.3.（2012·山東）已知函數(shù)（k為常數(shù)，e是自然對數(shù)的底數(shù)），曲線在點處的切線與x軸平行.（1）求k的值；（2）求的單調(diào)區(qū)間；（3）設(shè)，其中為的導(dǎo)函數(shù)，證明：對任意，.【解析】（1）易求得，由題意，，解得：.（2）由（1）知，所以，當(dāng)時，，，所以，故，當(dāng)時，，，所以，故，從而的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（3）由題意，，