21.1 一元二次方程

21.1一元二次方程

——一元二次方程的相關(guān)概念R·九年級(jí)上冊(cè)新課導(dǎo)入導(dǎo)入課題情景：要設(shè)計(jì)一座高2m的人體雕像,使

它的上部(腰以上)與下部(腰以

下)的高度比等于下部與全身的

高度比,則雕像的下部應(yīng)設(shè)計(jì)多

少米高?思考問題問題1：列方程解應(yīng)用題的一般步驟是什么？問題2：你能畫出示意圖表示這個(gè)問題嗎？問題3：能反映問題的等量關(guān)系的是哪一句話？問題4：設(shè)雕像下部高BC=xm,請(qǐng)說出你所列的方

程，并化簡(jiǎn).這個(gè)方程是一元一次方程嗎？

它有什么特點(diǎn)？審、設(shè)、列、解、驗(yàn)、答x2+2x-4=02mx2-x學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）會(huì)設(shè)未知數(shù)，列一元二次方程.（2）了解一元二次方程及其根的概念.（3）能熟練地把一元二次方程化成一般形式，并準(zhǔn)確地

指出各項(xiàng)系數(shù).推進(jìn)新課知識(shí)點(diǎn)1尋找等量關(guān)系列方程并化簡(jiǎn)問題1

有一塊矩形鐵皮，長(zhǎng)100cm，寬50cm，在它的四角各切去一個(gè)同樣的正方形，然后將四周突出部分折起，就能制作一個(gè)無(wú)蓋方盒.如果要制作無(wú)蓋方盒的底面積為3600cm2，那么鐵皮各角應(yīng)切去多大的正方形？

問題1中，要制作一個(gè)無(wú)蓋的方盒，四角都要剪去一個(gè)相同的正方形，我們?cè)O(shè)正方形邊長(zhǎng)為

cm，則盒底的寬為

cm，盒底的長(zhǎng)為

cm，根據(jù)矩形的面積公式及方盒的底面積3600cm2，可列方程為

.(50-2x)x(100-2x)(100-2x)(50-2x)=3600你能把它整理成形如x2+bx+c=0的形式嗎？(100-2x)(50-2x)=36005000－100x－200x+4x2=36004x2－300x+1400=0x2－75x+350=0先去括號(hào)移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)系數(shù)化為1

問題2中，本次排球比賽的總比賽場(chǎng)數(shù)為

場(chǎng).設(shè)邀請(qǐng)

支隊(duì)參賽，則每支隊(duì)與其余

支隊(duì)都要賽一場(chǎng).根據(jù)題意，你列出的方程是

.整理為

.28x(x-1)x(x-1)=28x2-x=56

問題2

要組織一次排球邀請(qǐng)賽，參賽的每?jī)蓚€(gè)隊(duì)之間都要比賽一場(chǎng).根據(jù)場(chǎng)地和時(shí)間等條件，賽程計(jì)劃安排7天，每天安排4場(chǎng)比賽，比賽組織者應(yīng)邀請(qǐng)多少個(gè)隊(duì)參賽？強(qiáng)化訓(xùn)練①一個(gè)圓的面積是2πm2，求半徑r.

②一個(gè)直角三角形的兩條直角邊相差3cm，面積9cm2，求

較長(zhǎng)的直角邊x的長(zhǎng).③把長(zhǎng)為1的木條分成兩段，使較短一段的長(zhǎng)與全長(zhǎng)的積等

于較長(zhǎng)一段的長(zhǎng)的平方，求較短一段的長(zhǎng)x.πr2=2π

x=(1-x)2知識(shí)點(diǎn)2一元二次方程的概念下列方程中未知數(shù)的個(gè)數(shù)和最高次數(shù)各是多少？x2+2x-4=0①x2－75x+350=0②x2-x=56③只含有一個(gè)未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2.結(jié)合一元一次方程的定義，請(qǐng)對(duì)一元二次方程進(jìn)行定義：等號(hào)兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的方程，叫做一元二次方程.若方程（m-1）x2+

x=1是關(guān)于

x的一元二次方程，則m的取值范圍是

.m≥0且m≠1

一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)，為什么要規(guī)定a≠0？

因?yàn)閍=0時(shí)，未知數(shù)的最高次數(shù)小于2.知識(shí)點(diǎn)3一元二次方程的一般形式

a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng).一元二次方程的每一項(xiàng)（系數(shù)）都應(yīng)包括它前面的符號(hào)。例將方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).解：去括號(hào)，得3x2-3x=5x+10.移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得一元二次方程的一般形式3x2-8x-10=0.二次項(xiàng)系數(shù)為3，一次項(xiàng)系數(shù)為-8，常數(shù)項(xiàng)為-10.知識(shí)點(diǎn)4一元二次方程的解使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值就是這個(gè)一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.下面哪些數(shù)是方程x2+3x-10=0的根？-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5.分析：根據(jù)一元二次方程的根的定義，將這些數(shù)作為未知數(shù)x的值分別代入方程x2+3x-10=0中，能夠使方程左右兩邊相等的數(shù)就是方程的根，通過代入檢驗(yàn)可知，當(dāng)且僅當(dāng)x=-5或2時(shí)，方程x2+3x-10=0左右兩邊相等.隨堂演練基礎(chǔ)鞏固1.一元二次方程3x2=5x的二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)分別

是（

）A.3，5B.3，0C.3，-5D.5，02.下列哪些數(shù)是方程x2+x-12=0的根？

－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.C解：－4，3.3.將下列方程化成一元二次方程的一般形式，并寫出該方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).

（1）3x2+1=6x；

（2）4x2=81－5x；解：一般形式：3x2-6x+1=0

二次項(xiàng)系數(shù)：3

一次項(xiàng)系數(shù)：-6

常數(shù)項(xiàng)：1解：一般形式：4x2+5x-81=0

二次項(xiàng)系數(shù)：4

一次項(xiàng)系數(shù)：5

常數(shù)項(xiàng)：-814.根據(jù)下列問題列方程，并將其化成一元二次方程的一般形式.（1）有一根1m長(zhǎng)的鐵絲，怎樣用它圍一個(gè)面積為0.06m2的平

方的長(zhǎng)方形?

解：設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為xm，則寬為(0.5-x)m.

根據(jù)題意，得x(0.5-x)=0.06,

整理，得50x2-25x+3=0.（2）參加一次聚會(huì)的每?jī)扇硕嘉樟艘淮问?，所有人共握?0

次.有多少人參加這次聚會(huì)？

解：設(shè)有x人參加了這次聚會(huì),

根據(jù)題意，得

x(x-1)=10，

整理，得x2-x-20=0.綜合應(yīng)用在一幅長(zhǎng)80cm，寬50cm的矩形風(fēng)景畫的四周鑲一

條金色紙邊，制成一幅矩形掛圖，如果要使整個(gè)掛

圖的面積是5400cm2，設(shè)金色紙邊的寬為xcm，則x

滿足的方程是（

）

A.x2+130x+1400=0B.x2+65x-350=0C.x2-130x-1400=0D.x2-65x-350=0B拓展延伸6.如果2是方程x2-c=0的一個(gè)根，求常數(shù)c及方程的另

一個(gè)根.

解：將2代入原方程中，22-c=0，得c=4.

將c=4代入原方程，得x2-4=0.

解得x=±2.

即方程的另一個(gè)根為-2.解：一般形式：5x2-4x-1=0

二次項(xiàng)系數(shù)：5

一次項(xiàng)系數(shù)：-4

常數(shù)項(xiàng)：-1解：一般形式：4x2-81=0

二次項(xiàng)系數(shù)：4

一次項(xiàng)系數(shù)：0

常數(shù)項(xiàng)：-811.將下列方程化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中

的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)：

（1）5x2-1=4x；

（2）4x2=81；練習(xí)【教材P4練習(xí)第1題】1.將下列方程化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中

的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)：

（3）4x(x+2)=25；

（4）(3x-2)(x+1)=8x-3；解：一般形式：4x2+8x-25=0

二次項(xiàng)系數(shù)：4

一次項(xiàng)系數(shù)：8

常數(shù)項(xiàng)：-25解：一般形式：3x2-7x+1=0

二次項(xiàng)系數(shù)：3

一次項(xiàng)系數(shù)：-7

常數(shù)項(xiàng)：1【教材P4練習(xí)第1題】2.根據(jù)下列問題，列出關(guān)于x的方程，并將所列方程化成一元二次方程的一般形式：(1)4個(gè)完全相同的正方形的面積之和是25，求正方形的邊長(zhǎng)x;(2)一個(gè)矩形的長(zhǎng)比寬多2，面積是100，求矩形的長(zhǎng)x;(3)把長(zhǎng)為1的木條分成兩段，使較短一段的長(zhǎng)與全長(zhǎng)的積，等于較長(zhǎng)一段的長(zhǎng)的平方，求較短一段的長(zhǎng)x.4x2=25，化為